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表示论是数学的一个分支，它通过将抽象代数结构的元素表示为向量空间的线性变换来研究抽象代数结构，并研究这些抽象代数结构上的模块。实质上，表示通过用矩阵及其代数运算来描述其元素，使抽象代数对象更加具体。矩阵和线性运算符的理论已被充分理解，因此用熟悉的线性代数对象来表示更抽象的对象有助于收集属性，有时还能简化更抽象理论的计算。
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数学代写|表示论代写Representation theory代考|Disintegration of Monomial Representations
Let $B=\exp b$ be a connected closed subgroup of $G$ and let $\left{Y_{1}, Y_{2}, \ldots, Y_{k}\right}$ be a Jordan-Hölder basis of $\mathbf{b}$. Then the map
$$
\psi: \mathbb{R}^{k} \longrightarrow B,\left(t_{1}, \ldots, t_{k}\right) \longrightarrow \exp t_{1} Y_{1} \cdots \exp t_{k} Y_{k}
$$
is a diffeomorphism. We recall from Sect. 1.2.2 how to choose normalized measures $d b$ on $B$ and $G / B$ : for any $C^{\infty}$-function with compact support $\eta$ in $B$,
$$
\int_{B} \eta(b) d(b)=\int_{\mathbb{R}^{d}} \eta\left(\exp \left(t_{1} Y_{1}\right) \ldots \exp \left(t_{k} Y_{k}\right)\right) d t_{1} \ldots d t_{k} .
$$
This measure is left-invariant and therefore a Haar measure. On the other hand, if we choose a Malcev basis $\left{X_{1}, \ldots, X_{d}\right}$ of $\mathfrak{g}$ relative to $b$, ie
$$
\mathfrak{g}=\mathbb{R} X_{1} \oplus \ldots \oplus \mathbb{R} X_{d} \oplus \mathfrak{b} \text { and } \sum_{k=j}^{d} \mathbb{R} X_{k}+\mathfrak{b}
$$
is a subalgebra of $\mathfrak{g}$ for all $j$, then the measure $d_{G, B}$ on $G / B$ is defined so that
$$
\int_{G / B} \tilde{a}(g) d_{G, B}(g)=\int_{\mathbb{R}^{d}} \tilde{a}\left(\exp \left(t_{1} X_{1}\right) \cdots \exp \left(t_{d} X_{d}\right)\right) d t_{1} \cdots d t_{d}
$$
is left-invariant for any continuous function with compact support $\tilde{a}$ on $G / B$. By normalizing one of the vectors $X_{j}$, we have that
$$
\int_{G} q(g) d g=\int_{G / B}\left(\int_{B} q(x b) d b\right) d_{G, B}(x)
$$
for any continuous function with compact support $q$ on $G$. We always choose the invariant measures $d_{G, B}$ on the quotient spaces $G / B$ in such a way that this identity holds.
Let $\mathfrak{b}{1}, \mathfrak{b}{2}$ be two polarizations at the point $\phi \in \mathfrak{g}^{\star}$, and $B_{1}, B_{2}$ the two associated subgroups. Notice
$$
S\left(G / B_{i}, \phi\right)=\mathscr{H}{\mathrm{ind}{B_{i}}^{G} \chi_{\phi}}^{\infty}, i \in{1,2},
$$
the space of $C^{\infty}$-vectors of the representation spaces ind ${ }{B{i}}^{G} \chi_{\phi}, i \in{1,2}$, which are $\pi_{\phi, B}$ denote the representation ind $G_{B}^{G} \chi_{\phi}$. If $d_{B_{2}, B_{2} \cap B_{1}}$ denotes the $B_{2}$-left-invariant measure on $B_{2} / B_{2} \cap B_{1}$, for any function $\bar{k}$ of $S\left(G / B_{1}, \phi\right)$ the integral
$$
T_{B_{2}, B_{1}} \tilde{k}(g)=\int_{B_{2} / B_{2} \cap B_{1}} \tilde{k}(g b) \chi \phi(b) d_{B_{2}, B_{2} \cap B_{1}}(b)
$$
defined for every $g \in G$ is absolutely convergent and defines an isomorphism of $S\left(G / B_{1}, \phi\right)$ on $S\left(G / B_{2}, \phi\right)$ which extends by continuity into an intertwining operator between $\pi_{\phi, B_{1}}$ and $\pi_{\phi, B_{2}}$. Furthermore, if the measures on the homogeneous spaces $G / B_{1}$ and $G / B_{2}$ are suitably normalized, $T_{B_{2}, B_{1}}$ is an isometry.
