数学代写|编码理论作业代写Coding Theory代考|Error Detection and Error Correction

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编码理论是研究编码的属性和它们各自对特定应用的适用性。编码被用于数据压缩、密码学、错误检测和纠正、数据传输和数据存储。各种科学学科,如信息论、电气工程、数学、语言学和计算机科学,都对编码进行了研究,目的是设计高效和可靠的数据传输方法。这通常涉及消除冗余和纠正或检测传输数据中的错误。

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  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|编码理论作业代写Coding Theory代考|Error Detection and Error Correction

数学代写|编码理论作业代写Coding Theory代考|Error Detection and Error Correction

Based on the minimum distance decoding rule and the code space concept, we can assess the error detection and error correction capabilities of a given channel code. To this end, let $\mathbf{b}$ and $\mathbf{b}^{\prime}$ be two code words of an $(n, k)$ block code $\mathrm{B}(n, k, d)$. The distance of these code words shall be equal to the minimum Hamming distance, i.e. $\operatorname{dist}\left(\mathbf{b}, \mathbf{b}^{\prime}\right)=d$. We are able to detect errors as long as the erroneously received word $\mathbf{r}$ is not equal to a code word different from the transmitted code word. This error detection capability is guaranteed as long as the number of errors is smaller than the minimum Hamming distance $d$, because another code word (e.g. $\mathbf{b}^{\prime}$ ) can be reached from a given code word (e.g. b) merely by changing at least $d$ components. For an ( $n, k)$ block code $\mathrm{B}(n, k, d)$ with minimum Hamming distance $d$, the number of detectable errors is therefore given by (Bossert, 1999; Lin and Costello, 2004; Ling and Xing, 2004; van Lint, 1999)
$$
e_{\text {det }}=d-1 .
$$
For the analysis of the error correction capabilities of the $(n, k)$ block code $\mathbb{B}(n, k, d)$ we define for each code word $\mathbf{b}$ the corresponding correction ball of radius $\varrho$ as the subset of all words that are closer to the code word $\mathbf{b}$ than to any other code word $\mathbf{b}^{\prime}$ of the block code $\mathrm{B}(n, k, d)$ (see Figure 2.10). As we have seen in the last section, for minimum distance decoding, all received words within a particular correction ball are decoded into the respective code word $\mathbf{b}$. According to the radius $\varrho$ of the correction balls, besides the code word $\mathbf{b}$, all words that differ in $1,2, \ldots, \varrho$ components from $\mathbf{b}$ are elements of the corresponding correction ball. We can uniquely decode all elements of a correction ball into the corresponding code word $\mathbf{b}$ as long as the correction balls do not intersect. This condition is true if $\varrho<\frac{d}{2}$ holds. Therefore, the number of correctable errors of a block code $\mathbb{B}(n, k, d)$ with minimum Hamming distance $d$ is given by (Bossert, 1999; Lin and Costello, 2004; Ling and Xing, 2004; van Lint, 1999) ${ }^{5}$
$$
e_{\mathrm{cor}}=\left\lfloor\frac{d-1}{2}\right\rfloor .
$$

For the binary symmetric channel the number of errors $w$ within the $n$-dimensional transmitted code word is binomially distributed according to $\operatorname{Pr}{w$ errors $}=\left(\begin{array}{c}n \ w\end{array}\right) \varepsilon^{w}(1-$ remaining detection error probability is bounded by
$$
p_{\mathrm{det}} \leq \sum_{w=e_{\mathrm{det}}+1}^{n}\left(\begin{array}{l}
n \
w
\end{array}\right) \varepsilon^{w}(1-\varepsilon)^{n-w}=1-\sum_{w=0}^{e_{\text {det }}}\left(\begin{array}{l}
n \
w
\end{array}\right) \varepsilon^{w}(1-\varepsilon)^{n-w}
$$ for a binary symmetric channel can be similarly bounded by
$$
p_{\mathrm{err}} \leq \sum_{w=e_{\mathrm{cor}}+1}^{n}\left(\begin{array}{l}
n \
w
\end{array}\right) \varepsilon^{w}(1-\varepsilon)^{n-w}=1-\sum_{w=0}^{e_{\mathrm{cor}}}\left(\begin{array}{l}
n \
w
\end{array}\right) \varepsilon^{w}(1-\varepsilon)^{n-w}
$$

