### 数学代写|表示论代写Representation theory代考|MATH4314

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## 数学代写|表示论代写Representation theory代考|Le Conformal Algebras and Poisson Vertex Algebras

Definition $3.5$ A Lie conformal (super)algebra is a vector (super)space $V$, endowed with an even endomorphism $\partial \in \operatorname{End}(V)$ and a bilinear (over $\mathbb{F}$ ) $\lambda$-bracket $[\cdot \lambda \cdot]: V \times V \rightarrow V[\lambda]$ satisfying sesquilinearity $(a, b \in V)$ :
$$\left[\partial a_{\lambda} b\right]=-\lambda\left[a_{\lambda} b\right], \quad\left[a_{\lambda} \partial b\right]=(\lambda+\partial)\left[a_{\lambda} b\right]$$

skew symmetry $(a, b \in V)$ :
$$\left[a_{\lambda} b\right]=-(-1)^{p(a) p(b)}\left[b_{-\lambda-\partial} a\right]$$
and the Jacobi identity $(a, b, c \in V)$ :
$$\left[a_{\lambda}\left[b_{\mu} c\right]\right]-(-1)^{p(a) p(b)}\left[b_{\mu}\left[a_{\lambda}, b\right]\right]=\left[\left[a_{\lambda} b\right]{\lambda+\mu} c\right]$$ Definition 3.6 A Poisson vertex (super)algebra (PVA) is a commutative associative (super)algebra $V$ endowed with an even derivation $\partial$ and a Lie conformal (super)algebra $\lambda$-bracket $\left[\cdot \lambda^{-}\right]$that satisfies the left Leibniz rule $$\left[a{\lambda} b c\right]=\left[a_{\lambda} b\right] c+(-1)^{p(a) p(b)} b\left[a_{\lambda} c\right]$$

Recall that a (linear, unital, symmetric) superoperad $\mathcal{P}$ is a collection of vector superspaces $\mathcal{P}(n), n \geq 0$, with parity $p$, endowed, for every $f \in \mathcal{P}(n)$ and $m_{1}, \ldots, m_{n} \geq 0$, with a composition parity preserving linear map,
\begin{aligned} \mathcal{P}(n) \otimes \mathcal{P}\left(m_{1}\right) \otimes \cdots \otimes \mathcal{P}\left(m_{n}\right) & \rightarrow \mathcal{P}\left(M_{n}\right) \ f \otimes g_{1} \otimes \cdots \otimes g_{n} & \mapsto f\left(g_{1} \otimes \cdots \otimes g_{n}\right) \end{aligned}
where $M_{n}$ is as in (3.5), satisfying the following associativity axiom:
$$f\left(\left(g_{1} \otimes \cdots \otimes g_{n}\right)\left(h_{1} \otimes \cdots \otimes h_{M_{n}}\right)\right)=\left(f\left(g 1 \otimes \cdots \otimes g_{n}\right)\right)\left(h_{1} \otimes \cdots \otimes h_{M_{n}}\right) \in \mathcal{P}\left(\sum_{j=1}^{M_{n}} \ell_{j}\right)$$
for every $f \in \mathcal{P}(n), g_{i} \in \mathcal{P}\left(m_{i}\right)$ for $i=1, \ldots, n$, and $h_{j} \in \mathcal{P}\left(\ell_{j}\right)$ for $j=$ $1, \ldots, M_{n}$. In the left-hand side of $(3.16)$ the linear map
$$g_{1} \otimes \cdots \otimes g_{n}: \bigotimes_{j=1}^{M_{n}} \mathcal{P}\left(\ell_{j}\right) \rightarrow \bigotimes_{i=1}^{n} \mathcal{P}\left(\sum_{j=M_{i-1}+1}^{M_{i}} \ell_{j}\right)$$
is the tensor product of composition maps applied to
$$h_{1} \otimes \cdots \otimes h_{M_{n}}=\left(h_{1} \otimes \cdots \otimes h_{M_{1}}\right) \otimes\left(h_{M_{1}+1} \otimes \cdots \otimes h_{M_{2}}\right) \otimes \cdots \otimes\left(h_{M_{n-1}+1} \otimes \cdots \otimes h_{M_{n}}\right) \text {. }$$

Recall that, given an operad $\mathcal{P}$, one can construct the associated $\mathbb{Z}$-graded Lie superalgebra $W(\mathcal{P})$. It is defined, as a $\mathbb{Z}$-graded vector superspace
$$W(\mathcal{P})=\sum_{n \geq-1} W^{n}(\mathcal{P})=\sum_{n \geq-1} \mathcal{P}(n+1)^{S_{n+1}}$$

with the following Lie bracket. For $f \in W^{n}(\mathcal{P})$ and $g \in W^{m}(\mathcal{P})$, their $\square$-product is defined by
$$f \square g=\sum_{\sigma \in S_{m+1, n}}\left(f \circ_{1} g\right)^{\sigma^{-1}} \in W^{m+n}(\mathcal{P})$$
and the Lie bracket on $W(\mathcal{P})$ is given by
$$[f, g]=f \square g-(-1)^{p(f) p(g)} g \square f$$
See, e.g., [BDSHK19, Sec. 3] for details.

## 数学代写|表示论代写Representation theory代考|Le Conformal Algebras and Poisson Vertex Algebras

[∂一个λb]=−λ[一个λb],[一个λ∂b]=(λ+∂)[一个λb]

[一个λb]=−(−1)p(一个)p(b)[b−λ−∂一个]

[一个λ[bμC]]−(−1)p(一个)p(b)[bμ[一个λ,b]]=[[一个λb]λ+μC]定义 3.6 泊松顶点（超）代数（PVA）是交换结合（超）代数在具有均匀的派生∂和一个李共形（超）代数λ-括号[⋅λ−]满足左莱布尼茨规则

[一个λbC]=[一个λb]C+(−1)p(一个)p(b)b[一个λC]

F((G1⊗⋯⊗Gn)(H1⊗⋯⊗H米n))=(F(G1⊗⋯⊗Gn))(H1⊗⋯⊗H米n)∈磷(∑j=1米nℓj)

G1⊗⋯⊗Gn:⨂j=1米n磷(ℓj)→⨂一世=1n磷(∑j=米一世−1+1米一世ℓj)

H1⊗⋯⊗H米n=(H1⊗⋯⊗H米1)⊗(H米1+1⊗⋯⊗H米2)⊗⋯⊗(H米n−1+1⊗⋯⊗H米n).

FG=∑σ∈小号米+1,n(F∘1G)σ−1∈在米+n(磷)

[F,G]=FG−(−1)p(F)p(G)GF

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。