数学代写|表示论代写Representation theory代考|MATH7333

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表示论是数学的一个分支,它通过将抽象代数结构的元素表示为向量空间的线性变换来研究抽象代数结构,并研究这些抽象代数结构上的模块。[1][2]实质上,表示通过用矩阵及其代数运算(例如,矩阵加、矩阵乘)来描述其元素,使抽象代数对象更加具体。矩阵和线性运算符的理论已被充分理解,因此用熟悉的线性代数对象来表示更抽象的对象有助于收集属性,有时还能简化更抽象理论的计算。

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数学代写|表示论代写Representation theory代考|MATH7333

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Perturbative Quantization of Gauge Theories

We remain very brief in this subsection. The interested reader is invited to study the references [Res10, Mne17] for a thorough introduction to the perturbative quantization of gauge theories from the mathematical viewpoint, or the short introductory paper [Pol05] (which is devoted exclusively to Chern-Simons theory).
The quantity of interest in this paper is the Chern-Simons partition function $Z_{M}$. Its naive definition would be
$$
Z_{M}=\int_{F_{M}} e^{\frac{t S_{M}}{}}
$$
but attempts at defining an appropriate measure on $F_{M}$ have failed (see [GJ87] for a discussion of measures on field spaces in quantum field theory). In perturbative quantization, one tries to define $Z_{M}$ by extrapolating the behavior of a finitedimensional oscillatory integral $Z=\int_{F} e^{\frac{i}{h} S}$ in the $h \rightarrow 0$ limit. It is well known that if $S$ has non-degenerate critical points, then the integral concentrates in a neighborhood of them, and one can derive a series in powers of $h$ describing the asymptotic behavior. One can mimic the definition of this power series in the infinite-dimensional case if the critical points of $S_{M}$ are non-degenerate. However, the critical points of functionals invariant under a symmetry, such as the ChernSimons functional, are never non-degenerate, so one needs an additional method from physics, called gauge fixing. There are different variants of this method, the most commonly used being the Faddeev-Popov (FP) ghosts [FP67] and the BRST formalism. ${ }^{3}$ The idea is to embed the space of fields $F_{M}$ in the degree 0 part of a graded vector space $\mathcal{F}{M}$, and define a new functional $\mathcal{S}{M}: \mathcal{F}{M} \rightarrow \mathbb{R}$ such that $\mathcal{S}{M}$ has non-degenerate critical points, and $\left.S_{M}\right|{F{M}}=S_{M}$.

Both the FP ghosts and the BRST formalism are subsumed in the BV formalism named after Batalin and Vilkovisky, who introduced it in [BV77, BV81, BV83]. We will briefly discuss the BV formalism and its adaptation to the case with boundary, the BV-BFV formalism, in the next section.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|BV Formalism

In the BV formalism one embeds the space of states $F_{M}$ into an odd symplectic $\mathbb{Z}$ graded vector space $\left(F_{M}, \omega\right)$, where the odd symplectic form $\omega$ is required to have $\mathbb{Z}$-degree – 1. The $\mathbb{Z}$-degree is referred to as ghost number. One needs to find a BV action $\mathcal{S}{M}$ such that $\left.\mathcal{S}{M}\right|{F{M}}=S_{M}$, which satisfies the Classical Master Equation (CME) $(\mathcal{S}, \mathcal{S})=0$, where $(\cdot, \cdot)$ is the odd Poisson bracket associated with $\omega$. Notice that if $\mathcal{S}{M}$ has a Hamiltonian vector field $\mathcal{Q}{M}$, then $\mathcal{Q}_{M}^{2}=0$, from the CME. This leads to the following definition of BV theory [CMR 14 ]:

Definition 3.1 A $B V$ vector space is a quadruple $(\mathcal{F}, \omega, \mathcal{Q}, \mathcal{S})$ where $\mathcal{F}$ is a $\mathbb{Z}$ graded vector space, $\omega$ is a symplectic form of degree $-1$, $\mathcal{}$ field, and $\mathcal{S}$ is a function of degree 0 , such that $\mathcal{Q}^{2}=0$ and
$$
\iota_{\mathcal{Q}} \omega=\delta \mathcal{S}
$$
A $d$-dimensional (linear) $B V$ theory is an association of a $B V$ vector space $\left(\mathcal{F}{M}, \omega{M}, \mathcal{Q}{M}, \mathcal{S}{M}\right)$ to every $d$-dimensional manifold $M$.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Effective Action and Residual Fields

In certain cases, it is not possible to find directly a Lagrangian which satisfies the requirement that the action restricted to it has a unique critical point. A good example is the case of abelian BF theory. In $d$ dimensions, the BV space of fields is $\mathcal{F}{M}=\Omega^{\bullet}(M)[1] \oplus \Omega^{\bullet}(M)[d-2]$, and the BV action functional is $$ \mathcal{S}{M}[\mathrm{~A}, \mathrm{~B}]=\int_{M} \mathrm{~B} \wedge \mathrm{d} \mathrm{A} .
$$
The critical points are given by closed forms, and the gauge symmetries are given by shifting A, B by exact forms. Hence if the de Rham cohomology $H^{\bullet}(M)$ is non-

trivial, there are critical points which are inequivalent under gauge transformations, also known as zero modes.

