数学代写|表示论代写Representation theory代考|Branching Laws and the Multiplicity Function

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表示论是数学的一个分支,它通过将抽象代数结构的元素表示为向量空间的线性变换来研究抽象代数结构,并研究这些抽象代数结构上的模块。实质上,表示通过用矩阵及其代数运算来描述其元素,使抽象代数对象更加具体。矩阵和线性运算符的理论已被充分理解,因此用熟悉的线性代数对象来表示更抽象的对象有助于收集属性,有时还能简化更抽象理论的计算。

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  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|表示论代写Representation theory代考|Branching Laws and the Multiplicity Function

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Generalities and Notations

We begin this section by reviewing some facts about induced and restricted representations of a solvable Lie group. One says that $G$ is an exponential solvable Lie group if the exponential mapping exp : $\mathfrak{g} \longrightarrow G$ is a diffeomorphism, where $\mathfrak{g}$ designates the Lie algebra of $G$. Let $\mathfrak{g}^{}$ be the dual space of $\mathfrak{g}$. The Lie algebra $\mathfrak{g}$ acts on $\mathfrak{g}$ by the adjoint representation $\mathrm{ad}{\mathfrak{g}}$, that is $$ \operatorname{ad}{\mathfrak{g}}(X)(Y)=\operatorname{ad}(X)(Y)=[X, Y], X, Y \in \mathfrak{g}
$$
The group $G$ acts on $g$ by the adjoint representation Ad $_{\mathfrak{g}}$, that is
$$
\operatorname{Ad}{g}(g) Y=\operatorname{Ad}(g) Y=e^{\operatorname{ad}(X)} Y, g \in G, Y \in \mathfrak{g} $$ and on $\mathrm{g}^{}$ by the coadjoint representation $\mathrm{Ad}{\mathrm{g}}^{}$, i.e. $$ \operatorname{Ad}_{\mathfrak{g}}^{}(g) l(X)=g \cdot l(X)=l\left(\operatorname{Ad}\left(g^{-1}\right) X\right), \quad g \in G, l \in \mathfrak{g}^{} X \in \mathfrak{g} $$ The coadjoint orbit $G \cdot l$ (or $G l$ for short) of $l$ is the set $$ G \cdot l={g \cdot l, g \in G} $$ The space of coadjoint orbits is denoted by $\mathrm{g}^{} / G$.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Modular Functions and Quotient Measures

Let $G$ be an exponential solvable Lie group with Lie algebra $g$. Let $d g$ be a left Haar measure of $G$ and $\Delta_{G}$ the modular function of $G$, which is defined by the relation
$$
\int_{G} F\left(g x^{-1}\right) d g=\Delta_{G}(x) \int_{G} F(g) d g(x \in G)
$$
for any $F$ in the set $C_{c}(G)$ of continuous functions on $G$ with compact support. It is well known that
$$
\Delta_{G}(x)=|\operatorname{det} \operatorname{Ad} x|^{-1}(x \in G)
$$
Define for a subgroup $K$ in $G$ the function $\Delta_{K, G}(k)$ on $K$ by
$$
\Delta_{K, G}(k)=\frac{\Delta_{K}(k)}{\Delta_{G}(k)},(k \in K) .
$$
Let $\mathscr{E}(G, K)$ be the space of continuous functions $\xi$ on $G$ with compact support modulo $K$ which satisfy
$$
\xi(g k)=\Delta_{K, G}(k) \xi(g) \quad(g \in G, k \in K) .
$$
Then $G$ acts on $\mathscr{E}(G, K)$ by left translations. It is known [24] that, up to a positive scalar factor, there exists a unique $G$-invariant positive linear form on $E(G, K)$. We denote it by $\mu_{G, K}$ and write it as
$$
\mu_{G, K}(\xi)=\oint_{G / K} \xi(g) \mu_{G, K}(g)
$$
If $\Delta_{K}=\Delta_{G}$ on $K$ (this is for example the case if $K$ is a normal subgroup of $G$ ), then $\mu_{G, K}$ turns out to be a $G$-invariant measure on the homogeneous space $G / K$.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Branching Laws: Induced Representations

Let $p_{\mathfrak{h}}: \mathfrak{g}^{} \rightarrow \mathfrak{h}^{}$ be the canonical projection of $\mathfrak{h}$, and $\Omega_{\sigma}^{H}$ the coadjoint orbit associated to the representation $\sigma$ by the Kirillov-Bernat map $\Theta_{H}: \mathbf{h}^{} \rightarrow \hat{H}$, (where $\hat{H}$ is the unitary dual of $H$ ). The natural measure on $p_{h}^{-1}\left(\Omega_{\sigma}^{H}\right)$ is the fiber measure that has $H$-invariant measure on the base $\Omega_{\sigma}^{H}$ and Lebesgue measure on the affine fiber $\mathfrak{h}^{\perp}$. The representation $\tau(\sigma)$ obeys the orbital spectrum formula (cf. $[63])$ $$ \tau(\sigma) \simeq \int_{G \cdot p_{h}^{-1}\left(\Omega_{\sigma}^{H}\right) / G}^{\oplus} n_{\phi}^{\sigma} \pi_{\phi} d v_{G, H}^{\sigma}(\phi) $$ where $\nu_{G, H}^{\sigma}$ is the push-forward of the natural measure on $p_{\mathrm{b}}^{-1}\left(\Omega_{\sigma}^{H}\right) \subset \mathrm{g}^{}$ under the mapping $p_{\mathrm{h}}^{-1}\left(\Omega_{\sigma}^{H}\right) \rightarrow G \cdot p_{\mathrm{h}}^{-1}\left(\Omega_{\sigma}^{H}\right) / G$, and the value of the multiplicity function $n_{\phi}^{\sigma}$ is the number of $H$-orbits in $p_{\mathrm{h}}^{-1}\left(\Omega_{\sigma}^{H}\right) \cap G \cdot \phi$. We denote this number by $#\left[p_{h}^{-1}\left(\Omega_{\sigma}^{H}\right) \cap G \cdot \phi / H\right]$ (the symbol #E denotes the cardinality of the set $E$ ).

