数学代写|编码理论作业代写Coding Theory代考| Communication Systems

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编码理论是研究编码的属性和它们各自对特定应用的适用性。编码被用于数据压缩、密码学、错误检测和纠正、数据传输和数据存储。各种科学学科,如信息论、电气工程、数学、语言学和计算机科学,都对编码进行了研究,目的是设计高效和可靠的数据传输方法。这通常涉及消除冗余和纠正或检测传输数据中的错误。

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  • Foundations of Data Science 数据科学基础
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数学代写|编码理论作业代写Coding Theory代考|Communication Systems

The reliable transmission of information over noisy channels is one of the basic requirements of digital information and communication systems. Here, transmission is understood both as transmission in space, e.g. over mobile radio channels, and as transmission in time by storing information in appropriate storage media. Because of this requirement, modern communication systems rely heavily on powerful channel coding methodologies. For practical applications these coding schemes do not only need to have good coding characteristics with respect to the capability of detecting or correcting errors introduced on the channel. They also have to be efficiently implementable, e.g. in digital hardware within integrated circuits. Practical applications of channel codes include space and satellite communications, data transmission, digital audio and video broadcasting and mobile communications, as well as storage systems such as computer memories or the compact disc (Costello et al., 1998).

In this introductory chapter we will give a brief introduction into the field of channel coding. To this end, we will describe the information theory fundamentals of channel coding. Simple channel models will be presented that will be used throughout the text. Furthermore, we will present the binary triple repetition code as an illustrative example of a simple channel code.

According to Figure $1.1$ the modulator generates the signal that is used to transmit the sequence of symbols $\mathbf{b}$ across the channel (Benedetto and Biglieri, 1999; Neubauer, 2007; Proakis, 2001). Due to the noisy nature of the channel, the transmitted signal is disturbed. The noisy received signal is demodulated by the demodulator in the receiver, leading to the sequence of received symbols $\mathbf{r}$. Since the received symbol sequence $\mathbf{r}$ usually differs from the transmitted symbol sequence $\mathbf{b}$, a channel code is used such that the receiver is able to detect or even correct errors (Bossert, 1999; Lin and Costello, 2004; Neubauer, 2006b). To this end, the channel encoder introduces redundancy into the information sequence $\mathbf{u}$. This redundancy can be exploited by the channel decoder for error detection or error correction by estimating the transmitted symbol sequence $\hat{\mathbf{u}}$.

In his fundamental work, Shannon showed that it is theoretically possible to realise an information transmission system with as small an error probability as required (Shannon, 1948). The prerequisite for this is that the information rate of the information source be smaller than the so-called channel capacity. In order to reduce the information rate, source coding schemes are used which are implemented by the source encoder in the transmitter and the source decoder in the receiver (McEliece, 2002; Neubauer, 2006a).

数学代写|编码理论作业代写Coding Theory代考|Channel Capacity

With the help of the entropy concept we can model a channel according to Berger’s channel diagram shown in Figure $1.3$ (Neubauer, 2006a). Here, $\mathcal{X}$ refers to the input symbol and $\mathcal{R}$ denotes the output symbol or received symbol. We now assume that $M$ input symbol values $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{M}$ and $N$ output symbol values $r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{N}$ are possible. With the help of the conditional probabilities
$$
P_{\mathcal{X} \mid \mathcal{R}}\left(x_{i} \mid r_{j}\right)=\operatorname{Pr}\left{\mathcal{X}=x_{i} \mid \mathcal{R}=r_{j}\right}
$$
and
$$
P_{\mathcal{R} \mid \mathcal{X}}\left(r_{j} \mid x_{i}\right)=\operatorname{Pr}\left{\mathcal{R}=r_{j} \mid \mathcal{X}=x_{i}\right}
$$
the conditional entropies are given by
$$
I(\mathcal{X} \mid \mathcal{R})=-\sum_{i=1}^{M} \sum_{j=1}^{N} P_{\mathcal{X}, \mathcal{R}}\left(x_{i}, r_{j}\right) \cdot \log {2}\left(P{\mathcal{X} \mid \mathcal{R}}\left(x_{i} \mid r_{j}\right)\right)
$$
and
$$
I(\mathcal{R} \mid \mathcal{X})=-\sum_{i=1}^{M} \sum_{j=1}^{N} P_{\mathcal{X}, \mathcal{R}}\left(x_{i}, r_{j}\right) \cdot \log {2}\left(P{\mathcal{R} \mid \mathcal{X}}\left(r_{j} \mid x_{i}\right)\right) .
$$
With these conditional probabilities the mutual information
$$
I(\mathcal{X} ; \mathcal{R})=I(\mathcal{X})-I(\mathcal{X} \mid \mathcal{R})=I(\mathcal{R})-I(\mathcal{R} \mid \mathcal{X})
$$
can be derived which measures the amount of information that is transmitted across the channel from the input to the output for a given information source.

