### 数学代写|表示论代写Representation theory代考|MAST90017

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## 数学代写|表示论代写Representation theory代考|Realizations

Let $H$ be a Hopf algebra. A $Y D-p a i r$ for $H$ is a pair $(g, \chi) \in G(H) \times \operatorname{Hom}{\text {alg }}(H$, $\mathbb{k})$ such that $$\chi(h) g=\chi\left(h{(2)}\right) h_{(1)} g \mathcal{S}\left(h_{(3)}\right), \quad h \in H$$
Let $\mathrm{k}{g}^{\chi}$ be a one-dimensional vector space with $H$-action and $H$-coaction given by $\chi$ and $g$ respectively; then (3.16) says that $\mathbb{k}{g}^{\chi} \in{ }{H}^{H} \mathcal{Y D}$. If $\chi \in \operatorname{Hom}{\text {alg }}(H, \mathbb{k})$, then the space of $(\chi, \chi)$-derivations is
$$\operatorname{Der}{\chi, \chi}(H, \mathbb{x})=\left{\eta \in H^{*}: \eta(h \ell)=\chi(h) \eta(\ell)+\chi(\ell) \eta(h) \forall h, \ell \in H\right}$$ A YD-triple for $H$ is a collection $(g, \chi, \eta)$ where $(g, \chi)$ is a YD-pair for $H$, $\eta \in \operatorname{Der}{\chi, \chi}(H, \mathrm{k}), \eta(g)=1$ and
$$\eta(h) g_{1}=\eta\left(h_{-} 2\right) h_{-} 1 g_{2} \mathcal{S}\left(h_{-} 3\right), \quad h \in H .$$
Given a YD-triple $(g, \chi, \eta)$ we define $\mathcal{V}{g}(\chi, \eta) \in{ }{H}^{H} \mathcal{Y} \mathcal{D}$ as the vector space with a basis $\left(x_{i}\right){i \in \mathbb{I}{2}}$, whose $H$-action and $H$-coaction are given by
$$h \cdot x_{1}=\chi(h) x_{1}, \quad h \cdot x_{2}=\chi(h) x_{2}+\eta(h) x_{1}, \quad \delta\left(x_{i}\right)=g \otimes x_{i}, \quad h \in H, i \in \mathbb{I}{2}$$ the compatibility is granted by (3.16), (3.17). As a braided vector space, $\mathcal{V}{g}(\chi, \eta) \simeq$ $\mathcal{V}(\epsilon, 2), \epsilon=\chi(g)$.

Consequently, if $H$ is finite-dimensional and $\epsilon^{2}=1$, then $\mathscr{B}\left(\mathcal{V}{g}(\chi, \eta)\right) # H$ is a Hopf algebra satisfying $$\operatorname{dim}\left(\mathscr{B}\left(\mathcal{V}{g}(\chi, \eta)\right) # H\right)=\left{\begin{array}{l} p^{2} \operatorname{dim} H, \text { when } \epsilon=1 \ 4 p^{2} \operatorname{dim} H, \text { when } \epsilon=-1 \end{array}\right.$$

## 数学代写|表示论代写Representation theory代考|Exhaustion in Rank 2

We recall some facts from [AAH1, $3.4$ ].
Let $H$ be a Hopf algebra with bijective antipode and $V \in{ }{H}^{H} \mathcal{Y D}$. Let $0=V{0} \subsetneq$ $V_{1} \cdots \subsetneq V_{d}=V$ be a flag of Yetter-Drinfeld submodules with $\operatorname{dim} V_{i}=\operatorname{dim} V_{i-1}+$ 1 for all $i$. Then $V^{\text {diag }}:=$ gr $V$ is of diagonal type. If $B$ is a pre-Nichols algebra of $V$, then it is a graded filtered Hopf in ${ }{H}^{H} \mathcal{Y D}$ and $\mathcal{B}^{\text {diag }}:=\operatorname{gr} \mathscr{B}$ is a pre-Nichols algebra of $V^{\text {diag }}$. Proposition $3.3$ Let $\epsilon \in \mathbb{k}^{\times}$. If $\operatorname{dim} \mathscr{B}(\mathcal{V}(\epsilon, 2))<\infty$, then $\epsilon^{2}=1$. Proof Let $\mathcal{V}=\mathcal{V}(\epsilon, 2)$; it has a flag as above and $\mathcal{V}^{\text {diag }}$ is the braided vector space of diagonal type with matrix $\left(q{i j}\right){i, j \in \mathbb{I}{2}}, q_{i j}=\epsilon$ for all $i, j \in \mathbb{I}{2}$. Hence $$\operatorname{dim} \mathscr{B}\left(\mathcal{V}^{\text {diag }}\right) \leq \operatorname{dim} \mathscr{B}(\mathcal{V}(\epsilon, 2))$$ Step 1 If $\epsilon \notin \mathbb{G}{\infty}$, then $\operatorname{dim} \mathscr{B}(\mathcal{V}(\epsilon, 2))=\infty$.
Proof Here $\operatorname{dim} \mathscr{B}\left(\mathcal{V}^{\text {diag }}\right)=\infty$ by Example $2.1$ and (3.19) applies.
Step 2 If $\epsilon \in \mathbb{G}{N}^{\prime}, N \geq 4$, then $\operatorname{dim} \mathscr{B}(\mathcal{V}(\epsilon, \ell))=\infty$ for all $\ell \geq 2$. Proof Here $\mathcal{V}^{\text {diag }}$ is of Cartan type with Cartan matrix $\left(\begin{array}{cc}2 & 2-N \ 2-N & 2\end{array}\right)$. Thus Theorem $2.2$ and (3.19) apply. Step 3 Let $\epsilon \in \mathbb{G}{3}^{\prime}$. Then $\operatorname{dim} \mathscr{B}(\mathcal{V}(\epsilon, 2))=\infty$.
Proof The proof of [AAH1, $\S 3.5$ – Step 3] holds verbatim.
The Proposition is proved.