If $G$ is a completely solvable Lie group , the multiplicity function $\phi \longmapsto n_{\phi}^{\sigma}$ is either uniformly infinite or uniformly finite and bounded. In particular, the multiplicities are finite if and only if
$$
\operatorname{dim} G \cdot \phi-2 \operatorname{dim} H \cdot \phi+\operatorname{dim} \Omega_{\sigma}^{H}=0
$$
for a generic $\phi \in p_{h}^{-1}\left(\Omega_{\sigma}^{H}\right)(\operatorname{see}[104])$

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Branching Laws and the Multiplicity Function

表示论代考

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Generalities and Notations

我们首先回顾一些关于可解李群的诱导和限制表示的事实。一个人说G如果指数映射 exp 是指数可解李群:G⟶G是微分同胚,其中G指定的李代数G. 让G成为对偶空间G. 李代数G作用于G由伴随代表一个dG, 那是

广告⁡G(X)(是)=广告⁡(X)(是)=[X,是],X,是∈G
群组G作用于G由伴随表示 AdG, 那是

广告⁡G(G)是=广告⁡(G)是=和广告⁡(X)是,G∈G,是∈G和上G由联合表示一个dG, IE

广告G⁡(G)l(X)=G⋅l(X)=l(广告⁡(G−1)X),G∈G,l∈GX∈G共同轨道G⋅l(或者Gl简称)的l是集合

G⋅l=G⋅l,G∈G共伴轨道的空间表示为G/G.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Modular Functions and Quotient Measures

让G是具有李代数的指数可解李群G. 让dG是一个左 Haar 度量G和ΔG的模函数G,由关系定义

∫GF(GX−1)dG=ΔG(X)∫GF(G)dG(X∈G)
对于任何F在集合中CC(G)上的连续函数G与紧凑的支持。众所周知,

ΔG(X)=|这⁡广告⁡X|−1(X∈G)
为子组定义ķ在G功能Δķ,G(ķ)上ķ经过

Δķ,G(ķ)=Δķ(ķ)ΔG(ķ),(ķ∈ķ).
让和(G,ķ)是连续函数的空间X上G带紧凑支撑模ķ满足

X(Gķ)=Δķ,G(ķ)X(G)(G∈G,ķ∈ķ).
然后G作用于和(G,ķ)通过左翻译。众所周知[24],直到一个正标量因子,存在一个唯一的G-不变的正线性形式和(G,ķ). 我们将其表示为μG,ķ并将其写为

μG,ķ(X)=∮G/ķX(G)μG,ķ(G)
如果Δķ=ΔG上ķ(例如,如果ķ是一个正规子群G), 然后μG,ķ原来是一个G- 齐次空间上的不变测度G/ķ.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Branching Laws: Induced Representations

让pH:G→H是的规范投影H, 和ΩσH与表示相关联的共同轨道σ由基里洛夫-贝尔纳特地图θH:H→H^, (在哪里H^是的酉对偶H)。自然措施pH−1(ΩσH)是具有H- 基础上的不变测度ΩσH和 Lebesgue 测量仿射纤维H⊥. 代表性τ(σ)遵循轨道谱公式(cf.[63])

τ(σ)≃∫G⋅pH−1(ΩσH)/G⊕nφσ圆周率φd在G,Hσ(φ)在哪里νG,Hσ是自然措施的推进pb−1(ΩσH)⊂G在映射下pH−1(ΩσH)→G⋅pH−1(ΩσH)/G,以及多重性函数的值nφσ是数量H- 轨道pH−1(ΩσH)∩G⋅φ. 我们用这个数字表示#\left[p_{h}^{-1}\left(\Omega_{\sigma}^{H}\right) \cap G \cdot \phi / H\right]#\left[p_{h}^{-1}\left(\Omega_{\sigma}^{H}\right) \cap G \cdot \phi / H\right](符号#E 表示集合的基数和 ).

如果G是一个完全可解的李群,多重性函数φ⟼nφσ是一致无限或一致有限且有界的。特别是,多重性是有限的当且仅当

暗淡⁡G⋅φ−2暗淡⁡H⋅φ+暗淡⁡ΩσH=0
对于一个通用的φ∈pH−1(ΩσH)(看⁡[104])

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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