数学代写|表示论代写Representation theory代考|Construction of the Intertwining Operator
We now specify a flag $\mathscr{A}$ of ideals of $\mathfrak{g}$. The peculiarity comes from the fact that if $\mathscr{C}=\left{Z_{1}, \ldots, Z_{n}\right}$ is the Jordan-Hölder basis of $\mathfrak{g}$ extracted from $\mathscr{A}$, then $\mathscr{C}$ contains a Jordan-Hölder basis
$$
\mathscr{D}=\left{V_{1}=Z_{l_{1}}, \ldots, V_{n-r}=Z_{l_{n-r}}\right}
$$
of $\mathfrak{h}$. We also extract from the latter the Malcev basis $\mathscr{B}=\left{B_{1}, \ldots, B_{r}\right}$ of $\mathfrak{g}$ relative to $h$ as above. The basis $\mathscr{C}$ gives us the index sets $I^{H}$ and $L^{H}$ and allows to choose a family $R=\left{R_{1}, \ldots, R_{r}\right}$ of real affine functions on $\mathbb{R}^{k}$ having the properties defined above for $L^{H}$. Moreover, by what we saw earlier the basis $\mathscr{B}$ gives us a $G$-invariant measure $d_{G, H}$ on $G / H$, which allows to fix the norm
$$
|\xi|_{L^{2}(G / H, f)}=\left(\int_{G / H}|\xi(g)|^{2} d_{G, H}(g)\right)^{\frac{1}{2}},
$$
for $\xi \in \mathscr{H}{\tau}=L^{2}(G / H, f)$. Let $\mathscr{V}=\mathscr{V} R, \mathscr{B}$. We will now construct a Zariski open set $\mathscr{V}{0}$ of $\mathscr{V}$ on which all of the following objects will be well defined. For $\phi \in \mathscr{V} 0$, we will construct a polarization $\mathfrak{b}(\phi)$ at $\phi$, a Malcev basis $\mathscr{X}^{\prime}(\phi)=\left{X_{1}(\phi), \ldots, X_{l}(\phi)\right}$ of $\mathfrak{g}$ relative to $\mathfrak{b}(\phi)$, a Jordan-Hölder basis $\mathscr{D}(\phi)=$ $\left{V_{1}(\phi), \ldots, V_{q}(\phi)\right}$ of $\mathfrak{h} \cap \mathfrak{b}(\phi)$, a Malcev basis $\mathscr{Y}(\phi)=\left{Y_{1}(\phi), \ldots, Y_{m}(\phi)\right}$ of $\mathfrak{b}(\phi)$ relative to $\mathfrak{h} \cap \mathfrak{b}(\phi)$ and finally a basis $\mathscr{U}(\phi)=\left{U_{1}(\phi), \ldots, U_{p}(\phi)\right}$ of $\mathbf{h}$ relative to $\mathfrak{h} \cap \mathfrak{b}(\phi)$. Here the numbers $l, m, p$ do not depend upon $\phi \in \mathscr{V}{0}$. In addition, all vectors $X{j}(\phi), V_{j}(\phi), Y_{j}(\phi)$ and $U_{j}(\phi)$ vary rationally and smoothly on $\phi \in \mathscr{V}_{0}$.
The vectors $\left(X_{j}(\phi)\right)$ ) will define a $G$-invariant measure on $G / B(\phi)$, and hence the norm of the space $\pi_{\phi}$. Likewise, the vectors $\left(Y_{j}(\phi)\right){j}$ determine the $B(\phi)$-invariant measure on $B(\phi) / H \cap B(\phi)$, hence the infinitesimal intertwining operator $T{B(\phi), H}$ and the vectors $\left(U_{j}(\phi)\right)_{j}$ will determine the measure on $H / H \cap B(\phi)$. All objects mentioned above are going to be constructed inductively, step by step. Step $s=0$ consists in defining the bases using certain subalgebras, set of indices and Zariski open sets of $\mathscr{V}$. We will also introduce the tools at this stage, while the objects will be given at the intermediate step $s \in{0, \ldots, \operatorname{dim}(\mathfrak{g})}$. In (3.2.3) we will explain in detail the techniques for passing from $s$ to $s+1$ and exhibit the newly constructed objects. At the very end we will show that the procedure actually stops, at some $s_{0} \in{0, \ldots, \operatorname{dim}(\mathrm{g})}$, and that the outcome bases are convenient. Note that our constructions depend only upon $8, f$ and $h$.
