数学代写|表示论代写Representation theory代考|MATH7333

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表示论是数学的一个分支,它通过将抽象代数结构的元素表示为向量空间的线性变换来研究抽象代数结构,并研究这些抽象代数结构上的模块。实质上,表示通过用矩阵及其代数运算来描述其元素,使抽象代数对象更加具体。矩阵和线性运算符的理论已被充分理解,因此用熟悉的线性代数对象来表示更抽象的对象有助于收集属性,有时还能简化更抽象理论的计算。

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  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|表示论代写Representation theory代考|MATH7333

数学代写|表示论代写Representation theory代考|A Base Space of the Disintegration of Induced Representations

We fix in the whole section an exponential solvable Lie group $G=\exp g$ with Lie algebra $\mathrm{g}$. Let $f$ be an element of $\mathrm{g}^{*}$ and $H=\exp \mathrm{h}$ a normal subgroup of $G$. Recall the monomial representation $\tau=\operatorname{ind}{H}^{G} \chi{f}$, which is realized by left translations in the Hilbert space $\mathscr{H}_{2}$ of continuous functions $\xi$ on $G$ that satisfy the covariance relation (3.3.1) for all $g$ in $G$ and $h$ in $H$ and are square-integrable on $G / H$ for the $G$-invariant measure. A result on the disintegration of $\tau$ was obtained earlier (cf. Theorem 1.4.2). We first recall the precise disintegration formula:

Theorem 3.3.1 Let $G=\exp g$ be an exponential solvable group and $H=\exp$ h $a$ normal subgroup of $G$. Then
$$
\tau \simeq \int_{f+\mathbf{b}^{\perp} / H}^{\oplus} \pi_{l} d \mu(I)
$$
where $\mu$ is the image under the Kirillov-Bernat map of a finite positive measure on $\Gamma_{f} \subset \mathrm{g}^{\star}$ equivalent to the Lebesgue measure. On the other hand, the multiplicities involved in this decomposition are identically 1 or $+\infty$, depending on whether
$$
\operatorname{dim}(H \cdot l)=\operatorname{dim}\left(G \cdot l \cap \Gamma_{f}\right)
$$
or not, for l generic in $\Gamma_{f}$. Equivalently, we might have
$$
2 \operatorname{dim}(H \cdot l)=\operatorname{dim}(G \cdot l)
$$
or not. In either case the multiplicity of $\pi_{l}$ in $\tau$ is the number of $H$-orbits in $G \cdot l \cap \Gamma_{f} \cdot$.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Construction of the Intertwining Operator

Let $\mathfrak{s}=\left(a_{j}\right){j=0}^{n}$ be a good sequence of subspaces of $\mathfrak{g}$ adapted to $h$, and extract a coexponential basis $B=\left{X{1}, \ldots, X_{r}\right}$ to $\mathfrak{h}$ in $\mathfrak{g}$. Consider also the disintegration space $V$ endowed with the Lebesgue measure $d \lambda$ as in Sect.3.3.1 and formula (3.3.5). The basis $B$ defines an invariant measure on $G / H$, which allows to fix the norm
$$
|\xi|_{L^{2}(G / H, f)}=\left(\int_{G / H}|\xi(g)|^{2} d_{G, H}(g)\right)^{1 / 2}
$$
on $\mathscr{H}{r}=L^{2}(G / H, f)$ of $\tau$. We now build a Zariski open set $V{0}$ of $V$ and for $\phi \in V_{0}$ the Vergne polarization $\mathfrak{b}(\phi)$ at $\phi$ relatively to the good sequence $\mathfrak{s}$ as in Theorem 1.2.4. Since this good sequence is adapted to $\mathfrak{h}$, we must have $\mathfrak{h} \subset \mathfrak{b}(\phi)$ for all $\phi \in V_{0}$. We next construct, for $\phi \in V_{0}$, a coexponential basis $X(\phi)$ to $b(\phi)$ in $\mathfrak{g}$ and a coexponential basis $Y(\phi)$ to $\mathfrak{h}$. All these bases vary continuously on $V_{0}$. For $\phi \in V^{\prime}$ and $j=1, \ldots, n$, we set
$$
J_{j}(\phi)=\left{k \in{1, \ldots, j}: \mathfrak{a}{j}\left(\phi{j}\right)+\mathfrak{a}{k-1} \varsubsetneqq \mathfrak{a}{j}\left(\phi_{j}\right)+\mathfrak{a}{k}\right} . $$ The set of indices $J{j}(\phi)$ is typically not constant for $\phi \in V^{\prime}$, but its cardinality is constant and equal to $d_{j}$ for all $j=1, \ldots, n$. Note then
$$
J_{j}(\phi)=\left{i_{1}(\phi)<\cdots<i_{d_{j}}(\phi)\right},
$$
We endow the set $\left{J_{j}(\phi), \phi \in V^{\prime}\right}$ with the lexicographic order defined by
$$
\left{i_{1}(\phi)<\cdots<i_{d_{j}}(\phi)<i_{1}\left(\phi^{\prime}\right)<\cdots<i_{d_{j}}\left(\phi^{\prime}\right)\right},
$$
if there exists $\sigma \in\left{1, \ldots, d_{j}\right}$ such that $i_{1}(\phi)=i_{1}\left(\phi^{\prime}\right), \ldots, i_{\sigma-1}\left(\phi^{\prime}\right), i_{\sigma}(\phi)<$ $i_{\sigma}\left(\phi^{\prime}\right)$. Using this order, let
$$
J_{j}=\min {\phi \in V^{\prime}} J{j}(\phi)=\left{i_{1}<\cdots<i_{d_{j}}\right}
$$

