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表示论是数学的一个分支，它通过将抽象代数结构的元素表示为向量空间的线性变换来研究抽象代数结构，并研究这些抽象代数结构上的模块。[1][2]实质上，表示通过用矩阵及其代数运算（例如，矩阵加、矩阵乘）来描述其元素，使抽象代数对象更加具体。矩阵和线性运算符的理论已被充分理解，因此用熟悉的线性代数对象来表示更抽象的对象有助于收集属性，有时还能简化更抽象理论的计算。
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数学代写|表示论代写Representation theory代考|Main Theorem
Let $V$ be a Poisson vertex algebra. By Theorem 3.9, we have an odd element $X \in$ $W_{\mathrm{cl}}(\Pi V)$ such that $[X, X]=0$, which is associated with the PVA structure of $V$ by (3.37). Thus, there is the PVA cohomology complex
$$
\left(W_{\mathrm{cl}}(\Pi V), \operatorname{ad} X\right)
$$
A classical $n$-cochain is an element $Y \in W_{\mathrm{cl}}^{n-1}(\Pi V)$, namely a map
$$
Y: \mathcal{G}(n) \times(\Pi V)^{\otimes n} \longrightarrow(\Pi V)\left[\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}\right] /\left\langle\partial+\lambda_{1}+\cdots+\lambda_{n}\right\rangle
$$
satisfying relations (3.25), (3.26), (3.28), (3.29), and the following symmetry property (by definition (3.20)):
$$
Y^{\sigma}=Y, \quad \forall \sigma \in S_{n}
$$
Recall the grading of the superoperad $\mathcal{P}{\mathrm{cl}}(\Pi V)$ from $(3.36): \mathrm{gr}^{\prime} W{\mathrm{cl}}^{n-1}(\Pi V)$ is the set of maps $Y$ as in (4.2) such that
$$
Y^{\Gamma}=0 \text { unless }|E(\Gamma)|=r .
$$
Note that if $\Gamma \in \mathcal{G}(n)$ has $|E(\Gamma)| \geq n$, then necessarily $\Gamma$ contains a cycle. Hence, by the cycle relation $(3.25), Y^{\Gamma}=0$. Therefore the top degree in gr $W_{\mathrm{cl}}^{n-1}(\Pi V)$ is $n-1$, i.e.,
$$
\mathrm{gr}^{r} W_{\mathrm{cl}}^{n-1}(\Pi V)=0 \text { if } r \geq n
$$
Note that, if $\Gamma \in \mathcal{G}{0}(n)$, then $|E(\Gamma)|=n-1$ if and only if $\Gamma$ is connected. By Remark $3.8$, the top degree subspace gr ${ }^{n-1} W{c l}^{n-1}(\Pi V)$ consists of all collections of maps
$$
Y^{\Gamma}:(\Pi V)^{\otimes n} \longrightarrow(\Pi V), \quad \text { for } \Gamma \in \mathcal{G}{0}(n), \quad|E(\Gamma)|=n-1 $$ satisfying (3.25), (3.26), (4.3), and $Y^{\Gamma}\left(\partial\left(v{1} \otimes \cdots \otimes v_{n}\right)\right)=\partial Y^{\Gamma}\left(v_{1} \otimes \cdots \otimes v_{n}\right)$. If $\Gamma$ is not connected, then $Y^{\Gamma}=0$.
In addition, as explained in Sect. $2.3$, there is another cohomology complex associated with $V$, viewed as a differential algebra, namely the differential Harrison complex
$$
\left(C_{\partial, \operatorname{Har}}(V), d\right)
$$
where $C_{\partial, \mathrm{Har}}^{n}(V) \subset \operatorname{Hom}_{\mathbb{F}[\partial]}\left(V^{\otimes n}, V\right)$ is defined by Harrison’s conditions (2.11) and $d$ is the Hochschild differential (2.2).