数学代写|编码理论作业代写Coding Theory代考|Definition of Linear Block Codes

The $(n, k)$ block code $\mathbb{B}(n, k, d)$ with minimum Hamming distance $d$ over the finite field $\mathrm{F}{q}$ is called linear, if $\mathrm{B}(n, k, d)$ is a subspace of the vector space $\mathrm{F}{q}^{n}$ of dimension $k$ (Lin and Costello, 2004; Ling and Xing, 2004). The number of code words is then given by
$$
M=q^{k}
$$
according to the code rate
$$
R=\frac{k}{n} .
$$
Because of the linearity property, an arbitrary superposition of code words again leads to a valid code word of the linear block code $\mathrm{B}(n, k, d)$, i.e.
$$
\alpha_{2} \mathbf{b}{1}+\alpha{2} \mathbf{b}{2}+\cdots+\alpha{l} \mathbf{b}{l} \in \mathbb{B}(n, k, d) $$ with $\alpha{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{l} \in \mathbb{F}{q}$ and $\mathbf{b}{1}, \mathbf{b}{2}, \ldots, \mathbf{b}{l} \in \mathrm{B}(n, k, d)$. Owing to the linearity, the $n$ dimensional zero row vector $\mathbf{0}=(0,0, \ldots, 0)$ consisting of $n$ zeros is always a valid code word. It can be shown that the minimum Hamming distance of a linear block code $\mathrm{B}(n, k, d)$ is equal to the minimum weight of all non-zero code words, i.e.
$$
d=\min {\mathbf{b} \neq \mathbf{b}^{\prime}} \operatorname{dist}\left(\mathbf{b}, \mathbf{b}^{\prime}\right)=\min {\mathbf{b} \neq \mathbf{0}} \mathbf{w t}(\mathbf{b}) .
$$
These properties are summarised in Figure 2.11. As a simple example of a linear block code, the binary parity-check code is described in Figure $2.12$ (Bossert, 1999).

For each linear block code an equivalent code can be found by rearranging the code word symbols. ${ }^{7}$ This equivalent code is characterised by the same code parameters as the original code, i.e. the equivalent code has the same dimension $k$ and the same minimum Hamming distance $d$.

数学代写|编码理论作业代写Coding Theory代考|Parity-Check Matrix

With the help of the generator matrix $\mathbf{G}=\left(\mathbf{I}{k} \mid \mathbf{A}{k, n-k}\right)$, the following $(n-k) \times n$ matrix $-$ the so-called parity-check matrix – can be defined (Bossert, 1999; Lin and Costello, 2004; Ling and Xing, 2004)
$$
\mathbf{H}=\left(\mathbf{B}{n-k, k} \mid \mathbf{I}{n-k}\right)
$$
with the $(n-k) \times(n-k)$ identity matrix $\mathbf{I}{n-k}$. The $(n-k) \times k$ matrix $\mathbf{B}{n-k, k}$ is given by
$$
\mathbf{B}{n-k, k}=-\mathbf{A}{k, n-k^{*}}^{\mathrm{T}}
$$
For the matrices $\mathbf{G}$ and $\mathbf{H}$ the following property can be derived
$$
\mathbf{H} \mathbf{G}^{\mathrm{T}}=\mathbf{B}{n-k, k}+\mathbf{A}{k, n-k}^{\mathrm{T}}=\mathbf{0}{n-k, k} $$ with the $(n-k) \times k$ zero matrix $\mathbf{0}{n-k, k}$. The generator matrix $\mathbf{G}$ and the parity-check matrix $\mathbf{H}$ are orthogonal, i.e. all row vectors of $\mathbf{G}$ are orthogonal to all row vectors of $\mathbf{H}$.
Using the $n$-dimensional basis vectors $\mathbf{g}{0}, \mathbf{g}{1}, \ldots, \mathbf{g}{k-1}$ and the transpose of the generator matrix $\mathbf{G}^{\mathrm{T}}=\left(\mathrm{g}{0}^{\mathrm{T}}, \mathbf{g}{1}^{\mathrm{T}}, \ldots, \mathrm{g}{k-1}^{\mathrm{T}}\right)$, we obtain
$$
\mathbf{H} \mathbf{G}^{\mathrm{T}}=\mathbf{H}\left(\mathrm{g}{0}^{\mathrm{T}}, \mathbf{g}{1}^{\mathrm{T}}, \ldots, \mathbf{g}{k-1}^{\mathrm{T}}\right)=\left(\mathbf{H g}{0}^{\mathrm{T}}, \mathbf{H} \mathbf{g}{1}^{\mathrm{T}}, \ldots, \mathbf{H} \mathbf{g}{k-1}^{\mathrm{T}}\right)=(\mathbf{0}, \mathbf{0}, \ldots, \mathbf{0})
$$
with the $(n-k)$-dimensional all-zero column vector $0=(0,0, \ldots, 0)^{\mathrm{T}}$. This is equivalent to $\mathbf{H} \mathbf{g}{i}^{\mathrm{T}}=\mathbf{0}$ for $0 \leq i \leq k-1$. Since each code vector $\mathbf{b} \in \mathbb{B}(n, k, d)$ can be written as $$ \mathbf{b}=\mathbf{u} \mathbf{G}=u{0} \mathbf{g}{0}+u{1} \mathbf{g}{1}+\cdots+u{k-1} \mathbf{g}_{k-1}
$$

