数学代写|表示论代写Representation theory代考|MATH4031

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表示论是数学的一个分支,它通过将抽象代数结构的元素表示为向量空间的线性变换来研究抽象代数结构,并研究这些抽象代数结构上的模块。[1][2]实质上,表示通过用矩阵及其代数运算(例如,矩阵加、矩阵乘)来描述其元素,使抽象代数对象更加具体。矩阵和线性运算符的理论已被充分理解,因此用熟悉的线性代数对象来表示更抽象的对象有助于收集属性,有时还能简化更抽象理论的计算。

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数学代写|表示论代写Representation theory代考|MATH4031

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Hochschild Cohomology Complex

First, we review the Hochschild cohomology complex, of which Harrison’s is a subcomplex, see [Hoc45] and [Har62]. We use the original Harrison’s definition. For other definitions see [GS87, Lod13].

Let $A$ be an associative algebra over the base field $\mathbb{F}$, and $M$ be an $A$-bimodule. We will write $A^{\otimes n}$ for the $n$-fold tensor product $A \otimes \cdots \otimes A$. The Hochschild cohomology complex is defined as follows. The space of $n$-cochains is
$$
\operatorname{Hom}\left(A^{\otimes n}, M\right),
$$
and the differential $d: \operatorname{Hom}\left(A^{8 n}, M\right) \rightarrow \operatorname{Hom}\left(A^{8 n+1}, M\right)$ is defined by
$$
\begin{aligned}
(d f)\left(a_{1} \otimes\right.&\left.\cdots \otimes a_{n+1}\right)=a_{1} f\left(a_{2} \otimes \cdots \otimes a_{n+1}\right) \
&+\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i} f\left(a_{1} \otimes \cdots \otimes a_{i-1} \otimes a_{i} a_{i+1} \otimes a_{i+2} \otimes \cdots \otimes a_{n+1}\right) \
&+(-1)^{n+1} f\left(a_{1} \otimes \cdots \otimes a_{n}\right) a_{n+1}
\end{aligned}
$$
Then $d^{2}=0$, and we get the Hochschild cohomology complex

$$
0 \longrightarrow M \stackrel{d}{\longrightarrow} \operatorname{Hom}(A, M) \stackrel{d}{\longrightarrow} \operatorname{Hom}\left(A^{\otimes 2}, M\right) \stackrel{d}{\longrightarrow} \cdots
$$
If $A$ is an associative algebra with a derivation $\partial: A \rightarrow A$, and $M$ is a differential bimodule over $A$ (i.e., the action of $\partial$ is compatible with the bimodule structure), we may consider the differential Hochschild cohomology complex by taking the subspace of $n$-cochains
$$
\operatorname{Hom}{2}[2]\left(A^{3 n}, M\right) $$ It is clear by the definition $(2.2)$ that the differential $d$ maps $\operatorname{Hom}{F[\partial]}\left(A^{\otimes n}, M\right)$ to $\operatorname{Hom}_{F[2]}\left(A^{\otimes n+1}, M\right)$. Hence, we have a cohomology subcomplex.

Remark $2.1$ It is straightforward, using the Koszul-Quillen rule, to extend the definition of the Hochschild complex to the case when $A$ is an associative superalgebra, as well as all other definitions and results of the paper. We restricted here to the purely even case for the simplicity of the exposition.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Monotone Permutations

Consider the symmetric group $S_{n}$. Using Harrison’s notation in [Har62] (see also [GS87]), we have the following definition:

Definition $2.2$ A permutation $\pi \in S_{n}$ is called monotone if, for each $i=1, \ldots, n$, one of the following two conditions holds:
(a) $\pi(j)<\pi$ (i) for all $j\pi(i)$ for all $j<i$.
(Not necessarily the same condition (a) or (b) holds for every i.) When (b) holds, we call $i$ a drop of $\pi$. Also, $\pi(1)=k$ is called the start of $\pi$ (and we say that $\pi$ starts at $k$ ).

We denote by $\mathcal{M}{n} \subset S{n}$ the set of monotone permutations, and by $\mathcal{M}{n}^{k} \subset \mathcal{M}{n}$ the set of monotone permutations starting at $k$.

Here is a simple description of all monotone permutations starting at $k$. Let us identify the permutation $\pi \in S_{n}$ with the $n$-tuple $[\pi(1), \ldots, \pi(n)]$. To construct all $\pi \in \mathcal{M}_{n}^{k}$, we let $\pi(1)=k$. Then, for every choice of $k-1$ positions in ${2, \ldots, n}$ we get a monotone permutation $\pi$ as follows. In the selected positions we put the numbers 1 to $k-1$ in decreasing order from left to right; in the remaining positions we write the numbers $k+1$ to $n$ in increasing order from left to right. (The selected positions are the drops of $\pi$.)
According to the above description, we have a bijective correspondence

associating the monotone permutation $\pi \in \mathcal{M}_{n}^{k}$ to the set $D(\pi)$ of drops of $\pi$, which are
$$
\pi^{-1}(k-1)<\pi^{-1}(k-2)<\cdots<\pi^{-1}(1) \in{2, \ldots, n}
$$

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Differential Harrison Cohomology Complex