The main result of this paper is the following:
数学代写|表示论代写Representation theory代考|Lines
We say that a graph $\Gamma \in \mathcal{G}(n)$ is a non-connected line if it has the following form:
where $1 \leq k_{1} \leq \cdots \leq k_{s}$ are such that $k_{1}+\cdots+k_{s}=n$, and the set of indices $\left{i_{b}^{a}\right}$ is a permutation of ${1, \ldots, n}$ such that
$$
i_{1}^{l}=\min \left{i_{1}^{l}, \ldots, i_{k_{l}}^{l}\right} \quad \forall l=1, \ldots, s
$$
If $k_{l}=k_{l+1}$, we also assume that $i_{1}^{l}<i_{1}^{l+1}$. In particular, the connected lines are all of the form
$$
\sigma\left(\Lambda_{n}\right), \quad \sigma \in S_{n} \text { such that } \sigma(1)=1
$$
where $\Lambda_{n}$ is the $n$-line (4.8). Let $\mathcal{L}(n)$ be the set of $n$-graphs that are non-connected lines. Let also $\mathbb{F} G(n)$ be the vector space with basis the set of graphs $\mathcal{G}(n)$.
Definition 4.2 The cycle relations in $F \mathcal{G}(n)$ are the following elements:
(i) all $\Gamma \in \mathcal{G}(n) \backslash \mathcal{G}{0}(n)$ (i.e., graphs containing a cycle); (ii) all linear combinations $\sum{e \in C} \Gamma \backslash e$, where $\Gamma \in \mathcal{G}(n)$ and $C \subset E(\Gamma)$ is an oriented cycle.
Denote by $R(n) \subset \mathbb{F} G(n)$ the subspace spanned by the cycle relations (4.2) and (4.2).
Note that reversing an arrow in a graph $\Gamma \in \mathcal{G}(n)$ gives us, modulo cycle relations, the element $-\Gamma \in \mathbb{G}(n)$.
数学代写|表示论代写Representation theory代考|Relation Between the Symmetry Property and Harrison’s Conditions
Recall that every $Y \in W_{\mathrm{cl}}^{n-1}(\Pi V)$ satisfies the symmetry property (4.3).
Lemma 4.9 If $Y \in W_{\mathrm{cl}}^{n-1}(\Pi V)$, then $Y^{\Lambda_{n}}$ satisfies Harrison’s relations (2.11), hence it lies in the differential Harrison cohomology complex:
$$
Y^{\Lambda_{n}} \in C_{\partial, \mathrm{Har}}^{n}(V)
$$
Conversely, given $F \in C_{\partial, \mathrm{Har}}^{n}(V)$, there exists a unique $Y \in \mathrm{gr}^{n-1} W_{\mathrm{cl}}^{n-1}(\Pi V)$, such that
$$
Y^{\Lambda_{n}}=F
$$
Consequently, the linear map
$$
\mathrm{gr}^{n-1} W_{\mathrm{cl}}^{n-1}(\Pi V) \stackrel{\sim}{\rightarrow} C_{\partial, \mathrm{Har}}^{n}(V), \quad Y \mapsto Y^{\Lambda_{n}}
$$
is bijective.
Proof First, we prove that, if $Y \in W_{\mathrm{cl}}^{n-1}(\Pi V)$ satisfies the symmetry relations (4.3), then $f=Y^{\Lambda_{n}}$ satisfies Harrison’s conditions (2.11). By Lemma $4.8$ (cf. Remark 4.4), we get
$$
Y^{\Lambda_{n}}=(-1)^{k-1} \sum_{\pi \in \mathcal{M}{n}^{k}} Y^{\pi\left(\Lambda{n}\right)}
$$
Evaluating both sides of this identity on $v_{1} \otimes \cdots \otimes v_{n} \in V^{8 n}$, the left side is simply $Y^{\Lambda_{n}}\left(v_{1} \otimes \cdots \otimes v_{n}\right)=f\left(v_{1} \otimes \cdots \otimes v_{n}\right)$. On the right-hand side, we have
$$
\begin{aligned}
(-1)^{k-1} \sum_{\pi \in \mathcal{M}{n}^{k}} Y^{\pi\left(\Lambda{n}\right)}\left(v_{1} \otimes \cdots \otimes v_{n}\right)=(-1)^{k-1} \sum_{\pi \in \mathcal{M}{n}^{k}}\left(Y^{\pi^{-1}}\right)^{\pi\left(\Lambda{n}\right)}\left(v_{1} \otimes \cdots \otimes v_{n}\right) \
&=(-1)^{k-1} \sum_{\pi \in \mathcal{M}{n}^{k}} \operatorname{sign}(\pi) Y^{\Lambda{n}}\left(v_{\pi(1)} \otimes \cdots \otimes v_{\pi(n)}\right) \
&=L_{k} f\left(v_{1} \otimes \cdots \otimes v_{n}\right),
\end{aligned}
$$
by the definition $(2.10)$ of $L_{k}$. Hence, $f$ satisfies Harrison’s conditions $(2.11)$ as claimed.