The solution to this problem is to choose a $\mathrm{BV}$ space of residual fields $\mathcal{V}{M}$ and a splitting $F{M}=\mathcal{V}{M} \times \mathcal{Y}$, such that one can find a gauge-fixing Lagrangian $\mathcal{L}{M} \subset \mathcal{Y}$. Elements of $\mathcal{V}{M}$ are known as residual fields, zero modes, infrared fields, or slow fields, whereas the elements of $\mathcal{Y}$ are called fluctuations, fast fields, or ultraviolet fields. The partition function $\psi{M}$ gets replaced by an effective action $\psi_{M}(\mathbf{x})$, which is a function of the residual fields and formally defined via BV pushforward:
$$
\psi_{M}(\mathbf{x})=\int_{\xi \in \mathcal{L}{M} \subset \mathcal{Y}} e^{\frac{1}{\hbar} \mathcal{S}[\mathrm{x}, \xi]} $$ In the case of abelian BF theory one can choose as residual fields representatives of the cohomology: $\mathcal{V}{M}=H^{\bullet}(M)[1] \oplus H^{\bullet}(M)[d-2]$. One way to do this is to pick a Riemannian metric and use the harmonic representatives, a possible choice of gauge-fixing Lagrangian is then given by $\mathrm{d}^{*}$-exact forms. In the finite-dimensional case, the QME for the BV action implies that the effective action is $\Delta \mathcal{V}_{M}$-closed, i.e. closed with respect to the BV Laplacian on residual fields, and changes by a $\Delta$-exact term under a deformation of the gauge-fixing Lagrangian.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|MATH7333

表示论代考

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Perturbative Quantization of Gauge Theories

在本小节中,我们仍然非常简短。请有兴趣的读者研究参考文献 [Res10, Mne17],以从数学角度全面介绍规范理论的微扰量化,或简短的介绍性论文 [Pol05](专门用于 Chern-Simons 理论)。
本文感兴趣的数量是 Chern-Simons 配分函数从米. 它的天真定义是

从米=∫F米和吨小号米
但试图定义一个适当的措施F米失败了(参见 [GJ87] 中关于量子场论中场空间测量的讨论)。在微扰量化中,人们试图定义从米通过外推有限维振荡积分的行为从=∫F和一世H小号在里面H→0限制。众所周知,如果小号有非退化临界点,则积分集中在它们的邻域,可以推导出一系列的幂H描述渐近行为。如果临界点可以在无限维情况下模拟这个幂级数的定义小号米是非退化的。然而,在对称性下不变的泛函的临界点,例如 ChernSimons 泛函,永远不会是非退化的,因此需要一种额外的物理学方法,称为规范固定。这种方法有不同的变体,最常用的是 Faddeev-Popov (FP) ghosts [FP67] 和 BRST 形式。3这个想法是嵌入领域的空间F米在分级向量空间的 0 度部分F米,并定义一个新的泛函小号米:F米→R这样小号米具有非退化临界点,并且小号米|F米=小号米.

FP 幽灵和 BRST 形式主义都包含在以 Batalin 和 Vilkovisky 命名的 BV 形式主义中,他们在 [BV77, BV81, BV83] 中介绍了它。我们将在下一节简要讨论 BV 形式主义及其对有边界情况的适应,即 BV-BFV 形式主义。

数学代写|表示论代写Representation theory代考|BV Formalism

在 BV 形式主义中,嵌入了状态空间F米成奇辛从分级向量空间(F米,ω),其中奇辛形式ω必须有从-度 – 1。从-度被称为鬼数。需要找到一个 BV 动作小号米这样小号米|F米=小号米, 满足经典主方程 (CME)(小号,小号)=0, 在哪里(⋅,⋅)是与相关的奇数泊松括号ω. 请注意,如果小号米有一个哈密顿向量场问米, 然后问米2=0,来自芝商所。这导致 BV 理论 [CMR 14] 的以下定义:

定义 3.1 A乙在向量空间是四元组(F,ω,问,小号)在哪里F是一个从分级向量空间,ω是度数的辛形式−1, 场,和小号是 0 次的函数,这样问2=0和

我问ω=d小号
一个d维(线性)乙在理论是一个关联乙在向量空间(F米,ω米,问米,小号米)对每个d维流形米.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Effective Action and Residual Fields

在某些情况下,不可能直接找到满足限制于它的动作具有唯一临界点的要求的拉格朗日量。阿贝尔BF理论就是一个很好的例子。在d维度,字段的BV空间是F米=Ω∙(米)[1]⊕Ω∙(米)[d−2], BV 作用泛函为

小号米[ 一个, 乙]=∫米 乙∧d一个.
临界点由封闭形式给出,规范对称性通过将 A、B 移动精确形式给出。因此,如果 de Rham 上同调H∙(米)是非

微不足道的,在规范变换下存在不等价的临界点,也称为零模式。

这个问题的解决方法是选择一个乙在剩余场空间在米和分裂F米=在米×是, 这样就可以找到一个规范固定的拉格朗日大号米⊂是. 要点在米被称为剩余场、零模式、红外场或慢场,而是称为涨落、快场或紫外场。分区函数ψ米被有效的行动取代ψ米(X),它是残差场的函数,通过 BV 前推正式定义:

ψ米(X)=∫X∈大号米⊂是和1⁇小号[X,X]在阿贝尔 BF 理论的情况下,可以选择上同调的剩余场代表:在米=H∙(米)[1]⊕H∙(米)[d−2]. 一种方法是选择黎曼度量并使用谐波代表,然后给出规范固定拉格朗日的可能选择d∗- 确切的形式。在有限维情况下,BV 动作的 QME 意味着有效动作是Δ在米-封闭,即关于剩余场上的 BV 拉普拉斯算子封闭,并且变化Δ- 量规固定拉格朗日变形下的精确项。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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