数学代写|表示论代写Representation theory代考|MAST90017

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表示论是数学的一个分支,它通过将抽象代数结构的元素表示为向量空间的线性变换来研究抽象代数结构,并研究这些抽象代数结构上的模块。[1][2]实质上,表示通过用矩阵及其代数运算(例如,矩阵加、矩阵乘)来描述其元素,使抽象代数对象更加具体。矩阵和线性运算符的理论已被充分理解,因此用熟悉的线性代数对象来表示更抽象的对象有助于收集属性,有时还能简化更抽象理论的计算。

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数学代写|表示论代写Representation theory代考|MAST90017

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Realizations

Let $H$ be a Hopf algebra. A $Y D-p a i r$ for $H$ is a pair $(g, \chi) \in G(H) \times \operatorname{Hom}{\text {alg }}(H$, $\mathbb{k})$ such that $$ \chi(h) g=\chi\left(h{(2)}\right) h_{(1)} g \mathcal{S}\left(h_{(3)}\right), \quad h \in H
$$
Let $\mathrm{k}{g}^{\chi}$ be a one-dimensional vector space with $H$-action and $H$-coaction given by $\chi$ and $g$ respectively; then (3.16) says that $\mathbb{k}{g}^{\chi} \in{ }{H}^{H} \mathcal{Y D}$. If $\chi \in \operatorname{Hom}{\text {alg }}(H, \mathbb{k})$, then the space of $(\chi, \chi)$-derivations is
$$
\operatorname{Der}{\chi, \chi}(H, \mathbb{x})=\left{\eta \in H^{*}: \eta(h \ell)=\chi(h) \eta(\ell)+\chi(\ell) \eta(h) \forall h, \ell \in H\right} $$ A YD-triple for $H$ is a collection $(g, \chi, \eta)$ where $(g, \chi)$ is a YD-pair for $H$, $\eta \in \operatorname{Der}{\chi, \chi}(H, \mathrm{k}), \eta(g)=1$ and
$$
\eta(h) g_{1}=\eta\left(h_{-} 2\right) h_{-} 1 g_{2} \mathcal{S}\left(h_{-} 3\right), \quad h \in H .
$$
Given a YD-triple $(g, \chi, \eta)$ we define $\mathcal{V}{g}(\chi, \eta) \in{ }{H}^{H} \mathcal{Y} \mathcal{D}$ as the vector space with a basis $\left(x_{i}\right){i \in \mathbb{I}{2}}$, whose $H$-action and $H$-coaction are given by
$$
h \cdot x_{1}=\chi(h) x_{1}, \quad h \cdot x_{2}=\chi(h) x_{2}+\eta(h) x_{1}, \quad \delta\left(x_{i}\right)=g \otimes x_{i}, \quad h \in H, i \in \mathbb{I}{2} $$ the compatibility is granted by (3.16), (3.17). As a braided vector space, $\mathcal{V}{g}(\chi, \eta) \simeq$ $\mathcal{V}(\epsilon, 2), \epsilon=\chi(g)$.

Consequently, if $H$ is finite-dimensional and $\epsilon^{2}=1$, then $\mathscr{B}\left(\mathcal{V}{g}(\chi, \eta)\right) # H$ is a Hopf algebra satisfying $$ \operatorname{dim}\left(\mathscr{B}\left(\mathcal{V}{g}(\chi, \eta)\right) # H\right)=\left{\begin{array}{l}
p^{2} \operatorname{dim} H, \text { when } \epsilon=1 \
4 p^{2} \operatorname{dim} H, \text { when } \epsilon=-1
\end{array}\right.
$$