We next turn to the second claim of the lemma. Let $F \in C_{\partial, \mathrm{Har}}^{n}(V)$, i.e., $F: V^{\otimes n} \rightarrow V$ is an $\mathbb{F}[\partial]$-module homomorphism satisfying Harrison’s conditions (2.11). Then the corresponding $Y \in \mathrm{gr}^{n-1} W_{\mathrm{cl}}^{n-1}(\Pi V)$, such that $Y \Lambda_{n}=F$, is defined as follows. For $\Gamma \in R(n)$, or if $\Gamma \in \mathcal{L}(n)$ is not connected, we set
$$
Y^{\Gamma}=0
$$
For $\Gamma \in \mathcal{L}(n)$ connected, there exists a unique $\tau \in S_{n}$ such that $\tau(1)=1$ and $\Gamma=\tau\left(\Lambda_{n}\right)$. We then set
$$
Y^{\Gamma}\left(v_{1} \otimes \cdots \otimes v_{n}\right)=\operatorname{sign}(\tau) F\left(v_{\tau(1)} \otimes \cdots \otimes v_{\tau(n)}\right)
$$
表示论代考
数学代写|表示论代写Representation theory代考|Main Theorem
让在是一个泊松顶点代数。根据定理 3.9，我们有一个奇数元素X∈ 在Cl(圆周率在)这样[X,X]=0, 这与 PVA 结构有关在由（3.37）。因此，存在 PVA 上同调复合体
(在Cl(圆周率在),广告X)
一个经典n-cochain 是一个元素是∈在Cln−1(圆周率在)，即地图
是:G(n)×(圆周率在)⊗n⟶(圆周率在)[λ1,…,λn]/⟨∂+λ1+⋯+λn⟩
满足关系式 (3.25), (3.26), (3.28), (3.29) 和以下对称性（根据定义 (3.20)）：
是σ=是,∀σ∈小号n
回想一下超算子 $\mathcal{P} {\mathrm{cl}}(\Pi V)的分级Fr○米(3.36): \ mathrm {gr} ^ {\ prime} W {\ mathrm {cl}} {n-1} (\ Pi V)一世s吨H和s和吨○F米一个ps是一个s一世n(4.2)s在CH吨H一个吨是Γ=0 除非 |和(Γ)|=r.ñ○吨和吨H一个吨一世F\ Gamma \ in \mathcal {G} (n)H一个s| E (\伽玛) | \geq n,吨H和nn和C和ss一个r一世l是\伽玛C○n吨一个一世ns一个C是Cl和.H和nC和,b是吨H和C是Cl和r和l一个吨一世○n(3.25), Y^{\Gamma}=0.吨H和r和F○r和吨H和吨○pd和Gr和和一世nGrW_\mathrm {cl} {n-1} (\Pi V)一世sn-1,一世.和.,Grr在Cln−1(圆周率在)=0 如果 r≥nñ○吨和吨H一个吨,一世F\ Gamma \ in \mathcal {G} {0} (n),吨H和n|E(\Gamma)|=n-1一世F一个nd○nl是一世F\伽玛一世sC○nn和C吨和d.乙是R和米一个rķ3.8,吨H和吨○pd和Gr和和s在bsp一个C和Gr{ }^{n-1} W{cl}^{n-1}(\Pi V)C○ns一世s吨s○F一个llC○ll和C吨一世○ns○F米一个ps是Γ:(圆周率在)⊗n⟶(圆周率在), 为了 Γ∈G0(n),|和(Γ)|=n−1s一个吨一世sF是一世nG(3.25),(3.26),(4.3),一个ndY^{\Gamma}\left(\partial\left(v{1} \otimes \cdots \otimes v_{n}\right)\right)=\partial Y^{\Gamma}\left(v_{1} \otimes \cdots \otimes v_{n}\right).我F\伽玛一世sn○吨C○nn和C吨和d,吨H和nY^{\Gamma}=0$。
