数学代写|编码理论作业代写Coding Theory代考|Cyclic Codes

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数学代写|编码理论作业代写Coding Theory代考|Cyclic Codes

数学代写|编码理论作业代写Coding Theory代考|Definition of Cyclic Codes

A cyclic code is characterised as a linear block code $\mathrm{B}(n, k, d)$ with the additional property that for each code word
$$
\mathbf{b}=\left(b_{0}, b_{1}, \ldots, b_{n-2}, b_{n-1}\right)
$$

all cyclically shifted words
$$
\begin{aligned}
&\left(b_{n-1}, b_{0}, \ldots, b_{n-3}, b_{n-2}\right) \
&\left(b_{n-2}, b_{n-1}, \ldots, b_{n-4}, b_{n-3}\right) \
&\vdots \
&\left(b_{2}, b_{3}, \ldots, b_{0}, b_{1}\right) \
&\left(b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n-1}, b_{0}\right)
\end{aligned}
$$
are also valid code words of $\mathrm{B}(n, k, d)$ (Lin and Costello, 2004; Ling and Xing, 2004). This property can be formulated concisely if a code word $\mathbf{b} \in \mathbb{F}{q}^{n}$ is represented as a polynomial $$ b(z)=b{0}+b_{1} z+\cdots+b_{n-2} z^{n-2}+b_{n-1} z^{n-1}
$$
over the finite field $\mathbb{F}{q} \cdot{ }^{16}$ A cyclic shift $$ \left(b{0}, b_{1}, \ldots, b_{n-2}, b_{n-1}\right) \mapsto\left(b_{n-1}, b_{0}, b_{1}, \ldots, b_{n-2}\right)
$$
of the code polynomial $b(z) \in \mathrm{F}{q}[z]$ can then be expressed as $$ b{0}+b_{1} z+\cdots+b_{n-2} z^{n-2}+b_{n-1} z^{n-1} \mapsto b_{n-1}+b_{0} z+b_{1} z^{2}+\cdots+b_{n-2} z^{n-1} .
$$
Because of
$$
b_{n-1}+b_{0} z+b_{1} z^{2}+\cdots+b_{n-2} z^{n-1}=z b(z)-b_{n-1}\left(z^{n}-1\right)
$$
and by observing that a code polynomial $b(z)$ is of maximal degree $n-1$, we represent the cyclically shifted code polynomial modulo $z^{n}-1$, i.e.
$$
b_{n-1}+b_{0} z+b_{1} z^{2}+\cdots+b_{n-2} z^{n-1} \equiv z b(z) \bmod z^{n}-1 .
$$
Cyclic codes $\mathrm{B}(n, k, d)$ therefore fulfil the following algebraic property
$$
b(z) \in \mathrm{B}(n, k, d) \quad \Leftrightarrow \quad z b(z) \bmod z^{n}-1 \in \mathbb{B}(n, k, d) .
$$
For that reason – if not otherwise stated – we consider polynomials in the factorial ring $F_{q}[z] /\left(z^{n}-1\right)$. Figure $2.38$ summarises the definition of cyclic codes.

Similarly to general linear block codes, which can be defined by the generator matrix G or the corresponding parity-check matrix $\mathbf{H}$, cyclic codes can be characterised by the generator polynomial $g(z)$ and the parity-check polynomial $h(z)$, as we will show in the following (Berlekamp, 1984; Bossert, 1999; Lin and Costello, 2004; Ling and Xing, 2004).

数学代写|编码理论作业代写Coding Theory代考|Generator Polynomial

A linear block code $\mathbb{B}(n, k, d)$ is defined by the $k \times n$ generator matrix
$$
\mathbf{G}=\left(\begin{array}{c}
\mathbf{g}{0} \ \mathbf{g}{1} \
\vdots \
\mathbf{g}{k-1} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc} g{0,0} & g_{0,1} & \cdots & g_{0, n-1} \
g_{1,0} & g_{1,1} & \cdots & g_{1, n-1} \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
g_{k-1,0} & g_{k-1,1} & \cdots & g_{k-1, n-1}
\end{array}\right)
$$