## 数学代写|表示论代写Representation theory代考|Weak Interaction

Here $q_{12} q_{21}=1$. In general,
$$c_{\mid V_{1} \otimes V_{2}}^{2}=\mathrm{id} \Longleftrightarrow q_{12} q_{21}=1 \text { and } a=0 .$$

If $a=0$, then
$$\mathscr{B}(V) \simeq \mathscr{B}(\mathcal{V}(\epsilon, 2)) \otimes \mathscr{B}\left(\mathrm{k} x_{3}\right)$$
Here $\otimes$ denotes the braided tensor product of Hopf algebras (the structure of Hopf algebra in $\mathrm{kG} \mathcal{Y} \mathcal{D}$ ).

From now on we assume that the ghost is discrete, in particular $\neq 0$. We follow the exposition in [AAH1, $\$ 4.2]$. Lemma 4.2 The following formulae hold in$\mathscr{B}(V)$for all$n \in \mathbb{N}{0}$:$g{1} \cdot z_{n}=\epsilon^{n} q_{12} z_{n}, \quad x_{1} z_{n}=\epsilon^{n} q_{12} z_{n} x_{1}, \quad x_{21}^{n} x_{2}=\left(n \epsilon x_{1}+x_{2}\right) x_{21}^{n}$,$g_{2} \cdot z_{n}=q_{21}^{n} q_{22} z_{n}, \quad x_{21} z_{n}=q_{12}^{2} z_{n} x_{21}, \quad x_{2} z_{n}=\epsilon^{n} q_{12} z_{n} x_{2}+z_{n+1} .$Proof The proof of [AAH1, Lemma 4.2.1] is valid in any characteristic. Let$\left(\mu_{n}\right){n \in \mathbb{N}{0}}$be the family of elements of$\mathbb{k}$defined recursively by $$\mu_{0}=1, \quad \mu_{2 k+1}=-(a+k \epsilon) \mu_{2 k}, \quad \mu_{2 k}=(a+k+\epsilon(a+k-1)) \mu_{2 k-1}$$ This can be reformulated as $$\begin{array}{ll} \mu_{n+1} & = \begin{cases}(2 a+n) \mu_{n} & \text { if } n \text { is odd, } \ -\frac{2 a+n}{2} \mu_{n} & \text { if } n \text { is even, }\end{cases} \ \mu_{n+1} & = \begin{cases}\mu_{n} & \text { if } n \text { is odd }, \ -\left(a-\frac{n}{2}\right) \mu_{n} & \text { if } n \text { is even, } \epsilon=1\end{cases} \end{array}$$ Thus$\mu_{n}=0 \Longleftrightarrow n>|r|$. ## 表示论代考 ## 数学代写|表示论代写Representation theory代考|Realizations 让H是一个 Hopf 代数。一个是D−p一个一世r为了H是一对(G,χ)∈G(H)×他⁡阿尔格 (H, ķ)这样 χ(H)G=χ(H(2))H(1)G小号(H(3)),H∈H 让ķGχ是一个一维向量空间H-行动和H-合作由χ和G分别; 然后（3.16）说ķGχ∈HH是D. 