The so-called channel capacity $C$ is obtained by maximising the mutual information $I(\mathcal{X} ; \mathcal{R})$ with respect to the statistical properties of the input $\mathcal{X}$, i.e. by appropriately choosing the probabilities $\left{P_{\mathcal{X}}\left(x_{i}\right)\right}_{1 \leq i \leq M}$. This leads to
$$
C=\max {\left{\left.P{\mathcal{X}}\left(x_{i}\right)\right|_{1 \leq i \leq M}\right.} I(\mathcal{X} ; \mathcal{R}) .
$$
If the input entropy $I(\mathcal{X})$ is smaller than the channel capacity $C$
$$
I(\mathcal{X}) \stackrel{!}{<} C
$$
then information can be transmitted across the noisy channel with arbitrarily small error probability. Thus, the channel capacity $C$ in fact quantifies the information transmission capacity of the channel.

数学代写|编码理论作业代写Coding Theory代考|Binary Symmetric Channel

As an important example of a memoryless channel we turn to the binary symmetric channel or BSC. Figure $1.4$ shows the channel diagram of the binary symmetric channel with bit error probability $\varepsilon$. This channel transmits the binary symbol $\mathcal{X}=0$ or $\mathcal{X}=1$ correctly with probability $1-\varepsilon$, whereas the incorrect binary symbol $\mathcal{R}=1$ or $\mathcal{R}=0$ is emitted with probability $\varepsilon$.

By maximising the mutual information $I(\mathcal{X} ; \mathcal{R})$, the channel capacity of a binary symmetric channel is obtained according to
$$
C=1+\varepsilon \log {2}(\varepsilon)+(1-\varepsilon) \log {2}(1-\varepsilon)
$$
This channel capacity is equal to 1 if $\varepsilon=0$ or $\varepsilon=1$; for $\varepsilon=\frac{1}{2}$ the channel capacity is 0 . In contrast to the binary symmetric channel, which has discrete input and output symbols taken from binary alphabets, the so-called AWGN channel is defined on the basis of continuous real-valued random variables. ${ }^{1}$

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编码理论代写

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在噪声信道上可靠地传输信息是数字信息和通信系统的基本要求之一。这里,传输被理解为空间传输,例如通过移动无线电信道,以及通过将信息存储在适当的存储介质中的时间传输。由于这一要求,现代通信系统严重依赖强大的信道编码方法。对于实际应用,这些编码方案不仅需要在检测或纠正信道上引入的错误的能力方面具有良好的编码特性。它们还必须是可有效实现的,例如在集成电路内的数字硬件中。信道码的实际应用包括空间和卫星通信、数据传输、

在这个介绍性章节中,我们将简要介绍信道编码领域。为此,我们将描述信道编码的信息论基础。将介绍将在整个文本中使用的简单通道模型。此外,我们将呈现二进制三重重复代码作为简单信道代码的说明性示例。

根据图1.1调制器生成用于传输符号序列的信号b跨越海峡(Benedetto 和 Biglieri,1999;Neubauer,2007;Proakis,2001)。由于信道的噪声特性,传输的信号受到干扰。接收到的噪声信号由接收器中的解调器解调,导致接收符号序列r. 由于接收到的符号序列r通常不同于传输的符号序列b,使用信道代码,以便接收器能够检测甚至纠正错误(Bossert,1999;Lin 和 Costello,2004;Neubauer,2006b)。为此,信道编码器在信息序列中引入了冗余在. 信道解码器可以通过估计传输的符号序列来利用这种冗余进行错误检测或纠错在^.