with $k$ linearly independent basis vectors $\mathbf{g}{0}, \mathbf{g}{1}, \ldots, \mathbf{g}{k-1}$ which themselves are valid code vectors of the linear block code $\mathrm{B}(n, k, d)$. Owing to the algebraic properties of a cyclic code there exists a unique polynomial $$ g(z)=g{0}+g_{1} z+\cdots+g_{n-k-1} z^{n-k-1}+g_{n-k} z^{n-k}
$$
of minimal degree $\operatorname{deg}(g(z))=n-k$ with $g_{n-k}=1$ such that the corresponding generator matrix can be written as
$$
\mathbf{G}=\left(\begin{array}{ccccccccccc}
g_{0} & g_{1} & \cdots & g_{n-k} & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \
0 & g_{0} & \cdots & g_{n-k-1} & g_{n-k} & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \
0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & g_{0} & g_{1} & \cdots & g_{n-k} & 0 \
0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & g_{0} & \cdots & g_{n-k-1} & g_{n-k}
\end{array}\right)
$$
This polynomial $g(z)$ is called the generator polynomial of the cyclic code $\mathbb{B}(n, k, d)$ (Berlekamp, 1984; Bossert, 1999; Lin and Costello, 2004; Ling and Xing, 2004). The rows of the generator matrix $\mathbf{G}$ are obtained from the generator polynomial $g(z)$ and all cyclic shifts $z g(z), z^{2} g(z), \ldots, z^{k-1} g(z)$ which correspond to valid code words of the cyclic code. Formally, we can write the generator matrix as
$$
\mathbf{G}=\left(\begin{array}{c}
g(z) \
z g(z) \
\vdots \
z^{k-2} g(z) \
z^{k-1} g(z)
\end{array}\right)
$$

数学代写|编码理论作业代写Coding Theory代考|Cyclic Redundancy Check

With the help of the generator polynomial $g(z)$ of a cyclic code $\mathrm{B}(n, k, d)$, the so-called cyclic redundancy check (CRC) can be defined for the detection of errors (Lin and Costello, 2004). Besides the detection of $e_{\text {det }}=d-1$ errors by a cyclic code $\mathbb{B}(n, k, d)$ with minimum Hamming distance $d$, cyclic error bursts can also be detected. With a generator polynomial $g(z)$ of degree $\operatorname{deg}(g(z))=n-k$, all cyclic error bursts of length
$$
\ell_{\text {burst }} \leq n-k
$$
can be detected (Jungnickel, 1995). This can be seen by considering the error model $r(z)=$ $b(z)+e(z)$ with the received polynomial $r(z)$, the code polynomial $b(z)$ and the error polynomial $e(z)$ (see also Figure 2.46). Errors can be detected as long as the parity-check equation
$$
g(z) \mid r(z) \Leftrightarrow r(z) \in \mathrm{B}(n, k, d)
$$
of the cyclic code $\mathbb{B}(n, k, d)$ is fulfilled. Since $g(z) \mid b(z)$, all errors for which the error polynomial $e(z)$ is not divisible by the generator polynomial $g(z)$ can be detected. As long as the degree $\operatorname{deg}(e(z))$ is smaller than $\operatorname{deg}(g(z))=n-k$, the error polynomial $e(z)$ cannot be divided by the generator polynomial. This is also true if cyclically shifted variants $z^{i} e(z)$ of such an error polynomial are considered. Since for an error burst of length $\ell_{\text {burst }}$ the degree of the error polynomial is equal to $\ell_{\text {burst }}-1$, the error detection is possible if
$$
\operatorname{deg}(e(z))=\ell_{\text {burst }}-1<n-k=\operatorname{deg}(g(z)) \text {. }
$$

数学代写|编码理论作业代写Coding Theory代考|Cyclic Codes

编码理论代写

数学代写|编码理论作业代写Coding Theory代考|Definition of Cyclic Codes

循环码的特征是线性块码乙(n,ķ,d)具有每个代码字的附加属性

b=(b0,b1,…,bn−2,bn−1)

所有循环移位的词

(bn−1,b0,…,bn−3,bn−2) (bn−2,bn−1,…,bn−4,bn−3) ⋮ (b2,b3,…,b0,b1) (b1,b2,…,bn−1,b0)
也是有效的代码字乙(n,ķ,d)(Lin 和 Costello,2004 年;Ling 和 Xing,2004 年)。如果一个代码字可以简明地表述这个性质b∈Fqn表示为多项式