Let us now recall Harrison’s original definition of his cohomology complex [Har62]. Let $A$ be a commutative associative algebra, and $M$ be a symmetric $A$-bimodule, i.e., such that $a m=m a$, for all $a \in A$ and $m \in M$. For every $1<k \leq n$ define the following endomorphism on the space $\operatorname{Hom}\left(A^{8 n}, M\right)$ :
$$
\left(L_{k} F\right)\left(a_{1} \otimes \cdots \otimes a_{n}\right):=\sum_{\pi \in \mathcal{M}{k}^{k}}(-1)^{\operatorname{dr}(\pi)} F\left(a{\pi(1)} \otimes \cdots \otimes a_{\pi(n)}\right) .
$$
A Harrison $n$-cochain is defined as a Hochschild $n$-cochain $F \in \operatorname{Hom}\left(A^{\otimes n}, M\right)$ fixed by all operators $L_{k}$ :
$$
L_{k} F=F, \text { for every } 2 \leq k \leq n .
$$
We will denote by
$$
C_{\text {Har }}^{n}(A, M) \subset \operatorname{Hom}\left(A^{\otimes n}, M\right)
$$
the space of Harrison $n$-cochains.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|MATH4031

表示论代考

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Hochschild Cohomology Complex

首先,我们回顾 Hochschild 上同调复形,其中 Harrison 是一个子复形,参见 [Hoc45] 和 [Har62]。我们使用原始的哈里森定义。其他定义见 [GS87, Lod13]。

让一个是基域上的结合代数F, 和米豆一个-双模块。我们会写一个⊗n为了n-折叠张量积一个⊗⋯⊗一个. Hochschild 上同调复数定义如下。的空间n-cochains 是

他⁡(一个⊗n,米),
和微分d:他⁡(一个8n,米)→他⁡(一个8n+1,米)定义为

(dF)(一个1⊗⋯⊗一个n+1)=一个1F(一个2⊗⋯⊗一个n+1) +∑一世=1n(−1)一世F(一个1⊗⋯⊗一个一世−1⊗一个一世一个一世+1⊗一个一世+2⊗⋯⊗一个n+1) +(−1)n+1F(一个1⊗⋯⊗一个n)一个n+1
然后d2=0, 我们得到 Hochschild 上同调复数

0⟶米⟶d他⁡(一个,米)⟶d他⁡(一个⊗2,米)⟶d⋯
如果一个是带导数的结合代数∂:一个→一个, 和米是一个差分双模一个(即,动作∂与双模结构兼容),我们可以通过取子空间来考虑微分 Hochschild 上同调复数n-cochains

他⁡2[2](一个3n,米)定义很清楚(2.2)那个差d地图他⁡F[∂](一个⊗n,米)至他F[2]⁡(一个⊗n+1,米). 因此,我们有一个上同调子复合体。

评论2.1使用 Koszul-Quillen 规则很简单,可以将 Hochschild 复合体的定义扩展到以下情况:一个是一个关联超代数,以及论文的所有其他定义和结果。为了说明的简单性,我们在此仅限于纯偶数情况。

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Monotone Permutations

考虑对称群小号n. 使用 [Har62] 中的 Harrison 符号(另见 [GS87]),我们有以下定义:

定义2.2一个排列圆周率∈小号n被称为单调如果,对于每个一世=1,…,n,以下两个条件之一成立:
(a)圆周率(j)<圆周率(一) 为所有人j圆周率(一世)对所有人j<一世.
(不一定相同的条件 (a) 或 (b) 对每个 i 都成立。)当 (b) 成立时,我们称一世一滴圆周率. 还,圆周率(1)=ķ被称为开始圆周率(我们说圆周率开始于ķ ).

我们表示米n⊂小号n单调排列的集合,并且由米nķ⊂米n单调排列的集合开始于ķ.

这是对所有单调排列的简单描述,从ķ. 让我们识别排列圆周率∈小号n与n-元组[圆周率(1),…,圆周率(n)]. 构建所有圆周率∈米nķ,我们让圆周率(1)=ķ. 然后,对于每一个选择ķ−1职位2,…,n我们得到一个单调排列圆周率如下。在选定的位置,我们把数字 1 到ķ−1从左到右依次递减;在剩下的位置我们写数字ķ+1至n从左到右依次递增。(所选位置是圆周率.)
根据上面的描述,我们有一个双射对应

关联单调排列圆周率∈米nķ到集合D(圆周率)几滴圆周率, 哪个是

圆周率−1(ķ−1)<圆周率−1(ķ−2)<⋯<圆周率−1(1)∈2,…,n

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Differential Harrison Cohomology Complex

现在让我们回顾一下哈里森对他的上同调复数 [Har62] 的原始定义。让一个是一个交换结合代数,并且米是对称的一个-bimodule,即,这样一个米=米一个, 对所有人一个∈一个和米∈米. 对于每一个1<ķ≤n在空间上定义以下自同态他⁡(一个8n,米) :

(大号ķF)(一个1⊗⋯⊗一个n):=∑圆周率∈米ķķ(−1)博士⁡(圆周率)F(一个圆周率(1)⊗⋯⊗一个圆周率(n)).
一个哈里森n-cochain 被定义为 Hochschildn-cochainF∈他⁡(一个⊗n,米)由所有运营商确定大号ķ:

大号ķF=F, 对于每个 2≤ķ≤n.
我们将表示为

C头发 n(一个,米)⊂他⁡(一个⊗n,米)
哈里森的空间n-cochains。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

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回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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