在他的基础工作中,Shannon 表明理论上可以实现一个错误概率尽可能小的信息传输系统(Shannon,1948 年)。其前提是信息源的信息速率小于所谓的信道容量。为了降低信息速率,使用了源编码方案,这些方案由发射器中的源编码器和接收器中的源解码器实现(McEliece,2002;Neubauer,2006a)。

数学代写|编码理论作业代写Coding Theory代考|Channel Capacity

借助熵概念,我们可以根据 Berger 的通道图对通道进行建模,如图1.3(纽鲍尔,2006a)。这里,X指输入符号和R表示输出符号或接收符号。我们现在假设米输入符号值X1,X2,…,X米和ñ输出符号值r1,r2,…,rñ是可能的。在条件概率的帮助下

P_{\mathcal{X} \mid \mathcal{R}}\left(x_{i} \mid r_{j}\right)=\operatorname{Pr}\left{\mathcal{X}=x_{i} \mid \mathcal{R}=r_{j}\right}P_{\mathcal{X} \mid \mathcal{R}}\left(x_{i} \mid r_{j}\right)=\operatorname{Pr}\left{\mathcal{X}=x_{i} \mid \mathcal{R}=r_{j}\right}

P_{\mathcal{R} \mid \mathcal{X}}\left(r_{j} \mid x_{i}\right)=\operatorname{Pr}\left{\mathcal{R}=r_{j} \mid \mathcal{X}=x_{i}\right}P_{\mathcal{R} \mid \mathcal{X}}\left(r_{j} \mid x_{i}\right)=\operatorname{Pr}\left{\mathcal{R}=r_{j} \mid \mathcal{X}=x_{i}\right}
条件熵由下式给出

一世(X∣R)=−∑一世=1米∑j=1ñ磷X,R(X一世,rj)⋅日志⁡2(磷X∣R(X一世∣rj))

一世(R∣X)=−∑一世=1米∑j=1ñ磷X,R(X一世,rj)⋅日志⁡2(磷R∣X(rj∣X一世)).
有了这些条件概率,互信息

一世(X;R)=一世(X)−一世(X∣R)=一世(R)−一世(R∣X)
对于给定的信息源,可以推导出它测量通过通道从输入到输出传输的信息量。

所谓通道容量C通过最大化互信息获得一世(X;R)关于输入的统计属性X,即通过适当地选择概率\left{P_{\mathcal{X}}\left(x_{i}\right)\right}_{1 \leq i \leq M}\left{P_{\mathcal{X}}\left(x_{i}\right)\right}_{1 \leq i \leq M}. 这导致
$$
C=\max {\left{\left.P{\mathcal{X}}\left(x_{i}\right)\right|_{1 \leq i \leq M}\right。 } I(\mathcal{X} ; \mathcal{R}) 。

一世F吨H和一世np在吨和n吨r这p是$一世(X)$一世ss米一个ll和r吨H一个n吨H和CH一个nn和lC一个p一个C一世吨是$C$
I(\mathcal{X}) \stackrel{!}{<} C
$$
那么信息可以以任意小的错误概率通过噪声信道传输。因此,信道容量C实际上量化了信道的信息传输能力。

数学代写|编码理论作业代写Coding Theory代考|Binary Symmetric Channel

作为无记忆信道的一个重要例子,我们转向二进制对称信道或 BSC。数字1.4显示了具有误码概率的二进制对称信道的信道图e. 该通道传输二进制符号X=0或者X=1正确概率1−e, 而不正确的二进制符号R=1或者R=0以概率发射e.

通过最大化互信息一世(X;R), 二元对称信道的信道容量由下式得到

C=1+e日志⁡2(e)+(1−e)日志⁡2(1−e)
如果这个信道容量等于 1e=0或者e=1; 为了e=12信道容量为 0 。与具有取自二进制字母表的离散输入和输出符号的二进制对称信道相比,所谓的 AWGN 信道是在连续实值随机变量的基础上定义的。1

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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