数学代写|表示论代写Representation theory代考|MATH4314

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表示论是数学的一个分支,它通过将抽象代数结构的元素表示为向量空间的线性变换来研究抽象代数结构,并研究这些抽象代数结构上的模块。实质上,表示通过用矩阵及其代数运算来描述其元素,使抽象代数对象更加具体。矩阵和线性运算符的理论已被充分理解,因此用熟悉的线性代数对象来表示更抽象的对象有助于收集属性,有时还能简化更抽象理论的计算。

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数学代写|表示论代写Representation theory代考|MATH4314

数学代写|表示论代写Representation theory代考|The General Case

Take $\mathfrak{h}{j} \in I(f, \mathfrak{g})$ and $H{j}=\exp \left(h_{j}\right)(j=1,2)$. We shall construct an intertwining operator $T_{\mathfrak{b}{2} \mathfrak{h}{1}}$ so that, given $\mathfrak{h}_{j} \in I(f, \mathfrak{g})(1 \leq j \leq 3)$, the composition formula
holds. In order to define this operator we use a third polarization, a Vergne polarization to be precise.

Theorem 2.5.1 Let $\mathfrak{h}{j} \in I(f, \mathfrak{g})(j=1,2)$ and take a Vergne polarization ho at $f \in \mathrm{g}^{*}$. Then the intertwining isometry $$ T{\mathfrak{h}{2} \mathfrak{h}{1}}=a\left(\mathfrak{h}{1}, \mathfrak{h}{0}, \mathfrak{h}{2}\right) T{\mathfrak{h}{2} \mathfrak{h}{0}} \circ T_{\mathfrak{h}{0} \mathfrak{h}{1}},
$$
where $T_{\mathfrak{h}{2} \mathfrak{h}{0}}, T_{\mathfrak{h}{0} \mathfrak{h}{1}}$ are the intertwining isometries defined in Theorem 2.4.2, does not depend on the choice of the Vergne polarization $\mathrm{h}{0}$. Moreover, $T{\mathrm{h}{2} \mathfrak{h}{1}}$ coincides with $I_{\mathfrak{h}{2} \mathfrak{h}{1}}$ if at least one of $\mathfrak{h}{1}, \mathfrak{h}{2}$ is a Vergne polarization.

Proof We proceed again by induction on $\operatorname{dim} G$. As in the previous proofs, we can at once suppose that there is no minimal ideal which is not central and $f$ does not vanish on any ideal of $\mathrm{g}$.
Let now $\mathbf{h}{3}, \mathbf{h}{4}$ be two Vergne polarizations at $f$. We claim
$$
a\left(b_{1}, h_{3}, h_{2}\right) T_{h_{2} b_{3}} \circ T_{h_{3} h_{1}}=a\left(b_{1}, h_{4}, b_{2}\right) T_{b_{2} b_{4}} \circ T_{\mathfrak{h}{4} b{1}},
$$
where $a\left(\mathfrak{h}{i}, \mathbf{h}{j}, \mathfrak{h}{k}\right)=e^{\frac{\mathbf{I}^{2}}{} \tau\left(\mathfrak{h}, \mathfrak{h}{j}, \mathbf{h}{k}\right)}$. If there is a minimal non-central ideal a contained in $\mathfrak{h}{3} \cap \mathbf{h}{4}$, then $\mathbf{h}{3} \cup \mathbf{h}{4} \subset a^{f}$ and we can apply the induction hypothesis to $\mathfrak{h}{i}^{\prime}=\mathfrak{h}{i} \cap \mathfrak{a}^{f}+\mathfrak{a}, i=1,2$. Thus $$ a\left(\mathfrak{h}{1}^{\prime}, \mathfrak{h}{3}, \mathfrak{h}{2}^{\prime}\right) T_{\mathfrak{h}{2}^{\prime} \mathfrak{h}{3}} \circ T_{\mathfrak{h}{3} \mathfrak{h}{1}^{\prime}}=a\left(\mathfrak{h}{1}^{\prime}, \mathfrak{h}{4}, \mathfrak{h}{2}^{\prime}\right) T{\mathfrak{h}{2}^{\prime} \mathfrak{h}{4}} \circ T_{\mathfrak{h}{4} \mathfrak{h}{1}^{\prime}}
$$
We deduce from this
$$
a\left(\mathfrak{h}{1}^{\prime}, \mathfrak{h}{3}, \mathfrak{h}{2}^{\prime}\right) T{\mathfrak{h}{2} \mathfrak{h}{3}} \circ T_{\mathfrak{h}{3} \mathfrak{h}{1}}=a\left(\mathfrak{h}{1}^{\prime}, \mathfrak{h}{4}, \mathfrak{h}{2}^{\prime}\right) T{\mathfrak{h}{2} \mathfrak{h}{4}} \circ T_{\mathfrak{h}{4} \mathfrak{h}{1}}
$$
Hence it suffices to show
$$
a\left(h_{1}, h_{3}, h_{2}\right) a\left(h_{1}^{\prime}, h_{4}, h_{2}^{\prime}\right)=a\left(h_{1}, h_{4}, h_{2}\right) a\left(h_{1}^{\prime}, h_{3}, h_{2}^{\prime}\right)
$$
But from Lemma 2.3.11 we have
$a\left(h_{1}, h_{3}, h_{2}\right)=a\left(h_{4}, h_{3}, h_{2}\right) a\left(h_{1}, h_{4}, h_{2}\right) a\left(h_{1}, h_{3}, b_{4}\right)$
$=a\left(h_{4}, \mathbf{h}{3}, \mathbf{h}{2}^{\prime}\right) a\left(h_{1}, \mathbf{h}{4}, \mathbf{h}{2}\right) a\left(\mathbf{h}{1}^{\prime}, \mathbf{h}{3}, \mathbf{h}_{4}\right)$