如果χ∈他⁡阿尔格 (H,ķ)，那么空间(χ,χ)- 推导是 \operatorname{Der}{\chi, \chi}(H, \mathbb{x})=\left{\eta \in H^{*}: \eta(h \ell)=\chi(h) \eta (\ell)+\chi(\ell) \eta(h) \forall h, \ell \in H\right}\operatorname{Der}{\chi, \chi}(H, \mathbb{x})=\left{\eta \in H^{*}: \eta(h \ell)=\chi(h) \eta (\ell)+\chi(\ell) \eta(h) \forall h, \ell \in H\right}一个 YD 三元组H是一个集合(G,χ,这)在哪里(G,χ)是 YD 对H, 这∈的⁡χ,χ(H,ķ),这(G)=1和 这(H)G1=这(H−2)H−1G2小号(H−3),H∈H. 给定一个 YD-triple(G,χ,这)我们定义在G(χ,这)∈HH是D作为有基的向量空间(X一世)一世∈我2，谁的H-行动和H-coaction 由下式给出 H⋅X1=χ(H)X1,H⋅X2=χ(H)X2+这(H)X1,d(X一世)=G⊗X一世,H∈H,一世∈我2兼容性由 (3.16), (3.17) 授予。作为编织向量空间，在G(χ,这)≃ 在(ε,2),ε=χ(G). 因此，如果H是有限维的并且ε2=1， 然后\mathscr{B}\left(\mathcal{V}{g}(\chi, \eta)\right) # H\mathscr{B}\left(\mathcal{V}{g}(\chi, \eta)\right) # H是一个 Hopf 代数满足 $$\operatorname{dim}\left(\mathscr{B}\left(\mathcal{V}{g}(\chi, \eta)\right) # H\right)=\left{ p2暗淡⁡H, 什么时候 ε=1 4p2暗淡⁡H, 什么时候 ε=−1\正确的。$$ ## 数学代写|表示论代写Representation theory代考|Exhaustion in Rank 2 我们从 [AAH1,3.4]。 让H是具有双射对映体的 Hopf 代数和在∈HH是D. 让0=在0⊊ 在1⋯⊊在d=在成为 Yetter-Drinfeld 子模块的标志暗淡⁡在一世=暗淡⁡在一世−1+1 为所有一世. 然后在诊断 :=克在是对角线类型。如果乙是一个前 Nichols 代数在, 那么它是一个分级过滤的 Hopf 在HH是D和乙诊断 :=克⁡乙是一个前 Nichols 代数在诊断 . 主张3.3让ε∈ķ×. 如果暗淡⁡乙(在(ε,2))<∞， 然后ε2=1. 证明让在=在(ε,2); 它有一个如上所述的标志，并且在诊断 是带矩阵的对角线型编织向量空间(q一世j)一世,j∈我2,q一世j=ε对所有人一世,j∈我2. 因此 暗淡⁡乙(在诊断 )≤暗淡⁡乙(在(ε,2))步骤 1 如果ε∉G∞， 然后暗淡⁡乙(在(ε,2))=∞. 证明在这里暗淡⁡乙(在诊断 )=∞通过示例2.1(3.19) 适用。 步骤 2 如果ε∈Gñ′,ñ≥4， 然后暗淡⁡乙(在(ε,ℓ))=∞对所有人ℓ≥2. 证明在这里在诊断 是具有 Cartan 矩阵的 Cartan 类型(22−ñ 2−ñ2). 因此定理2.2和 (3.19) 适用。步骤 3 让ε∈G3′. 然后暗淡⁡乙(在(ε,2))=∞. 证明 [AAH1,§§3.5– 步骤 3] 逐字保留。 命题得到证明。 ## 数学代写|表示论代写Representation theory代考|Weak Interaction 这里q12q21=1. 一般来说， C∣在1⊗在22=一世d⟺q12q21=1 和 一个=0. 如果一个=0， 然后 乙(在)≃乙(在(ε,2))⊗乙(ķX3) 这里⊗表示 Hopf 代数的编织张量积（Hopf 代数的结构ķG是D ). 从现在开始，我们假设幽灵是离散的，特别是≠0. 我们按照 [AAH1,$4.2].

G2⋅和n=q21nq22和n,X21和n=q122和nX21,X2和n=εnq12和nX2+和n+1.

μ0=1,μ2ķ+1=−(一个+ķε)μ2ķ,μ2ķ=(一个+ķ+ε(一个+ķ−1))μ2ķ−1

μn+1={(2一个+n)μn 如果 n 很奇怪，  −2一个+n2μn 如果 n 甚至，  μn+1={μn 如果 n 很奇怪 , −(一个−n2)μn 如果 n 甚至， ε=1

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。