数学代写|表示论代写Representation theory代考|MATH4314

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表示论是数学的一个分支,它通过将抽象代数结构的元素表示为向量空间的线性变换来研究抽象代数结构,并研究这些抽象代数结构上的模块。[1][2]实质上,表示通过用矩阵及其代数运算(例如,矩阵加、矩阵乘)来描述其元素,使抽象代数对象更加具体。矩阵和线性运算符的理论已被充分理解,因此用熟悉的线性代数对象来表示更抽象的对象有助于收集属性,有时还能简化更抽象理论的计算。

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数学代写|表示论代写Representation theory代考|MATH4314

数学代写|表示论代写Representation theory代考|The Main Result

To describe more precisely our main Theorem we need first to discuss blocks.
For $k<\ell \in \mathbb{N}{0}$, we set $\mathbb{I}{k, \ell}={k, k+1, \ldots, \ell}, \mathbb{I}{\ell}=\mathbb{I}{1, \ell}$. A block $\mathcal{V}(\epsilon, \ell)$, where $\epsilon \in \mathbb{k}^{\times}$and $\ell \in \mathbb{N}{\geq 2}$, is a braided vector space with a basis $\left(x{i}\right){i \in \mathbb{I}{\ell}}$ such that for $i, j \in \mathbb{I}{\ell}, 1{i} \otimes x_{1}\right)=\epsilon x_{1} \otimes x_{i}, \quad c\left(x_{i} \otimes x_{j}\right)=\left(\epsilon x_{j}+x_{j-1}\right) \otimes x_{i} . $$ In characteristic 0 , the only Nichols algebras of blocks with finite GKdim are the Jordan plane $\mathscr{B}(\mathcal{V}(1,2))$ and the super Jordan plane $\mathscr{B}(\mathcal{V}(-1,2))$; both have GKdim $=2$. In our context with $p>2$, the Jordan plane $\mathscr{B}(\mathcal{V}(1,2)$ ) has dimension $p^{2}[\mathrm{CLW}]$; see Lemma 3.1. Our starting result is that the super Jordan plane $\mathscr{B}(\mathcal{V}(-1,2))$ has dimension $4 p^{2}$, see Proposition $3.2$. For simplicity a block $\mathcal{V}(\epsilon, 2)$ of dimension 2 is called an $\epsilon$-block. We also prove that a block $\mathcal{V}(\epsilon, 2)$ has finitedimensional Nichols algebra only when $\epsilon=\pm 1$, see Proposition 3.3.

The braided vector spaces in this paper belong to the class analogous to the one considered in [AAH1]. Briefly, $(V, c)$ belongs to this class if
$$
\begin{aligned}
V &=V_{1} \oplus \cdots \oplus V_{t} \oplus V_{t+1} \oplus \cdots \oplus V_{\theta} \
c\left(V_{i} \otimes V_{j}\right) &=V_{j} \otimes V_{i}, i, j \in \mathbb{I}{\theta} \end{aligned} $$ where $V{h}$ is a $\epsilon_{h}$-block, with $\epsilon_{h}^{2}=1$, for $h \in \mathbb{I}{t}$; and $\operatorname{dim} V{i}=1$ with braiding determined by $q_{i i} \in \mathbb{k}^{\times}$(we say that $i$ is a point), $i \in \mathbb{I}{t+1, \theta}$; the braiding between points $i$ and $j$ is given by $q{i j} \in \mathrm{k}^{\times}$while the braiding between a point and block, respectively two blocks, should have the form as in (4.1), respectively (6.1). For convenience, we attach to $(V, c)$ a flourished graph $\mathcal{D}$ with $\theta$ vertices, those corresponding to a 1 -block decorated with $\boxplus$, those to $-1$-block decorated with $\boxminus$ and the point $i$ with $q_{i i}$. If $i \neq j$ are points, and there is an edge between them decorated by $\tilde{q}{i j}:=q{i j} q_{j i}$ when this is $\neq-1$, or no edge if $\tilde{q}{i j}=1$. If $h$ is a block and $j$ is a point, then there is an edge between $h$ and $j$ decorated either by $\mathscr{S}{h j}$ if the interaction is weak and $\mathscr{S}{h j} \neq 0$ is the ghost, cf. (4.2), or by ( $\left.-, \mathscr{S}{h j}\right)$ if the interaction is mild and $\mathscr{S}{h j}$ is the ghost; but no edge if the interaction is weak and $\mathscr{S}{h j}=0$. There are no edges between blocks and we assume that the diagram is connected by a well-known reduction argument.