b(和)=b0+b1和+⋯+bn−2和n−2+bn−1和n−1
在有限域上Fq⋅16循环移位

(b0,b1,…,bn−2,bn−1)↦(bn−1,b0,b1,…,bn−2)
码多项式的b(和)∈Fq[和]那么可以表示为

b0+b1和+⋯+bn−2和n−2+bn−1和n−1↦bn−1+b0和+b1和2+⋯+bn−2和n−1.
因为

bn−1+b0和+b1和2+⋯+bn−2和n−1=和b(和)−bn−1(和n−1)
并通过观察代码多项式b(和)是最大程度的n−1,我们表示循环移位码多项式模和n−1, IE

bn−1+b0和+b1和2+⋯+bn−2和n−1≡和b(和)反对和n−1.
循环码乙(n,ķ,d)因此满足以下代数性质

b(和)∈乙(n,ķ,d)⇔和b(和)反对和n−1∈乙(n,ķ,d).
出于这个原因——如果没有另外说明——我们考虑阶乘环中的多项式Fq[和]/(和n−1). 数字2.38总结了循环码的定义。

类似于一般的线性块码,可以由生成矩阵 G 或对应的奇偶校验矩阵来定义H, 循环码可以用生成多项式来表征G(和)和奇偶校验多项式H(和),正如我们将在下文中展示的那样(Berlekamp,1984;Bossert,1999;Lin 和 Costello,2004;Ling 和 Xing,2004)。

数学代写|编码理论作业代写Coding Theory代考|Generator Polynomial

线性块码乙(n,ķ,d)由定义ķ×n生成矩阵

G=(G0 G1 ⋮ Gķ−1)=(G0,0G0,1⋯G0,n−1 G1,0G1,1⋯G1,n−1 ⋮⋮⋱⋮ Gķ−1,0Gķ−1,1⋯Gķ−1,n−1)

和ķ线性独立的基向量G0,G1,…,Gķ−1它们本身是线性块代码的有效代码向量乙(n,ķ,d). 由于循环码的代数性质,存在唯一多项式

G(和)=G0+G1和+⋯+Gn−ķ−1和n−ķ−1+Gn−ķ和n−ķ
最低程度的你⁡(G(和))=n−ķ和Gn−ķ=1使得对应的生成矩阵可以写成

G=(G0G1⋯Gn−ķ0⋯00⋯00 0G0⋯Gn−ķ−1Gn−ķ⋯00⋯00 ⋮⋮⋱⋮⋮⋱⋮⋮⋱⋮⋮ 00⋯00⋯G0G1⋯Gn−ķ0 00⋯00⋯0G0⋯Gn−ķ−1Gn−ķ)
这个多项式G(和)称为循环码的生成多项式乙(n,ķ,d)(Berlekamp,1984;Bossert,1999;Lin 和 Costello,2004;Ling 和 Xing,2004)。生成矩阵的行G从生成多项式获得G(和)和所有循环移位和G(和),和2G(和),…,和ķ−1G(和)对应于循环码的有效码字。形式上,我们可以将生成矩阵写为

G=(G(和) 和G(和) ⋮ 和ķ−2G(和) 和ķ−1G(和))

数学代写|编码理论作业代写Coding Theory代考|Cyclic Redundancy Check

在生成多项式的帮助下G(和)循环码乙(n,ķ,d),可以定义所谓的循环冗余校验 (CRC) 来检测错误 (Lin and Costello, 2004)。除了检测和这 =d−1循环码错误乙(n,ķ,d)具有最小汉明距离d,也可以检测到循环错误突发。使用生成多项式G(和)学位你⁡(G(和))=n−ķ, 所有长度的循环错误突发

ℓ爆裂 ≤n−ķ
可以检测到(Jungnickel,1995)。这可以通过考虑误差模型来看出r(和)= b(和)+和(和)与收到的多项式r(和), 码多项式b(和)和误差多项式和(和)(另请参见图 2.46)。只要奇偶校验等式就可以检测到错误

G(和)∣r(和)⇔r(和)∈乙(n,ķ,d)
循环码乙(n,ķ,d)被履行。自从G(和)∣b(和), 误差多项式的所有误差和(和)不能被生成多项式整除G(和)可以检测到。只要学历你⁡(和(和))小于你⁡(G(和))=n−ķ, 误差多项式和(和)不能被生成多项式整除。如果循环移位变体也是如此和一世和(和)考虑这样的误差多项式。因为对于长度的错误突发ℓ爆裂 误差多项式的次数等于ℓ爆裂 −1,错误检测是可能的,如果

你⁡(和(和))=ℓ爆裂 −1<n−ķ=你⁡(G(和)). 

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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