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We recall some facts from [AAH1, $3.4$ ].
Let $H$ be a Hopf algebra with bijective antipode and $V \in{ }{H}^{H} \mathcal{Y D}$. Let $0=V{0} \subsetneq$ $V_{1} \cdots \subsetneq V_{d}=V$ be a flag of Yetter-Drinfeld submodules with $\operatorname{dim} V_{i}=\operatorname{dim} V_{i-1}+$ 1 for all $i$. Then $V^{\text {diag }}:=$ gr $V$ is of diagonal type. If $B$ is a pre-Nichols algebra of $V$, then it is a graded filtered Hopf in ${ }{H}^{H} \mathcal{Y D}$ and $\mathcal{B}^{\text {diag }}:=\operatorname{gr} \mathscr{B}$ is a pre-Nichols algebra of $V^{\text {diag }}$. Proposition $3.3$ Let $\epsilon \in \mathbb{k}^{\times}$. If $\operatorname{dim} \mathscr{B}(\mathcal{V}(\epsilon, 2))<\infty$, then $\epsilon^{2}=1$. Proof Let $\mathcal{V}=\mathcal{V}(\epsilon, 2)$; it has a flag as above and $\mathcal{V}^{\text {diag }}$ is the braided vector space of diagonal type with matrix $\left(q{i j}\right){i, j \in \mathbb{I}{2}}, q_{i j}=\epsilon$ for all $i, j \in \mathbb{I}{2}$. Hence $$ \operatorname{dim} \mathscr{B}\left(\mathcal{V}^{\text {diag }}\right) \leq \operatorname{dim} \mathscr{B}(\mathcal{V}(\epsilon, 2)) $$ Step 1 If $\epsilon \notin \mathbb{G}{\infty}$, then $\operatorname{dim} \mathscr{B}(\mathcal{V}(\epsilon, 2))=\infty$.
Proof Here $\operatorname{dim} \mathscr{B}\left(\mathcal{V}^{\text {diag }}\right)=\infty$ by Example $2.1$ and (3.19) applies.
Step 2 If $\epsilon \in \mathbb{G}{N}^{\prime}, N \geq 4$, then $\operatorname{dim} \mathscr{B}(\mathcal{V}(\epsilon, \ell))=\infty$ for all $\ell \geq 2$. Proof Here $\mathcal{V}^{\text {diag }}$ is of Cartan type with Cartan matrix $\left(\begin{array}{cc}2 & 2-N \ 2-N & 2\end{array}\right)$. Thus Theorem $2.2$ and (3.19) apply. Step 3 Let $\epsilon \in \mathbb{G}{3}^{\prime}$. Then $\operatorname{dim} \mathscr{B}(\mathcal{V}(\epsilon, 2))=\infty$.
Proof The proof of [AAH1, $\S 3.5$ – Step 3] holds verbatim.
The Proposition is proved.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Weak Interaction

Here $q_{12} q_{21}=1$. In general,
$$
c_{\mid V_{1} \otimes V_{2}}^{2}=\mathrm{id} \Longleftrightarrow q_{12} q_{21}=1 \text { and } a=0 .
$$

If $a=0$, then
$$
\mathscr{B}(V) \simeq \mathscr{B}(\mathcal{V}(\epsilon, 2)) \otimes \mathscr{B}\left(\mathrm{k} x_{3}\right)
$$
Here $\otimes$ denotes the braided tensor product of Hopf algebras (the structure of Hopf algebra in $\mathrm{kG} \mathcal{Y} \mathcal{D}$ ).

From now on we assume that the ghost is discrete, in particular $\neq 0$. We follow the exposition in [AAH1, $\$ 4.2]$.
Lemma 4.2 The following formulae hold in $\mathscr{B}(V)$ for all $n \in \mathbb{N}{0}$ : $g{1} \cdot z_{n}=\epsilon^{n} q_{12} z_{n}, \quad x_{1} z_{n}=\epsilon^{n} q_{12} z_{n} x_{1}, \quad x_{21}^{n} x_{2}=\left(n \epsilon x_{1}+x_{2}\right) x_{21}^{n}$,
$g_{2} \cdot z_{n}=q_{21}^{n} q_{22} z_{n}, \quad x_{21} z_{n}=q_{12}^{2} z_{n} x_{21}, \quad x_{2} z_{n}=\epsilon^{n} q_{12} z_{n} x_{2}+z_{n+1} .$
Proof The proof of [AAH1, Lemma 4.2.1] is valid in any characteristic.
Let $\left(\mu_{n}\right){n \in \mathbb{N}{0}}$ be the family of elements of $\mathbb{k}$ defined recursively by
$$
\mu_{0}=1, \quad \mu_{2 k+1}=-(a+k \epsilon) \mu_{2 k}, \quad \mu_{2 k}=(a+k+\epsilon(a+k-1)) \mu_{2 k-1}
$$
This can be reformulated as
$$
\begin{array}{ll}
\mu_{n+1} & = \begin{cases}(2 a+n) \mu_{n} & \text { if } n \text { is odd, } \
-\frac{2 a+n}{2} \mu_{n} & \text { if } n \text { is even, }\end{cases} \
\mu_{n+1} & = \begin{cases}\mu_{n} & \text { if } n \text { is odd }, \
-\left(a-\frac{n}{2}\right) \mu_{n} & \text { if } n \text { is even, } \epsilon=1\end{cases}
\end{array}
$$
Thus $\mu_{n}=0 \Longleftrightarrow n>|r|$.