此外，如 Sect 中所述。2.3，还有另一个上同调复数与在，被视为微分代数，即微分哈里森复数
(C∂,头发(在),d)
在哪里C∂,H一个rn(在)⊂他F[∂](在⊗n,在)由哈里森条件 (2.11) 定义，并且d是 Hochschild 微分 (2.2)。
本文的主要结果如下：
数学代写|表示论代写Representation theory代考|Lines
我们说一个图Γ∈G(n)
如果它具有以下形式，则为非连接线：1≤ķ1≤⋯≤ķs是这样的ķ1+⋯+ķs=n, 和一组索引\left{i_{b}^{a}\right}\left{i_{b}^{a}\right}是一个排列1,…,n这样
i_{1}^{l}=\min \left{i_{1}^{l}, \ldots, i_{k_{l}}^{l}\right} \quad \forall l=1, \ldots , si_{1}^{l}=\min \left{i_{1}^{l}, \ldots, i_{k_{l}}^{l}\right} \quad \forall l=1, \ldots , s
如果ķl=ķl+1，我们还假设一世1l<一世1l+1. 特别是，连接的线都是形式
σ(Λn),σ∈小号n 这样 σ(1)=1
在哪里Λn是个n-线（4.8）。让大号(n)是一组n- 非连接线图。也让FG(n)是基于图集的向量空间G(n).
定义 4.2 中的循环关系FG(n)是以下要素：
(i) 所有Γ∈G(n)∖G0(n)（即，包含循环的图）；(ii) 所有线性组合∑和∈CΓ∖和， 在哪里Γ∈G(n)和C⊂和(Γ)是一个定向循环。
表示为R(n)⊂FG(n)由循环关系 (4.2) 和 (4.2) 跨越的子空间。
请注意，反转图中的箭头Γ∈G(n)给我们，模循环关系，元素−Γ∈G(n).
数学代写|表示论代写Representation theory代考|Relation Between the Symmetry Property and Harrison’s Conditions
回想一下，每是∈在Cln−1(圆周率在)满足对称性（4.3）。
引理 4.9 如果是∈在Cln−1(圆周率在)， 然后是Λn满足 Harrison 的关系式 (2.11)，因此它位于微分 Harrison 上同调复合体中：
是Λn∈C∂,H一个rn(在)
相反，给定F∈C∂,H一个rn(在), 存在唯一的是∈Grn−1在Cln−1(圆周率在), 这样
是Λn=F
因此，线性映射
Grn−1在Cln−1(圆周率在)→∼C∂,H一个rn(在),是↦是Λn
是双射的。
证明 首先，我们证明，如果是∈在Cln−1(圆周率在)满足对称关系（4.3），则F=是Λn满足 Harrison 的条件 (2.11)。引理4.8（参见备注 4.4），我们得到
是Λn=(−1)ķ−1∑圆周率∈米nķ是圆周率(Λn)
评估这个身份的双方在1⊗⋯⊗在n∈在8n，左边很简单是Λn(在1⊗⋯⊗在n)=F(在1⊗⋯⊗在n). 在右手边，我们有
(−1)ķ−1∑圆周率∈米nķ是圆周率(Λn)(在1⊗⋯⊗在n)=(−1)ķ−1∑圆周率∈米nķ(是圆周率−1)圆周率(Λn)(在1⊗⋯⊗在n) =(−1)ķ−1∑圆周率∈米nķ符号(圆周率)是Λn(在圆周率(1)⊗⋯⊗在圆周率(n)) =大号ķF(在1⊗⋯⊗在n),
根据定义(2.10)的大号ķ. 因此，F满足哈里森的条件(2.11)如声称的那样。
我们接下来转向引理的第二个主张。让F∈C∂,H一个rn(在)， IE，F:在⊗n→在是一个F[∂]-满足 Harrison 条件 (2.11) 的模同态。那么对应的是∈Grn−1在Cln−1(圆周率在), 这样是Λn=F, 定义如下。为了Γ∈R(n)， 或者如果Γ∈大号(n)没有连接，我们设置
是Γ=0
为了Γ∈大号(n)连接，存在一个独特的τ∈小号n这样τ(1)=1和Γ=τ(Λn). 然后我们设置
是Γ(在1⊗⋯⊗在n)=符号(τ)F(在τ(1)⊗⋯⊗在τ(n))
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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