数学代写|编码理论作业代写Coding Theory代考|Error Detection and Error Correction

编码理论代写

数学代写|编码理论作业代写Coding Theory代考|Error Detection and Error Correction

基于最小距离解码规则和码空间概念,我们可以评估给定信道码的检错和纠错能力。为此,让b和b′是一个的两个代码字(n,ķ)块代码乙(n,ķ,d). 这些码字的距离应等于最小汉明距离,即距离⁡(b,b′)=d. 只要错误接收到的字,我们就能够检测到错误r不等于与发送码字不同的码字。只要错误的数量小于最小汉明距离,就可以保证这种错误检测能力d,因为另一个代码字(例如b′) 可以从给定的代码字(例如 b)仅通过更改至少d组件。为 (n,ķ)块代码乙(n,ķ,d)具有最小汉明距离d,因此可检测错误的数量由下式给出(Bossert,1999;Lin 和 Costello,2004;Ling 和 Xing,2004;van Lint,1999)

和这 =d−1.
用于分析的纠错能力(n,ķ)块代码乙(n,ķ,d)我们为每个码字定义b相应的半径修正球ϱ作为更接近码字的所有字的子集b比任何其他代码字b′块代码乙(n,ķ,d)(见图 2.10)。正如我们在上一节中看到的,对于最小距离解码,特定校正球内的所有接收字都被解码为相应的代码字b. 根据半径ϱ校正球,除了代码字b, 所有不同的词1,2,…,ϱ组件来自b是相应修正球的元素。我们可以将一个修正球的所有元素唯一地解码成对应的码字b只要修正球不相交。这个条件为真,如果ϱ<d2持有。因此,块码的可纠正错误数乙(n,ķ,d)具有最小汉明距离d由(Bossert,1999;Lin 和 Costello,2004;Ling 和 Xing,2004;van Lint,1999)给出5

和C这r=⌊d−12⌋.

对于二进制对称通道,错误数在内n-维传输码字按照二项式分布公关⁡在$和rr这rs$=(n 在)e在(1−剩余检测错误概率为

pd和吨≤∑在=和d和吨+1n(n 在)e在(1−e)n−在=1−∑在=0和这 (n 在)e在(1−e)n−在对于二进制对称通道,可以类似地由

p和rr≤∑在=和C这r+1n(n 在)e在(1−e)n−在=1−∑在=0和C这r(n 在)e在(1−e)n−在

数学代写|编码理论作业代写Coding Theory代考|Definition of Linear Block Codes

这(n,ķ)块代码乙(n,ķ,d)具有最小汉明距离d在有限域上Fq称为线性,如果乙(n,ķ,d)是向量空间的子空间Fqn维度的ķ(Lin 和 Costello,2004 年;Ling 和 Xing,2004 年)。代码字的数量由下式给出

米=qķ
根据码率

R=ķn.
由于线性特性,码字的任意叠加再次导致线性块码的有效码字乙(n,ķ,d), IE

一种2b1+一种2b2+⋯+一种lbl∈乙(n,ķ,d)和一种1,一种2,…,一种l∈Fq和b1,b2,…,bl∈乙(n,ķ,d). 由于线性度,n维零行向量0=(0,0,…,0)包含由…组成nzeros 始终是有效的代码字。可以证明线性分组码的最小汉明距离乙(n,ķ,d)等于所有非零码字的最小权重,即

d=分钟b≠b′距离⁡(b,b′)=分钟b≠0在吨(b).
这些属性总结在图 2.11 中。作为线性块码的一个简单示例,二进制奇偶校验码在图 1 中描述2.12(博塞特,1999)。

对于每个线性块代码,可以通过重新排列代码字符号来找到等效代码。7该等价码的特点是与原码具有相同的码参数,即等价码具有相同的维数ķ和相同的最小汉明距离d.

数学代写|编码理论作业代写Coding Theory代考|Parity-Check Matrix

在生成矩阵的帮助下G=(一世ķ∣一种ķ,n−ķ), 以下(n−ķ)×n矩阵−所谓的奇偶校验矩阵——可以定义(Bossert,1999;Lin 和 Costello,2004;Ling 和 Xing,2004)

H=(乙n−ķ,ķ∣一世n−ķ)
与(n−ķ)×(n−ķ)单位矩阵一世n−ķ. 这(n−ķ)×ķ矩阵乙n−ķ,ķ是(谁)给的

乙n−ķ,ķ=−一种ķ,n−ķ∗吨
对于矩阵G和H可以推导出以下性质

HG吨=乙n−ķ,ķ+一种ķ,n−ķ吨=0n−ķ,ķ与(n−ķ)×ķ零矩阵0n−ķ,ķ. 生成矩阵G和奇偶校验矩阵H是正交的,即所有行向量G正交于所有行向量H.
使用n维基向量G0,G1,…,Gķ−1以及生成矩阵的转置G吨=(G0吨,G1吨,…,Gķ−1吨), 我们获得

HG吨=H(G0吨,G1吨,…,Gķ−1吨)=(HG0吨,HG1吨,…,HGķ−1吨)=(0,0,…,0)
与(n−ķ)维全零列向量0=(0,0,…,0)吨. 这相当于HG一世吨=0为了0≤一世≤ķ−1. 由于每个代码向量b∈乙(n,ķ,d)可以写成

b=在G=在0G0+在1G1+⋯+在ķ−1Gķ−1

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

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