数学代写|表示论代写Representation theory代考|MTH4107

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表示论是数学的一个分支,它通过将抽象代数结构的元素表示为向量空间的线性变换来研究抽象代数结构,并研究这些抽象代数结构上的模块。实质上,表示通过用矩阵及其代数运算来描述其元素,使抽象代数对象更加具体。矩阵和线性运算符的理论已被充分理解,因此用熟悉的线性代数对象来表示更抽象的对象有助于收集属性,有时还能简化更抽象理论的计算。

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  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|表示论代写Representation theory代考|MTH4107

数学代写|表示论代写Representation theory代考|The Key Point Is the Convergence

We keep all previous notation. In this last section we shall see that the key point is the convergence of the integral
$$
\left(I_{h_{2} h_{1}}^{G} \varphi\right)(g):=\left(I_{h_{2} h_{1}} \varphi\right)(g)=\oint_{H_{2} /\left(H_{1} \cap H_{2}\right)} \varphi(g h) \chi_{f}(h) \Delta_{H_{2}, G}^{-1 / 2}(h) d v(h)(g \in G)
$$
At least formally, it is clear that the function $I_{\mathfrak{h}{2} \mathfrak{h}{1}} \varphi$ satisfies the necessary covariance condition for belonging in the space $\mathscr{H}{\pi{2}}$, and also that $I_{\mathfrak{h}{2} \mathfrak{h}{1}}$ commutes with left translations. We can therefore assert that the convergence of the integral is one major issue to deal with. We call elements of $I(f, \mathfrak{g})$ Pukanszky polarizations.
In this section we look at all pairs $\left(\mathfrak{h}{1}, \mathfrak{h}{2}\right)$ of Pukanszky polarizations at $f$ which meet the following convergence property:
$(C P):$ The integral
$$
\oint_{H_{2} /\left(H_{1} \cap H_{2}\right)}|\varphi(g h)| \Delta_{H_{2}, G}^{-\frac{1}{2}}(h) d v(h), g \in G
$$
converges on a $G$-invariant and $\mathscr{U}(\mathrm{g})$-invariant dense subspace $\mathscr{H}$ of $\mathscr{H}{\pi{1}}^{\infty}$.
Proposition 2.8.1 Suppose that the pair of Pukanszky polarizations $\left(\mathfrak{h}{1}, \mathbf{h}{2}\right)$ satisfies property $(C P)$. Then for any function $\varphi \in \mathscr{K}\left(f, \mathfrak{h}{1}, G\right)$ we have that $$ \oint{H_{2} /\left(H_{1} \cap H_{2}\right)}|\varphi(g h)| \Delta_{H_{2}, G}^{-\frac{1}{2}}(h) d v(h)<\infty, g \in G
$$
and the function $g \mapsto\left(I_{b_{2} h_{1}} \varphi\right)(g)$ is continuous.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Intertwining Operators of Induced Representations

Let $G$ be a connected and simply connected nilpotent Lie group with Lie algebra g. Consider, as in (1.6.1), the monomial representation $\tau=$ ind $_{H}^{G} \chi$ induced by the unitary character $\chi$ of an analytic subgroup $H$ of $G$. Recall that $h$ is the Lie subalgebra corresponding to $H$, and $\chi$ is written in the form $\chi(\exp X)=$ $e^{i\langle f, X\rangle}\left(X \in\right.$ h) with $f \in \mathfrak{g}^{\star}$. Let $\Gamma_{f}=f+\mathfrak{h}^{\perp}$ be as in Eq. (1.4.8). In parallel to decomposition formula (1.6.2), the disintegration of $\tau$ into irreducibles reads:
$$
\tau \simeq \int_{\Gamma_{f} / H}^{\oplus} \pi_{l} d l
$$

where $d l$ is some natural measure on the space $\Gamma_{f} / H$ of $H$-orbits (cf. Theorem 1.4.2).