This class of braided vector spaces together with those of diagonal type does not exhaust that of Yetter-Drinfeld modules arising from abelian groups; there are still those containing a pale block as in [AAH1, Chapter 8]. Synthetically our main result is the following.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Preliminaries

The q-numbers are the polynomials
$$
(n){\mathrm{q}}=\sum{j=0}^{n-1} \mathrm{q}^{j}, \quad(n){\mathrm{q}}^{!}=\prod{j=1}^{n}(j){\mathrm{q}}, \quad\left(\begin{array}{c} n \ i \end{array}\right){\mathrm{q}}=\frac{(n){\mathrm{q}}^{!}}{(n-i){\mathrm{q}}^{!}(i){\mathrm{q}}^{!}} \in \mathbb{Z}[\mathrm{q}] $$ $n \in \mathbb{N}, 0 \leq i \leq n$. If $q \in \mathbb{k}$, then $(n){q},(n){q}^{!},\left(\begin{array}{c}n \ i\end{array}\right){q}$ denote the evaluations of $(n){q}$, $(n){\mathrm{q}}^{!},\left(\begin{array}{l}n \ i\end{array}\right)_{\mathrm{q}}$ at $\mathrm{q}=q$.

Let $\mathbb{G}{N}$ be the group of $N$-th roots of unity, and $\mathbb{G}{N}^{\prime}$ the subset of primitive roots of order $N ; \mathbb{G}{\infty}=\bigcup{N \in \mathbb{N}} \mathbb{G}_{N}$. All the vector spaces, algebras, and tensor products are over k.
All Hopf algebras have bijective antipode.

Let $\Gamma$ be an abelian group. We denote by $\widehat{\Gamma}$ the group of characters of $\Gamma$. The category $\mathrm{k}{\mathrm{k} \Gamma} \mathcal{Y D}$ of Yetter-Drinfeld modules over the group algebra $\mathrm{k} \Gamma$ consists of $\Gamma$ graded $\Gamma$-modules, the $\Gamma$-grading being denoted by $V=\oplus{g \in \Gamma} V_{g}$; that is, $h V_{g}=V_{g}$ for all $g, h \in \Gamma$. If $g \in \Gamma$ and $\chi \in \widehat{\Gamma}$, then the one-dimensional vector space $\mathbb{k}{g}$, $^{k}$ with action and coaction given by $g$ and $\chi$, is in ${ }{H}^{H} \mathcal{Y D}$. Let $W \in \mathrm{k}{\mathrm{k} \Gamma}^{\mathrm{V} \Gamma} \mathcal{D}$ and $\left(w{i}\right){i \in I}$ a basis of $W$ consisting of homogeneous elements of degree $g{i}, i \in I$, respectively. Then there are skew-derivations $\partial_{i}, i \in I$, of $T(W)$ such that for all $x, y \in T(W)$, $i, j \in I$
$$
\partial_{i}\left(w_{j}\right)=\delta_{i j}, \quad \partial_{i}(x y)=\partial_{i}(x)\left(g_{i} \cdot y\right)+x \partial_{i}(y)
$$
For a definition of Yetter-Drinfeld modules over arbitrary Hopf algebras we refer, e.g., to [R, 11.6].

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Nichols Algebras

Nichols algebras are graded Hopf algebras $\mathscr{B}=\oplus_{n \geq 0} \mathscr{B}^{n}$ in ${ }{H}^{H} \mathcal{Y D}$ coradically graded and generated in degree one. They are completely determined by $V:=\mathscr{B}^{1} \in$ ${ }{H}^{H} \mathcal{Y D}$ and it is customary to denote $\mathscr{B}=\mathscr{B}(V)$. If $W \in{ }{\mathrm{k} \Gamma}^{\mathrm{k} \Gamma} \mathcal{Y D}$ as in Sect. 2.2, then the skew-derivations $\partial{i}$ induce skew-derivations on $\mathscr{B}(W)$. Moreover, an element $w \in \mathscr{B}^{k}(W), k \geq 1$, is zero if and only if $\partial_{i}(w)=0$ in $\mathscr{B}(W)$ for all $i \in I$. A pre-Nichols algebra of $V$ is a graded Hopf algebra in ${ }_{H}^{H} \mathcal{Y} \mathcal{D}$ generated in degree one, with the one-component isomorphic to $V$.

Example $2.1$ Let $V$ be of dimension 1 with braiding $c=\epsilon$ id. Let $N$ be the smallest natural number such that $(N)_{\epsilon}=0$. Then $\mathscr{B}(V)=\mathbb{k}[T] /\left\langle T^{N}\right\rangle$, or $\mathscr{B}(V)=\mathrm{k}[T]$ if such $N$ does not exist.