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表示论代考

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让H是一个 Hopf 代数。一个是D−p一个一世r为了H是一对(G,χ)∈G(H)×他⁡阿尔格 (H, ķ)这样

χ(H)G=χ(H(2))H(1)G小号(H(3)),H∈H
让ķGχ是一个一维向量空间H-行动和H-合作由χ和G分别; 然后(3.16)说ķGχ∈HH是D. 如果χ∈他⁡阿尔格 (H,ķ),那么空间(χ,χ)- 推导是

\operatorname{Der}{\chi, \chi}(H, \mathbb{x})=\left{\eta \in H^{*}: \eta(h \ell)=\chi(h) \eta (\ell)+\chi(\ell) \eta(h) \forall h, \ell \in H\right}\operatorname{Der}{\chi, \chi}(H, \mathbb{x})=\left{\eta \in H^{*}: \eta(h \ell)=\chi(h) \eta (\ell)+\chi(\ell) \eta(h) \forall h, \ell \in H\right}一个 YD 三元组H是一个集合(G,χ,这)在哪里(G,χ)是 YD 对H, 这∈的⁡χ,χ(H,ķ),这(G)=1和

这(H)G1=这(H−2)H−1G2小号(H−3),H∈H.
给定一个 YD-triple(G,χ,这)我们定义在G(χ,这)∈HH是D作为有基的向量空间(X一世)一世∈我2,谁的H-行动和H-coaction 由下式给出

H⋅X1=χ(H)X1,H⋅X2=χ(H)X2+这(H)X1,d(X一世)=G⊗X一世,H∈H,一世∈我2兼容性由 (3.16), (3.17) 授予。作为编织向量空间,在G(χ,这)≃ 在(ε,2),ε=χ(G).

因此,如果H是有限维的并且ε2=1, 然后\mathscr{B}\left(\mathcal{V}{g}(\chi, \eta)\right) # H\mathscr{B}\left(\mathcal{V}{g}(\chi, \eta)\right) # H是一个 Hopf 代数满足 $$ \operatorname{dim}\left(\mathscr{B}\left(\mathcal{V}{g}(\chi, \eta)\right) # H\right)=\left{

p2暗淡⁡H, 什么时候 ε=1 4p2暗淡⁡H, 什么时候 ε=−1\正确的。
$$

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Exhaustion in Rank 2

我们从 [AAH1,3.4]。
让H是具有双射对映体的 Hopf 代数和在∈HH是D. 让0=在0⊊ 在1⋯⊊在d=在成为 Yetter-Drinfeld 子模块的标志暗淡⁡在一世=暗淡⁡在一世−1+1 为所有一世. 然后在诊断 :=克在是对角线类型。如果乙是一个前 Nichols 代数在, 那么它是一个分级过滤的 Hopf 在HH是D和乙诊断 :=克⁡乙是一个前 Nichols 代数在诊断 . 主张3.3让ε∈ķ×. 如果暗淡⁡乙(在(ε,2))<∞, 然后ε2=1. 证明让在=在(ε,2); 它有一个如上所述的标志,并且在诊断 是带矩阵的对角线型编织向量空间(q一世j)一世,j∈我2,q一世j=ε对所有人一世,j∈我2. 因此

暗淡⁡乙(在诊断 )≤暗淡⁡乙(在(ε,2))步骤 1 如果ε∉G∞, 然后暗淡⁡乙(在(ε,2))=∞.
证明在这里暗淡⁡乙(在诊断 )=∞通过示例2.1(3.19) 适用。
步骤 2 如果ε∈Gñ′,ñ≥4, 然后暗淡⁡乙(在(ε,ℓ))=∞对所有人ℓ≥2. 证明在这里在诊断 是具有 Cartan 矩阵的 Cartan 类型(22−ñ 2−ñ2). 因此定理2.2和 (3.19) 适用。步骤 3 让ε∈G3′. 然后暗淡⁡乙(在(ε,2))=∞.
证明 [AAH1,§§3.5– 步骤 3] 逐字保留。
命题得到证明。

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Weak Interaction

这里q12q21=1. 一般来说,

C∣在1⊗在22=一世d⟺q12q21=1 和 一个=0.

如果一个=0, 然后

乙(在)≃乙(在(ε,2))⊗乙(ķX3)
这里⊗表示 Hopf 代数的编织张量积(Hopf 代数的结构ķG是D ).

从现在开始,我们假设幽灵是离散的,特别是≠0. 我们按照 [AAH1,$4.2].
引理 4.2 下列公式成立乙(在)对所有人n∈ñ0 : G1⋅和n=εnq12和n,X1和n=εnq12和nX1,X21nX2=(nεX1+X2)X21n,
G2⋅和n=q21nq22和n,X21和n=q122和nX21,X2和n=εnq12和nX2+和n+1.
证明 [AAH1, Lemma 4.2.1] 的证明对任何特征都有效。
让(μn)n∈ñ0成为元素的族ķ递归定义为

μ0=1,μ2ķ+1=−(一个+ķε)μ2ķ,μ2ķ=(一个+ķ+ε(一个+ķ−1))μ2ķ−1
这可以重新表述为

μn+1={(2一个+n)μn 如果 n 很奇怪,  −2一个+n2μn 如果 n 甚至,  μn+1={μn 如果 n 很奇怪 , −(一个−n2)μn 如果 n 甚至, ε=1
因此μn=0⟺n>|r|.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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