We construct in this section an intertwining operator of decomposition (3.2.1) for an arbitrary subgroup $H$. The idea is to make formula (3.2.1) explicit through the construction of certain affine subspaces
$$
\mathscr{V}^{R, \mathfrak{B}}=\left{\sum_{i=1}^{r} R_{i}(T) f_{i} ; T \in \mathbb{R}^{k}\right}
$$
of $\Gamma_{f}$, and a measure $d \lambda=d \lambda^{R, \mathfrak{B}}$ on $\mathscr{V} R, \mathfrak{B}$, so that
$$
\tau \simeq \int_{\mathscr{V} R, \mathfrak{g}}^{\oplus} \pi_{\phi} d \lambda^{R, \mathfrak{B}}(\phi) .
$$
Here $R$ denotes a family $\left{R_{1}, \ldots, R_{r}\right}$ of affine functions defined on $\mathbb{R}^{k}$, for some non-negative integer $k \in \mathbb{N}$, and $\mathfrak{B}^{\star}=\left{f_{r}, \ldots, f_{1}\right}$ denotes the dual of a Malcev basis $\mathfrak{B}$ relative to $\mathfrak{h}$. Such a basis defines an invariant measure on $G / H$ and so the norm on the space $\mathscr{H}{\mathrm{r}}$ of $\tau$. We then determine a Zariski open set $\mathscr{V}{0}$ of $\mathscr{V}^{R, \mathfrak{B}}$, a polarization $\mathfrak{b}(\phi)$ in $\phi$ for each $\phi \in \mathscr{V} 0$, a Malcev basis $\mathscr{X}(\phi)$ of $\mathfrak{b}(\phi)$, a Malcev basis $\mathscr{Y}(\phi)$ of $\mathfrak{b}(\phi)$ relative to $\mathfrak{h} \cap \mathfrak{b}(\phi)$ and a Malcev basis $\mathscr{U}$ of $\mathfrak{h}$ relative to $\mathfrak{h} \cap \mathfrak{b}(\phi)$. All these bases vary continuously in $\phi \in \mathcal{V}{0}$, which allows to fix the invariant measure $d{G, B(\phi)}$ on $G / B(\phi)$, where $B(\phi)=\exp (\mathfrak{b}(\phi)$ ) (and hence the norm on the space $\mathscr{H}{\phi}$ of the irreducible representation $\pi{\phi}=$ ind $\left.{B(\phi)}^{G} \chi{\phi}\right), d_{B(\phi), B(\phi) \cap H}$ on $B(\phi) / B(\phi) \cap H$, and $d_{H, H \cap B(\phi)}$ on $H / B(\phi) \cap H$. This permits to define the disintegration space
$$
\mathscr{H}=\int_{\mathscr{y},, \mathfrak{B}}^{\oplus} \mathscr{H}{\phi} d \lambda(\phi) $$ of $\tau$. We now associate, to any sufficiently regular function $\xi$ of $\mathscr{H}{\tau}$ and any $\phi \in \mathscr{V}{0}$, the $C^{\infty}$-vector of $\mathscr{H}{\phi}$ :
$$
T_{B(\phi), H} \xi(g)=\int_{B(\phi) / B(\phi) \cap H} \xi(g b) \chi_{\phi}(b) d_{B(\phi), B(\phi) \cap H(b), g \in G}
$$
We will show that
$$
\int_{\mathscr{Y}{0}}\left|T{B(\phi), H} \xi\right|_{\mathscr{H}{\phi}}^{2} d \phi=|\xi|{\mathscr{H}_{\mathrm{T}}}^{2}
$$
therefore obtaining an isometric intertwining operator of (3.2.2). A (smooth) disintegration of $L^{2}(G)$ is also generated.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Notation and Backgrounds