数学代写|表示论代写Representation theory代考|A Local Result

We denote by $\mathscr{H}{\rho}$ the Hilbert space of a unitary representation $\rho$ of $G$, by $\mathscr{H}{\rho}^{\infty}$ the space of $C^{\infty}$-vectors of $\rho$ equipped with the usual topology and by $\mathscr{H}{\rho}^{-\infty}$ the anti-dual space of $\mathscr{H}{\rho}^{\infty}$. Given a closed subgroup $K$ of $G$ and a character $\lambda$ of $K$, we set
$$
\left(\mathscr{H}{\rho}^{-\infty}\right)^{K, \lambda}=\left{a \in \mathscr{H}{\rho}^{-\infty} ; \rho(k) a=\lambda(k) a, \forall k \in K\right}
$$
Let $T_{\mathfrak{h}{2} \mathfrak{h}{1}}$ be the isometry defined above which intertwines $\pi_{1}$ and $\pi_{2}$. This section is devoted to the proof of the next theorem.
Theorem 2.6.1 There exists a positive form $v=v_{H_{2}, H_{1} \cap H_{2}}$ such that
$$
T_{b_{2} h_{1}} \varphi(e)=\oint_{H_{2} /\left(H_{1} \cap H_{2}\right)} \varphi(h) \chi_{f}(h) \Delta_{H_{2}, G}^{-1 / 2}(h) d v(h)
$$
for any function $\varphi \in \mathscr{H}{\pi{1}}^{\infty}$ whose support is sufficiently small modulo $H_{1}$.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|The Case Where h1 + h2 Is a Subalgebra

Lemma 2.7.1 Let $\mathfrak{h}{j} \in I(f, \mathfrak{g})(j=1,2)$ be such that $\mathfrak{t}=\mathfrak{h}{1}+\mathfrak{h}{2}$ is a subalgebra of $\mathrm{g}$. Then $K=\exp \mathrm{E}=\mathrm{H}{2} \mathrm{H}{1}$ and there exists a coexponential basis of $\mathrm{h} 1 \mathrm{in} \mathrm{g}, a$ part of which is coexponential to $\mathfrak{h}{1} \cap \mathfrak{h}{2}$ in $\mathrm{h}{2}$. In particular, $H_{1} H_{2}$ is closed in $G$.
Proof Supposing $\mathfrak{g}=\mathfrak{h}{1}+\mathbf{h}{2}$, we shall verify $G=H_{1} H_{2}$. We already know that $H_{1} H_{2}$ is open in $G$. Consider a sequence of subalgebras
$$
h_{1}=m_{0} \subset m_{1} \subset \cdots \subset m_{k}=\mathfrak{h}{1}+[\mathfrak{g}, \mathfrak{g}] $$ such that the adjoint action of $\mathrm{m}{j-1}$ on $\mathrm{m}{j} / \mathrm{m}{j-1}$ is irreducible for all $1 \leq j \leq k$. We put $M_{j}=\exp \left(m_{j}\right)$. Supposing $M_{j-1} \subset H_{1} H_{2}$, we shall prove the same inclusion for $M_{j}$. Suppose first $\operatorname{dim}\left(m_{j} / m_{j-1}\right)=1$. We take a coexponential basis ${X}$ of $\mathrm{m}{j-1}$ in $\mathrm{m}{j}$. By writing $g \in M_{j}$ in the form $g=\exp (x X) \cdot g_{0}$, where $x \in \mathbb{R}$ and $g_{0} \in M_{j-1}$, we immediately see that $g \in H_{2} H_{1}$ if and only if $\exp (x X) \in H_{2} H_{1}$.