数学代写|表示论代写Representation theory代考|The Case of Exponential Solvable Groups
We study in this section exponential solvable Lie groups $G=\exp g$ for which the inducing subgroup $H=\exp \mathrm{h}$ is normal. We still consider a monomial representation $\tau=\operatorname{ind}{H}^{G} \chi{f}$, where $\chi_{f}$ denotes a character of $H$. Starting from a good sequence of subalgebras $\mathfrak{s}=\left(\mathfrak{a}{i}\right){i=0}^{n}$ passing through $\mathfrak{h}$, we determine an affine subspace $V$ of $\Gamma_{f}$ and a measure $d \lambda$ on $V$ such that
$$
\tau \simeq \int_{V}^{\oplus} \pi_{\phi} d \lambda(\phi),
$$
where $\pi_{\phi}$ are the irreducible representations associated to $\phi$. We next construct an explicit unitary intertwining operator and we find its inverse. The construction of such an operator $U$ goes through the following steps. We start from the good sequence 5 , we construct a coexponential basis $B$ of $\mathrm{h}$ in $\mathrm{g}$, we obtain our disintegration space $V$ with Lebesgue measure $d \lambda$. The basis $B$ defines an invariant measure on $G / H$, hence the norm on the space $\mathscr{H}{\tau}$ of $\tau$. We build next a Zariski open set $V{0}$ of $V$, and for each $\phi \in V_{0}$ the Vergne polarization $\mathfrak{b}(\phi)$ at $\phi$ relative to the good sequence $\mathfrak{5}$. These polarizations obviously contain $\mathfrak{h}$. We determine then for all $\phi \in V_{0}$ a coexponential basis $X(\phi)$ of $\mathfrak{b}(\phi)$ in $\mathfrak{g}$, which fixes a $G$ invariant positive form $v_{G, B(\phi)}$ on the space $K(G, B(\phi)):=\mathscr{E}(G, B(\phi))$ as in Sect. 1.2.2. The latter is the space of continuous numerical functions on $G$, with compact support modulo $B(\phi)=\exp (\mathfrak{b}(\phi))$ and satisfying:
$$
F(g b)=\Delta_{B(\phi), G}(b) F(g)(g \in G, b \in B(\phi)),
$$
Then we have a norm on the space $\mathscr{H}{\phi}$ of the irreducible representation $\pi{\phi}=$ ind $_{B(\phi)}^{G} \chi_{\phi}$. We also construct a coexponential basis $Y(\phi)$ to $\mathfrak{h}$ in $\mathfrak{b}(\phi)$ then an invariant measure $d_{B(\phi), H}$ on $B(\phi) / H$. All these bases vary continuously with $\phi \in V_{0}$ and allow to define the set
$$
\mathscr{H}=\int_{V}^{\oplus} \mathscr{H}_{\phi} d \lambda(\phi)
$$ of the disintegration of $\tau$. Now we associate, to each smooth function $\xi$ on $G$ with compact support modulo $H$ satisfying the generalized covariance relation (1.2.2):
$$
\xi(g h)=\chi_{f}\left(h^{-1}\right) \Delta_{H, G}^{1 / 2}(h) \xi(g),(g \in G, h \in H)
$$
and to each $\phi \in V_{0}$, the $C^{\infty}$-vector
$$
T_{b(\phi), h} \xi(g)=\int_{B(\phi) / H} \xi(g b) \chi_{\phi}(b) \Delta_{B(\phi), G}^{-1 / 2}(b) d_{B(\phi), H}(b), \quad g \in G
$$
of $\mathscr{H}_{\phi}$. We prove next that this operator is invertible. We will also examine some examples and describe a smooth disintegration of $L^{2}(G)$ for an exponential solvable Lie group $G$.