Let $G$ be a connected and simply connected nilpotent Lie group with Lie algebra g. Let exp denote, as earlier, the exponential map, so that $G=\exp g$. Let $V, W$ be real vector spaces of finite dimension with $W \subset V$. We denote by $V^{}$ the dual vector space of $V$ and by $W^{\perp}$ the orthogonal to $W$ in $V^{}$. If $u_{1}, \ldots, u_{p},(p \in \mathbb{N})$ indicate linearly independent vectors in $V$, we denote by $\mathbb{R}-\operatorname{span}\left(u_{1}, \ldots, u_{p}\right)$ the vector subspace of $V$ they span, and we say the basis $\left{u_{1}, \ldots, u_{p}\right}$ generates this space. Given $l \in \mathrm{g}^{*}$ and $X \in \mathfrak{g}$, we denote by $\langle l, X\rangle$ the image of $X$ under $l$. Recall that the kernel of the bilinear form $B_{l}$, defined in Sect. 1.2.4 by $B_{l}(X, Y)=$ $\langle l,[X, Y]\rangle$, is denoted by $\mathrm{g}(l)=\left{X \in \mathfrak{g} ; B_{l}(X, Y)=0\right.$ for all $\left.Y \in \mathfrak{g}\right}$. The largest ideal contained in $\mathrm{g}(I)$ will be denoted by a $(l)$. Clearly
$$
\mathrm{a}(l)=\bigcap_{\phi \in G-l} \mathrm{~g}(\phi)
$$
Let $\mathfrak{h} \in S(l, \mathfrak{g})$ and let $\chi_{l}$ be the unitary character of the analytic subgroup $H=$ exp $h$ associated to $l$ by
$$
\chi_{l}(\exp X)=e^{-i\langle l, X\rangle}
$$
for $X \in 6$
Let $V$ be a real vector space of finite dimension and $\rho: G \longrightarrow \operatorname{End}(V)$ a unipotent action of $G$ on $V$. We designate by
$$
(0)=V_{n} \subset V_{n-1} \subset \ldots \subset V_{1} \subset V_{0}=V
$$
a Jordan-Hölder sequence for $G$ and call $\mathscr{L}=\left{v_{1}, \ldots, v_{n}\right}$ an associated JordanHölder basis $\left(v_{j} \in V_{j-1} \backslash V_{j}\right.$ ). If $v \in V$, we write $\rho(x) v=x \cdot v$ for all $x \in G$ and
$$
X \cdot v=\left.\frac{d}{d t}{\rho(\exp (t X)) \cdot v}\right|{t=0},(X \in \mathfrak{g}) $$ The set of indices $e^{\mathscr{L}}(v)=\left{i{1}<\ldots<i_{d}\right}$ of an element $v$ in $V$ relative to $\mathscr{L}$ is the following subset of ${1, \ldots, n}$ :
$$
i \in e^{\mathscr{L}}(v) \Leftrightarrow \exists X \in \mathfrak{g}: X \cdot v \in V_{i-1} \backslash V_{i}
$$
The cardinality $d$ of $e^{\mathscr{L}}(v)$ is the dimension of the $G$-orbit $\Omega$ of $v$ and does not vary with $v$ in $\Omega$.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|MTH4107

表示论代考

数学代写|表示论代写Representation theory代考|The Key Point Is the Convergence

我们保留所有以前的符号。在最后一节中,我们将看到关键点是积分的收敛性

(我H2H1G披)(G):=(我H2H1披)(G)=∮H2/(H1∩H2)披(GH)χF(H)ΔH2,G−1/2(H)d在(H)(G∈G)
至少在形式上,很明显,函数我H2H1披满足空间归属的必要协方差条件H圆周率2,还有那个我H2H1通勤与左翻译。因此,我们可以断言积分的收敛是需要处理的一个主要问题。我们称元素为我(F,G)普坎斯基极化。
在本节中,我们查看所有对(H1,H2)Pukanszky 极化在F满足以下收敛性:
(C磷):积分

∮H2/(H1∩H2)|披(GH)|ΔH2,G−12(H)d在(H),G∈G
收敛于一个G- 不变的和在(G)- 不变稠密子空间H的H圆周率1∞.
命题 2.8.1 假设 Pukanszky 极化对(H1,H2)满足属性(C磷). 然后对于任何功能披∈ķ(F,H1,G)我们有

∮H2/(H1∩H2)|披(GH)|ΔH2,G−12(H)d在(H)<∞,G∈G
和功能G↦(我b2H1披)(G)是连续的。

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Intertwining Operators of Induced Representations

让G是一个具有李代数 g 的连通且简单连通的幂零李群。如 (1.6.1) 所示,考虑单项式表示τ=工业HGχ由单一性引起χ分析子群的H的G. 回顾H是对应的李子代数H, 和χ写在表格中χ(经验⁡X)= 和一世⟨F,X⟩(X∈h) 与F∈G⋆. 让ΓF=F+H⊥就像在方程式中一样。(1.4.8)。与分解公式(1.6.2)平行,分解τ成不可约的内容如下:

τ≃∫ΓF/H⊕圆周率ldl

在哪里dl是空间上的一些自然尺度ΓF/H的H-轨道(参见定理 1.4.2)。

我们在本节中为任意子群构造一个交织的分解算子(3.2.1)H. 这个想法是通过构造某些仿射子空间使公式(3.2.1)明确

\mathscr{V}^{R, \mathfrak{B}}=\left{\sum_{i=1}^{r} R_{i}(T) f_{i} ; T \in \mathbb{R}^{k}\right}\mathscr{V}^{R, \mathfrak{B}}=\left{\sum_{i=1}^{r} R_{i}(T) f_{i} ; T \in \mathbb{R}^{k}\right}
的ΓF, 和一个度量dλ=dλR,乙上在R,乙, 以便