A braided vector space $V$ is of diagonal type if there exists a basis $\left(x_{i}\right){i \in \mathrm{I}{i}}$ of $V$ and $\mathbf{q}=\left(q_{i j}\right){i, j \in \mathbb{L}{j}} \in \mathbb{k}^{\theta \times \theta}$ such that $q_{i j} \neq 0$ and $c\left(x_{i} \otimes x_{j}\right)=q_{i j} x_{j} \otimes x_{i}$ for all $i, j \in \mathbb{I}=\mathbb{I}{\theta}$. Given a braided vector space $V$ of diagonal type with a basis $\left(x{i}\right)$, we denote in $T(V)$, or $\mathscr{B}(V)$, or any intermediate Hopf algebra,
$$
x_{i j}=\left(\operatorname{ad}{c} x{i}\right) x_{j}, \quad x_{i_{1} i_{2} \ldots i_{M}}=\left(\operatorname{ad}{c} x{i_{1}}\right) x_{i_{2} \ldots i M},
$$
for $i, j, i_{1}, \ldots, i_{M} \in \mathbb{I}, M \geq 2$. A braided vector space $V$ of diagonal type is of Cartan type if there exists a generalized Cartan matrix $\mathbf{a}=\left(a_{i j}\right)$ such that $q_{i j} q_{j i}=$ $q_{i i}^{a_{i j}}$ for all $i \neq j$.

Theorem $2.2$ If $V$ is of Cartan type with matrix a that is not finite, then $\operatorname{dim} \mathscr{B}(V)=\infty$.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|MATH4314

表示论代考

数学代写|表示论代写Representation theory代考|The Main Result

为了更准确地描述我们的主要定理,我们首先需要讨论块。
为了ķ<ℓ∈ñ0, 我们设置我ķ,ℓ=ķ,ķ+1,…,ℓ,我ℓ=我1,ℓ. 一块在(ε,ℓ), 在哪里ε∈ķ×和ℓ∈ñ≥2, 是一个带基的编织向量空间(X一世)一世∈我ℓ这样对于i, j \in \mathbb{I}{\ell}, 1{i} \otimes x_{1}\right)=\epsilon x_{1} \otimes x_{i}, \quad c\left(x_{ i} \otimes x_{j}\right)=\left(\epsilon x_{j}+x_{j-1}\right) \otimes x_{i} 。i, j \in \mathbb{I}{\ell}, 1{i} \otimes x_{1}\right)=\epsilon x_{1} \otimes x_{i}, \quad c\left(x_{ i} \otimes x_{j}\right)=\left(\epsilon x_{j}+x_{j-1}\right) \otimes x_{i} 。我nCH一个r一个C吨和r一世s吨一世C0,吨H和○nl是ñ一世CH○ls一个lG和br一个s○Fbl○Cķs在一世吨HF一世n一世吨和Gķd一世米一个r和吨H和Ĵ○rd一个npl一个n和\mathscr{B}(\mathcal{V}(1,2))一个nd吨H和s在p和rĴ○rd一个npl一个n和\mathscr{B}(\mathcal{V}(-1,2));b○吨HH一个在和Gķd一世米=2.我n○在rC○n吨和X吨在一世吨Hp>2,吨H和Ĵ○rd一个npl一个n和\mathscr{B}(\mathcal{V}(1,2))H一个sd一世米和ns一世○np ^ {2} [\ mathrm {CLW}];s和和大号和米米一个3.1.○在rs吨一个r吨一世nGr和s在l吨一世s吨H一个吨吨H和s在p和rĴ○rd一个npl一个n和\mathscr{B}(\mathcal{V}(-1,2))H一个sd一世米和ns一世○n4 p^{2},s和和磷r○p○s一世吨一世○n3.2.F○rs一世米pl一世C一世吨是一个bl○Cķ\mathcal{V}(\epsilon, 2)○Fd一世米和ns一世○n2一世sC一个ll和d一个n\ε−bl○Cķ.在和一个ls○pr○在和吨H一个吨一个bl○Cķ\mathcal{V}(\epsilon, 2)H一个sF一世n一世吨和d一世米和ns一世○n一个lñ一世CH○ls一个lG和br一个○nl是在H和n\epsilon=\pm 1$,见命题 3.3。