表示论代考
数学代写|表示论代写Representation theory代考|Disintegration of Monomial Representations
让乙=经验b是一个连通闭子群G然后让\left{Y_{1}, Y_{2}, \ldots, Y_{k}\right}\left{Y_{1}, Y_{2}, \ldots, Y_{k}\right}是一个 Jordan-Hölder 基b. 然后地图
ψ:Rķ⟶乙,(吨1,…,吨ķ)⟶经验吨1是1⋯经验吨ķ是ķ
是微分同胚。我们从教派回忆。1.2.2 如何选择归一化度量db上乙和G/乙: 对于任何C∞-具有紧凑支持的功能这在乙,
∫乙这(b)d(b)=∫Rd这(经验(吨1是1)…经验(吨ķ是ķ))d吨1…d吨ķ.
该度量是左不变的，因此是 Haar 度量。另一方面，如果我们选择 Malcev 基\left{X_{1}, \ldots, X_{d}\right}\left{X_{1}, \ldots, X_{d}\right}的G关系到b， IE
G=RX1⊕…⊕RXd⊕b 和 ∑ķ=jdRXķ+b
是一个子代数G对所有人j，那么度量dG,乙上G/乙被定义为
∫G/乙一个~(G)dG,乙(G)=∫Rd一个~(经验(吨1X1)⋯经验(吨dXd))d吨1⋯d吨d
对于具有紧支持的任何连续函数是左不变的一个~上G/乙. 通过对其中一个向量进行归一化Xj, 我们有
∫Gq(G)dG=∫G/乙(∫乙q(Xb)db)dG,乙(X)
对于任何具有紧凑支撑的连续函数q上G. 我们总是选择不变的措施dG,乙在商空间上G/乙以这种方式保持这种身份。
让b1,b2在该点是两个极化φ∈G⋆， 和乙1,乙2两个相关的子群。注意
小号(G/乙一世,φ)=H一世nd乙一世Gχφ∞,一世∈1,2,
的空间C∞-表示空间的向量 ind乙一世Gχφ,一世∈1,2， 哪个是圆周率φ,乙表示表示 indG乙Gχφ. 如果d乙2,乙2∩乙1表示乙2-左不变测量乙2/乙2∩乙1, 对于任何函数ķ¯的小号(G/乙1,φ)积分
吨乙2,乙1ķ~(G)=∫乙2/乙2∩乙1ķ~(Gb)χφ(b)d乙2,乙2∩乙1(b)
为每个定义G∈G是绝对收敛的并且定义了一个同构小号(G/乙1,φ)上小号(G/乙2,φ)它通过连续性延伸成一个相互交织的算子圆周率φ,乙1和圆周率φ,乙2. 此外，如果对齐次空间的度量G/乙1和G/乙2适当归一化，吨乙2,乙1是等距。
数学代写|表示论代写Representation theory代考|Construction of the Intertwining Operator
我们现在指定一个标志一个的理想G. 特殊性来自这样一个事实，如果\mathscr{C}=\left{Z_{1}, \ldots, Z_{n}\right}\mathscr{C}=\left{Z_{1}, \ldots, Z_{n}\right}是 Jordan-Hölder 基G摘自一个， 然后C包含 Jordan-Hölder 基
\mathscr{D}=\left{V_{1}=Z_{l_{1}}, \ldots, V_{nr}=Z_{l_{nr}}\right}\mathscr{D}=\left{V_{1}=Z_{l_{1}}, \ldots, V_{nr}=Z_{l_{nr}}\right}
的H. 我们还从后者中提取 Malcev 基础\mathscr{B}=\left{B_{1}, \ldots, B_{r}\right}\mathscr{B}=\left{B_{1}, \ldots, B_{r}\right}的G关系到H如上。基础C给我们索引集我H和大号H并允许选择一个家庭R=\left{R_{1}, \ldots, R_{r}\right}R=\left{R_{1}, \ldots, R_{r}\right}上的实仿射函数Rķ具有上面定义的属性大号H. 此外，根据我们之前看到的基础乙给了我们一个G- 不变测度dG,H上G/H，这允许修复规范
|X|大号2(G/H,F)=(∫G/H|X(G)|2dG,H(G))12,
为了X∈Hτ=大号2(G/H,F). 让在=在R,乙. 我们现在将构建一个 Zariski 开集在0的在以下所有对象都将在其上得到很好的定义。为了φ∈在0，我们将构造一个极化b(φ)在φ，马尔切夫基\mathscr{X}^{\prime}(\phi)=\left{X_{1}(\phi), \ldots, X_{l}(\phi)\right}\mathscr{X}^{\prime}(\phi)=\left{X_{1}(\phi), \ldots, X_{l}(\phi)\right}的G关系到b(φ), Jordan-Hölder 基D(φ)= \left{V_{1}(\phi), \ldots, V_{q}(\phi)\right}\left{V_{1}(\phi), \ldots, V_{q}(\phi)\right}的H∩b(φ)，马尔切夫基\mathscr{Y}(\phi)=\left{Y_{1}(\phi), \ldots, Y_{m}(\phi)\right}\mathscr{Y}(\phi)=\left{Y_{1}(\phi), \ldots, Y_{m}(\phi)\right}的b(φ)关系到H∩b(φ)最后是一个基础\mathscr{U}(\phi)=\left{U_{1}(\phi), \ldots, U_{p}(\phi)\right}\mathscr{U}(\phi)=\left{U_{1}(\phi), \ldots, U_{p}(\phi)\right}的H关系到H∩b(φ). 这里的数字l,米,p不依赖φ∈在0. 此外，所有向量Xj(φ),在j(φ),是j(φ)和在j(φ)合理而平稳地变化φ∈在0.