On the other hand, the condition
$$
\exp (x X) \in H_{2} H_{1}=\left{a \in G ; a \cdot\left(f+\left(\mathfrak{h}{1}\right)^{\perp}\right) \cap\left(f+\left(\mathbf{h}{2}\right)^{\perp}\right) \neq \emptyset\right}
$$
is expressed by the vanishing of a real analytic function of $x$. Since $H_{2} H_{1}$ is open in $G$, we have rank $B(g) \leq \operatorname{rank} A(e)$ for all $g \in G$. Here, $B(g)$ and $A(e)$ denote the matrices introduced just after Lemma 2.3.11. On the other hand we have $\left(H_{2} H_{1}\right) \cap$ $M_{j}=\exp \left(\mathrm{h}{2} \cap \mathrm{m}{j}\right) H_{1}$, which is connected. These observations give us the desired inclusion $\mathrm{M}{j} \subset \mathrm{H}{2} \mathrm{H}_{1}$.

Suppose now $\operatorname{dim}\left(\mathrm{m}{j} / \mathrm{m}{j-1}\right)=2$. We take $\left{X, X^{\prime}\right}$ in $[\mathfrak{g}, \mathfrak{g}]$ so that $\left{X, X^{\prime}\right}$ is a coexponential basis of $\mathrm{m}{j-1}$ in $\mathrm{m}{j}$. When we write $X=Y_{1}+Y_{2}, X^{\prime}=Y_{1}^{\prime}+Y_{2}^{\prime}$ with $Y_{i}, Y_{i}^{\prime} \in \mathfrak{h}{i}(i=1,2)$, we may for instance assume $\left[Y{i}^{\prime}, \mathrm{m}{j}\right] \subset \mathrm{m}{j-1}(i=1,2)$. If, further, $\left[Y_{i}, \mathrm{~m}{j}\right] \subset \mathrm{m}{j-1}(i=1,2)$, then $\left{Y_{2}, Y_{2}^{\prime}\right}$ becomes a coexponential basis of $\mathrm{m}{j-1}$ in $\mathrm{m}{j}$. For otherwise $\left[Y_{i}, \mathrm{~m}{j}\right] \not \subset \mathrm{m}{j-1}$ and it suffices to replace $X$ by $\left[Y_{1}, X^{\prime}\right]-\left[X, Y_{2}^{\prime}\right]=\left[Y_{1}, Y_{1}^{\prime}\right]-\left[Y_{2}, Y_{2}^{\prime}\right]$ to go fall back into the previous case.

Hence $H_{1} \subset M_{k} \subset H_{2} H_{1}$. Since $\mathrm{m}{k} \supset[\mathrm{g}, \mathrm{g}]$, we can finally choose elements of $\mathfrak{h}{2}$ which constitute a coexponential basis of $m_{k}$ in $\mathfrak{g}$.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|MATH4314

表示论代考

数学代写|表示论代写Representation theory代考|The General Case

拿Hj∈我(F,G)和Hj=经验⁡(Hj)(j=1,2). 我们将构造一个交织运算符吨b2H1所以,给定Hj∈我(F,G)(1≤j≤3),组成公式
成立。为了定义这个算子,我们使用第三种极化,准确地说是 Vergne 极化。

定理 2.5.1 令Hj∈我(F,G)(j=1,2)并采取 Vergne 极化 hoF∈G∗. 然后是相互交织的等距

吨H2H1=一个(H1,H0,H2)吨H2H0∘吨H0H1,
在哪里吨H2H0,吨H0H1是定理 2.4.2 中定义的相互交织的等距,不依赖于 Vergne 极化的选择H0. 而且,吨H2H1恰逢我H2H1如果至少有一个H1,H2是 Vergne 极化。

证明 我们再次通过归纳继续暗淡⁡G. 和前面的证明一样,我们可以立即假设没有一个不是中心的最小理想,并且F不会在任何理想中消失G.
现在让H3,H4是两个 Vergne 极化F. 我们声称

一个(b1,H3,H2)吨H2b3∘吨H3H1=一个(b1,H4,b2)吨b2b4∘吨H4b1,
在哪里一个(H一世,Hj,Hķ)=和我2τ(H,Hj,Hķ). 如果有一个最小的非中心理想 a 包含在H3∩H4, 然后H3∪H4⊂一个F我们可以将归纳假设应用于H一世′=H一世∩一个F+一个,一世=1,2. 因此

一个(H1′,H3,H2′)吨H2′H3∘吨H3H1′=一个(H1′,H4,H2′)吨H2′H4∘吨H4H1′
我们由此推断

一个(H1′,H3,H2′)吨H2H3∘吨H3H1=一个(H1′,H4,H2′)吨H2H4∘吨H4H1
因此足以表明

一个(H1,H3,H2)一个(H1′,H4,H2′)=一个(H1,H4,H2)一个(H1′,H3,H2′)
但是从引理 2.3.11 我们有
一个(H1,H3,H2)=一个(H4,H3,H2)一个(H1,H4,H2)一个(H1,H3,b4)
=一个(H4,H3,H2′)一个(H1,H4,H2)一个(H1′,H3,H4)