数学代写|表示论代写Representation theory代考|The Inverse Operator

We now prove that formulas (3.3.13) and (3.3.14), established in the proof of the theorem on $C_{c}^{\infty}(G / H, f)$, actually hold on $L^{2}(G / H, f)$. We will resume the cases studied in the previous theorem.
In the first case, it is clear that $L^{2}(G / H, f)=L^{2}\left(G_{0} / H, f_{0}\right)$ and that
$$
\int_{V} L^{2}(G / B(\phi), \phi) d \lambda(\phi)=\int_{V_{0}} L^{2}\left(\mathbb{R}, L^{2}\left(G_{0} / B\left(\phi_{0}\right), \phi_{0}\right)\right) d \lambda^{0}\left(\phi_{0}\right)
$$
Hence $U=\tilde{U}{0} \circ W$, where $W: L^{2}(G / H, f) \rightarrow L^{2}\left(\mathbb{R}, L^{2}\left(G{0} / H, f\right)\right)$ is the operator field defined by
$$
\begin{aligned}
&W(\xi)(t)\left(g_{0}\right)=\xi\left(\exp (t X) \cdot g_{0}\right)=\xi_{t}\left(g_{0}\right), g_{0} \in G_{0} \
&\text { and } \tilde{U}{0}(\xi)(t)\left(g{0}\right)=U_{0}\left(\xi_{t}\right)\left(g_{0}\right) \text {. }
\end{aligned}
$$
We move to the second case, so let $\phi \in V_{0}$ and $\phi_{0}=\phi_{\mid g_{0}}$. Then $\phi=\phi_{s}=$ $\phi_{0}+s X^{\star}$ for some $s \in \mathbb{R}$. For $\eta \in C_{c}^{\infty}\left(G / B\left(\phi_{0}\right)\right.$, $\left.\phi_{0}\right)$, let $\eta^{s}$ be the function defined on $G$ by
$$
\eta^{s}(g)=\int_{\mathbb{R}} \eta\left(g \exp \left(t B_{n}(\phi)\right)\right) e^{-i t s} \Delta_{B(\phi), G}^{-1 / 2}\left(\exp \left(t B_{n}(\phi)\right)\right) e^{-i t \phi_{0}}\left(Z_{0}(\phi)\right) d t, g \in G
$$

数学代写|表示论代写Representation theory代考|MATH7333

表示论代考

数学代写|表示论代写Representation theory代考|A Base Space of the Disintegration of Induced Representations

我们在整个部分中固定了一个指数可解的李群G=经验⁡G与李代数G. 让F成为其中的一个元素G∗和H=经验⁡H的正规子群G. 回想一下单项式表示τ=工业⁡HGχF,这是通过希尔伯特空间中的左平移来实现的H2连续函数X上G满足所有的协方差关系(3.3.1)G在G和H在H并且是平方可积的G/H为了G- 不变的措施。解体的结果τ较早获得(参见定理 1.4.2)。我们首先回忆一下精确的分解公式:

定理 3.3.1 令G=经验⁡G是一个指数可解群,并且H=经验H一个的正常子群G. 然后

τ≃∫F+b⊥/H⊕圆周率ldμ(我)
在哪里μ是在 Kirillov-Bernat 映射下的有限正测度图像ΓF⊂G⋆相当于勒贝格测度。另一方面,这个分解所涉及的多重性是相同的 1 或+∞, 取决于是否

暗淡⁡(H⋅l)=暗淡⁡(G⋅l∩ΓF)
与否,对于 l 通用 inΓF. 等效地,我们可能有

2暗淡⁡(H⋅l)=暗淡⁡(G⋅l)
或不。在任何一种情况下,多重性圆周率l在τ是数量H- 轨道G⋅l∩ΓF⋅.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Construction of the Intertwining Operator