向量(Xj(φ))) 将定义一个G- 不变测度G/乙(φ)，因此空间的范数圆周率φ. 同样，向量(是j(φ))j确定乙(φ)- 不变测度乙(φ)/H∩乙(φ), 因此无穷小交织算子吨乙(φ),H和向量(在j(φ))j将确定措施H/H∩乙(φ). 上面提到的所有对象都将逐步以归纳方式构造。步s=0包括使用某些子代数、指数集和 Zariski 开集来定义基在. 我们还将在此阶段介绍工具，而对象将在中间步骤给出s∈0,…,暗淡(G). 在（3.2.3）中，我们将详细解释从s至s+1并展示新构建的对象。最后，我们将证明该过程实际上会停止，在某些s0∈0,…,暗淡(G)，并且结果基础很方便。请注意，我们的构造仅取决于8,F和H.
数学代写|表示论代写Representation theory代考|The Case of Exponential Solvable Groups
我们在本节中研究指数可解的李群G=经验G其中诱导子群H=经验H是正常的。我们仍然考虑单项表示τ=工业HGχF， 在哪里χF表示一个字符H. 从一个好的子代数序列开始s=(一个一世)一世=0n路过H，我们确定一个仿射子空间在的ΓF和一个措施dλ上在这样
τ≃∫在⊕圆周率φdλ(φ),
在哪里圆周率φ是与φ. 我们接下来构造一个显式的酉交织算子，我们找到它的逆。这样的运营商的建设在经历以下步骤。我们从好的序列 5 开始，我们构造一个共指数基乙的H在G，我们得到我们的解体空间在用勒贝格测度dλ. 基础乙定义了一个不变的度量G/H，因此空间上的范数Hτ的τ. 我们接下来构建一个 Zariski 开集在0的在，并且对于每个φ∈在0Vergne极化b(φ)在φ相对于好序列5. 这些极化显然包含H. 然后我们确定所有φ∈在0共指数基础X(φ)的b(φ)在G，它修复了一个G不变的积极形式在G,乙(φ)在空间上ķ(G,乙(φ)):=和(G,乙(φ))就像在教派中一样。1.2.2。后者是连续数值函数的空间G, 紧支撑模乙(φ)=经验(b(φ))并满足：
F(Gb)=Δ乙(φ),G(b)F(G)(G∈G,b∈乙(φ)),
然后我们在空间上有一个规范Hφ不可约表示的圆周率φ=工业乙(φ)Gχφ. 我们还构建了一个共指数基是(φ)至H在b(φ)然后是一个不变的度量d乙(φ),H上乙(φ)/H. 所有这些碱基不断变化φ∈在0并允许定义集合
H=∫在⊕Hφdλ(φ)的解体τ. 现在我们关联到每个平滑函数X上G带紧凑支撑模H满足广义协方差关系（1.2.2）：
X(GH)=χF(H−1)ΔH,G1/2(H)X(G),(G∈G,H∈H)
并且对每个φ∈在0， 这C∞-向量
吨b(φ),HX(G)=∫乙(φ)/HX(Gb)χφ(b)Δ乙(φ),G−1/2(b)d乙(φ),H(b),G∈G
的Hφ. 接下来我们证明这个算子是可逆的。我们还将检查一些示例并描述大号2(G)对于指数可解的李群G.
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。