数学代写|表示论代写Representation theory代考|A Local Result

我们表示Hρ酉表示的希尔伯特空间ρ的G, 经过Hρ∞的空间C∞-向量ρ配备了通常的拓扑结构并通过Hρ−∞的反对偶空间Hρ∞. 给定一个封闭的子群ķ的G和一个角色λ的ķ, 我们设置

\left(\mathscr{H}{\rho}^{-\infty}\right)^{K, \lambda}=\left{a \in \mathscr{H}{\rho}^{-\infty} ; \rho(k) a=\lambda(k) a, \forall k \in K\right}\left(\mathscr{H}{\rho}^{-\infty}\right)^{K, \lambda}=\left{a \in \mathscr{H}{\rho}^{-\infty} ; \rho(k) a=\lambda(k) a, \forall k \in K\right}
让吨H2H1是上面定义的等距,它交织在一起圆周率1和圆周率2. 本节专门讨论下一个定理的证明。
定理 2.6.1 存在一个肯定形式在=在H2,H1∩H2这样

吨b2H1披(和)=∮H2/(H1∩H2)披(H)χF(H)ΔH2,G−1/2(H)d在(H)
对于任何功能披∈H圆周率1∞其支持模数足够小H1.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|The Case Where h1 + h2 Is a Subalgebra

引理 2.7.1 让Hj∈我(F,G)(j=1,2)是这样的吨=H1+H2是一个子代数G. 然后ķ=经验⁡和=H2H1并且存在一个共指数基H1一世nG,一个其中一部分与H1∩H2在H2. 尤其是,H1H2封闭在G.
证明假设G=H1+H2,我们将验证G=H1H2. 我们已经知道H1H2开在G. 考虑一系列子代数

H1=米0⊂米1⊂⋯⊂米ķ=H1+[G,G]这样的伴随动作米j−1上米j/米j−1对所有人都是不可约的1≤j≤ķ. 我们把米j=经验⁡(米j). 假如米j−1⊂H1H2,我们将证明相同的包含米j. 假设首先暗淡⁡(米j/米j−1)=1. 我们以共指数为基础X的米j−1在米j. 通过写作G∈米j在表格中G=经验⁡(XX)⋅G0, 在哪里X∈R和G0∈米j−1,我们立即看到G∈H2H1当且仅当经验⁡(XX)∈H2H1.

另一方面,条件

\exp (x X) \in H_{2} H_{1}=\left{a \in G ; 一个 \cdot\left(f+\left(\mathfrak{h}{1}\right)^{\perp}\right) \cap\left(f+\left(\mathbf{h}{2}\right)^ {\perp}\right) \neq \emptyset\right}\exp (x X) \in H_{2} H_{1}=\left{a \in G ; 一个 \cdot\left(f+\left(\mathfrak{h}{1}\right)^{\perp}\right) \cap\left(f+\left(\mathbf{h}{2}\right)^ {\perp}\right) \neq \emptyset\right}
由一个实解析函数的消失来表示X. 自从H2H1开在G, 我们有排名乙(G)≤秩⁡一个(和)对所有人G∈G. 这里,乙(G)和一个(和)表示在引理 2.3.11 之后引入的矩阵。另一方面,我们有(H2H1)∩ 米j=经验⁡(H2∩米j)H1, 是连通的。这些观察结果为我们提供了所需的包含米j⊂H2H1.

现在假设暗淡⁡(米j/米j−1)=2. 我们采取\left{X, X^{\prime}\right}\left{X, X^{\prime}\right}在[G,G]以便\left{X, X^{\prime}\right}\left{X, X^{\prime}\right}是一个共指数基米j−1在米j. 当我们写X=是1+是2,X′=是1′+是2′和是一世,是一世′∈H一世(一世=1,2),例如我们可以假设[是一世′,米j]⊂米j−1(一世=1,2). 如果,进一步,[是一世, 米j]⊂米j−1(一世=1,2), 然后\left{Y_{2}, Y_{2}^{\prime}\right}\left{Y_{2}, Y_{2}^{\prime}\right}成为一个共指数基米j−1在米j. 否则[是一世, 米j]⊄米j−1并且足以替换X经过[是1,X′]−[X,是2′]=[是1,是1′]−[是2,是2′]回到以前的情况。

因此H1⊂米ķ⊂H2H1. 自从米ķ⊃[G,G],我们终于可以选择元素H2这构成了一个共指数的基础米ķ在G.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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