让s=(一个j)j=0n是一个好的子空间序列G适应H,并提取一个共指数基B=\left{X{1}, \ldots, X_{r}\right}B=\left{X{1}, \ldots, X_{r}\right}至H在G. 还要考虑分解空间在具有勒贝格测度dλ如第 3.3.1 节和公式(3.3.5)。基础乙定义了一个不变的度量G/H,这允许修复规范

|X|大号2(G/H,F)=(∫G/H|X(G)|2dG,H(G))1/2
上Hr=大号2(G/H,F)的τ. 我们现在建立一个 Zariski 开集在0的在并且对于φ∈在0Vergne极化b(φ)在φ相对于好序列s如定理 1.2.4。由于这个良好的序列适用于H, 我们必须有H⊂b(φ)对所有人φ∈在0. 我们接下来构造,对于φ∈在0, 一个共指数基X(φ)至b(φ)在G和一个共指数基础是(φ)至H. 所有这些基础不断变化在0. 为了φ∈在′和j=1,…,n, 我们设置

J_{j}(\phi)=\left{k \in{1, \ldots, j}: \mathfrak{a}{j}\left(\phi{j}\right)+\mathfrak{a}{ k-1} \varsubsetneqq \mathfrak{a}{j}\left(\phi_{j}\right)+\mathfrak{a}{k}\right} 。J_{j}(\phi)=\left{k \in{1, \ldots, j}: \mathfrak{a}{j}\left(\phi{j}\right)+\mathfrak{a}{ k-1} \varsubsetneqq \mathfrak{a}{j}\left(\phi_{j}\right)+\mathfrak{a}{k}\right} 。索引集Ĵj(φ)通常不是恒定的φ∈在′, 但它的基数是恒定的并且等于dj对所有人j=1,…,n. 然后注意

J_{j}(\phi)=\left{i_{1}(\phi)<\cdots<i_{d_{j}}(\phi)\right},J_{j}(\phi)=\left{i_{1}(\phi)<\cdots<i_{d_{j}}(\phi)\right},
我们赋予集合\left{J_{j}(\phi), \phi \in V^{\prime}\right}\left{J_{j}(\phi), \phi \in V^{\prime}\right}字典顺序定义为

\left{i_{1}(\phi)<\cdots<i_{d_{j}}(\phi)<i_{1}\left(\phi^{\prime}\right)<\cdots<i_{ d_{j}}\left(\phi^{\prime}\right)\right},\left{i_{1}(\phi)<\cdots<i_{d_{j}}(\phi)<i_{1}\left(\phi^{\prime}\right)<\cdots<i_{ d_{j}}\left(\phi^{\prime}\right)\right},
如果存在\sigma \in\left{1, \ldots, d_{j}\right}\sigma \in\left{1, \ldots, d_{j}\right}这样一世1(φ)=一世1(φ′),…,一世σ−1(φ′),一世σ(φ)< 一世σ(φ′). 使用这个顺序,让

J_{j}=\min {\phi \in V^{\prime}} J{j}(\phi)=\left{i_{1}<\cdots<i_{d_{j}}\right}J_{j}=\min {\phi \in V^{\prime}} J{j}(\phi)=\left{i_{1}<\cdots<i_{d_{j}}\right}

数学代写|表示论代写Representation theory代考|The Inverse Operator

我们现在证明公式 (3.3.13) 和 (3.3.14) 在定理的证明中成立CC∞(G/H,F),其实坚持大号2(G/H,F). 我们将恢复前面定理中研究的案例。
在第一种情况下,很明显大号2(G/H,F)=大号2(G0/H,F0)然后

∫在大号2(G/乙(φ),φ)dλ(φ)=∫在0大号2(R,大号2(G0/乙(φ0),φ0))dλ0(φ0)
因此在=在~0∘在, 在哪里在:大号2(G/H,F)→大号2(R,大号2(G0/H,F))是由定义的运算符字段

在(X)(吨)(G0)=X(经验⁡(吨X)⋅G0)=X吨(G0),G0∈G0  和 在~0(X)(吨)(G0)=在0(X吨)(G0). 
我们转到第二种情况,所以让φ∈在0和φ0=φ∣G0. 然后φ=φs= φ0+sX⋆对于一些s∈R. 为了这∈CC∞(G/乙(φ0), φ0), 让这s是定义的函数G经过

这s(G)=∫R这(G经验⁡(吨乙n(φ)))和−一世吨sΔ乙(φ),G−1/2(经验⁡(吨乙n(φ)))和−一世吨φ0(从0(φ))d吨,G∈G

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写问卷设计与分析代写
PYTHON代写回归分析与线性模型代写
MATLAB代写方差分析与试验设计代写
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SPSS代写计量经济学代写
EVIEWS代写时间序列分析代写
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