τ≃∫在R,G⊕圆周率φdλR,乙(φ).
这里R表示一个家庭\left{R_{1}, \ldots, R_{r}\right}\left{R_{1}, \ldots, R_{r}\right}定义的仿射函数Rķ, 对于一些非负整数ķ∈ñ, 和\mathfrak{B}^{\star}=\left{f_{r}, \ldots, f_{1}\right}\mathfrak{B}^{\star}=\left{f_{r}, \ldots, f_{1}\right}表示马尔切夫基的对偶乙关系到H. 这样的基础定义了一个不变的度量G/H所以空间上的规范Hr的τ. 然后我们确定一个 Zariski 开集在0的在R,乙, 极化b(φ)在φ对于每个φ∈在0,马尔切夫基X(φ)的b(φ),马尔切夫基是(φ)的b(φ)关系到H∩b(φ)和马尔切夫基础在的H关系到H∩b(φ). 所有这些碱基不断变化φ∈在0,它允许固定不变的度量dG,乙(φ)上G/乙(φ), 在哪里乙(φ)=经验⁡(b(φ)) (因此空间上的规范Hφ不可约表示的圆周率φ=工业乙(φ)Gχφ),d乙(φ),乙(φ)∩H上乙(φ)/乙(φ)∩H, 和dH,H∩乙(φ)上H/乙(φ)∩H. 这允许定义分解空间

H=∫是,,乙⊕Hφdλ(φ)的τ. 我们现在将任何足够规则的函数联系起来X的Hτ和任何φ∈在0, 这C∞-向量Hφ :

吨乙(φ),HX(G)=∫乙(φ)/乙(φ)∩HX(Gb)χφ(b)d乙(φ),乙(φ)∩H(b),G∈G
我们将证明

∫是0|吨乙(φ),HX|Hφ2dφ=|X|H吨2
因此获得 (3.2.2) 的等距交织算子。A(平滑)分解大号2(G)也会生成。

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Notation and Backgrounds

让G是一个具有李代数 g 的连通且简单连通的幂零李群。如前所述,令 exp 表示指数映射,因此G=经验⁡G. 让在,在是有限维的实向量空间在⊂在. 我们表示在的对偶向量空间在并通过在⊥正交于在在在. 如果在1,…,在p,(p∈ñ)表示线性独立向量在,我们表示为R−跨度⁡(在1,…,在p)的向量子空间在它们跨越,我们说基础\left{u_{1}, \ldots, u_{p}\right}\left{u_{1}, \ldots, u_{p}\right}产生这个空间。给定l∈G∗和X∈G,我们表示为⟨l,X⟩的形象X在下面l. 回想一下双线性形式的核乙l,定义在第。1.2.4 由乙l(X,是)= ⟨l,[X,是]⟩, 表示为\mathrm{g}(l)=\left{X \in \mathfrak{g} ; B_{l}(X, Y)=0\right.$ 对于所有 $\left.Y \in \mathfrak{g}\right}\mathrm{g}(l)=\left{X \in \mathfrak{g} ; B_{l}(X, Y)=0\right.$ 对于所有 $\left.Y \in \mathfrak{g}\right}. 最大的理想包含在G(我)将被表示为(l). 清楚地

一个(l)=⋂φ∈G−l G(φ)
让H∈小号(l,G)然后让χl是解析子群的单一特征H=经验H关联到l经过

χl(经验⁡X)=和−一世⟨l,X⟩
为了X∈6
让在是有限维的实向量空间和ρ:G⟶结尾⁡(在)的单能动作G上在. 我们指定

(0)=在n⊂在n−1⊂…⊂在1⊂在0=在
Jordan-Hölder 序列为G并打电话\mathscr{L}=\left{v_{1}, \ldots, v_{n}\right}\mathscr{L}=\left{v_{1}, \ldots, v_{n}\right}相关的 JordanHölder 基(在j∈在j−1∖在j)。如果在∈在, 我们写ρ(X)在=X⋅在对所有人X∈G和

X⋅在=dd吨ρ(经验⁡(吨X))⋅在|吨=0,(X∈G)索引集e^{\mathscr{L}}(v)=\left{i{1}<\ldots<i_{d}\right}e^{\mathscr{L}}(v)=\left{i{1}<\ldots<i_{d}\right}一个元素的在在在关系到大号是以下子集1,…,n :

一世∈和大号(在)⇔∃X∈G:X⋅在∈在一世−1∖在一世
基数d的和大号(在)是维度G-轨道Ω的在并且不随在在Ω.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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