本文中的编织向量空间属于类似于 [AAH1] 中考虑的类。简要地,(在,C)如果属于这个类

在=在1⊕⋯⊕在吨⊕在吨+1⊕⋯⊕在θ C(在一世⊗在j)=在j⊗在一世,一世,j∈我θ在哪里在H是一个εH-块,与εH2=1, 为了H∈我吨; 和暗淡⁡在一世=1编织由q一世一世∈ķ×(我们说一世是一个点),一世∈我吨+1,θ; 点之间的编织一世和j是(谁)给的q一世j∈ķ×而一个点和块之间的编织,分别是两个块,应该分别具有(4.1)和(6.1)中的形式。为方便起见,我们附上(在,C)蓬勃发展的图表D和θ顶点,对应于 1 装饰的块⊞, 那些−1-块装饰⊟和重点一世和q一世一世. 如果一世≠j是点,它们之间有一条边q~一世j:=q一世jqj一世当这是≠−1,或者如果没有边q~一世j=1. 如果H是一个块并且j是一个点,那么之间有一条边H和j由小号Hj如果相互作用很弱并且小号Hj≠0是鬼魂,cf。(4.2),或由 (−,小号Hj)如果相互作用是温和的并且小号Hj是鬼;但如果相互作用很弱,则没有优势小号Hj=0. 块之间没有边,我们假设该图是由一个众所周知的归约论点连接的。

这类编织向量空间与对角类型的向量空间并没有穷尽由阿贝尔群产生的 Yetter-Drinfeld 模;仍然有那些包含如 [AAH1,第 8 章] 中的苍白块。综合而言,我们的主要结果如下。

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Preliminaries

q 数是多项式

(n)q=∑j=0n−1qj,(n)q!=∏j=1n(j)q,(n 一世)q=(n)q!(n−一世)q!(一世)q!∈从[q]n∈ñ,0≤一世≤n. 如果q∈ķ, 然后(n)q,(n)q!,(n 一世)q表示评价(n)q, (n)q!,(n 一世)q在q=q.

让Gñ成为一组ñ-th 统一的根,和Gñ′原始序根的子集ñ;G∞=⋃ñ∈ñGñ. 所有向量空间、代数和张量积都超过 k。
所有 Hopf 代数都有双射对映。

让Γ是一个阿贝尔群。我们表示Γ^的字符组Γ. 类别ķķΓ是D群代数上的 Yetter-Drinfeld 模块ķΓ由组成Γ分级Γ-模块,Γ-分级表示为在=⊕G∈Γ在G; 那是,H在G=在G对所有人G,H∈Γ. 如果G∈Γ和χ∈Γ^, 那么一维向量空间ķG, ķ与行动和合作G和χ, 在HH是D. 让在∈ķķΓ在ΓD和(在一世)一世∈我一个基础在由度数的同质元素组成G一世,一世∈我, 分别。然后有偏导数∂一世,一世∈我, 的吨(在)这样对于所有人X,是∈吨(在),一世,j∈我

∂一世(在j)=d一世j,∂一世(X是)=∂一世(X)(G一世⋅是)+X∂一世(是)
对于任意 Hopf 代数上的 Yetter-Drinfeld 模块的定义,我们参考例如 [R, 11.6]。

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Nichols Algebras

Nichols 代数是分级 Hopf 代数乙=⊕n≥0乙n在HH是Dcoradically 分级并在一级生成。它们完全由在:=乙1∈ HH是D并且习惯上表示乙=乙(在). 如果在∈ķΓķΓ是D就像在教派中一样。2.2,然后是偏导数∂一世诱导偏斜推导乙(在). 此外,一个元素在∈乙ķ(在),ķ≥1, 为零当且仅当∂一世(在)=0在乙(在)对所有人一世∈我. 一个前尼科尔斯代数在是分级 Hopf 代数HH是D在一阶生成,单组分同构在.

例子2.1让在尺寸为 1,带编织层C=εID。让ñ是最小的自然数,使得(ñ)ε=0. 然后乙(在)=ķ[吨]/⟨吨ñ⟩, 或者乙(在)=ķ[吨]如果这样ñ不存在。

编织向量空间在如果存在基础,则为对角线类型(X一世)一世∈我一世的在和q=(q一世j)一世,j∈大号j∈ķθ×θ这样q一世j≠0和C(X一世⊗Xj)=q一世jXj⊗X一世对所有人一世,j∈我=我θ. 给定一个编织向量空间在有基的对角线型(X一世),我们在吨(在), 或者乙(在),或任何中间 Hopf 代数,

X一世j=(广告⁡CX一世)Xj,X一世1一世2…一世米=(广告⁡CX一世1)X一世2…一世米,
为了一世,j,一世1,…,一世米∈我,米≥2. 编织向量空间在如果存在广义 Cartan 矩阵,则对角线类型是 Cartan 类型一个=(一个一世j)这样q一世jqj一世= q一世一世一个一世j对所有人一世≠j.

定理2.2如果在是 Cartan 类型,矩阵 a 不是有限的,那么暗淡⁡乙(在)=∞.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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