数学代写|计算复杂度理论代写Computational complexity theory代考|COMP4500

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计算复杂度理论的重点是根据资源使用情况对计算问题进行分类,并将这些类别相互联系起来。计算问题是一项由计算机解决的任务。一个计算问题是可以通过机械地应用数学步骤来解决的,比如一个算法。

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数学代写|计算复杂度理论代写Computational complexity theory代考|COMP4500

数学代写|计算复杂度理论代写Computational complexity theory代考|Alternating Turing Machines

The polynomial-time hierarchy was formally defined by oracle TMs. As the oracles play a mysterious role in the computation of an oracle TM, it is relatively more difficult to analyze the computation of such machines. The characterization of Theorem $3.8$ provides a different view, and it has been found useful for many applications. In this section, we formalize this characterization as a computational model, called the alternating Turing machine (abbreviated as ATM), that can be used to define the complexity classes in the polynomial-time hierarchy without using the notion of oracles.

An ATM $M$ is an ordinary NTM with its states partitioned into two subsets, called the universal states and the existential states. An ATM operates exactly the same as an NTM, but the notion of its acceptance of an input is defined differently. Thus, the computation of an ATM $M$ is a computation tree of configurations with each pair $(\alpha, \beta)$ of parent and child configurations satisfying $\alpha \vdash_{M} \beta$. We say a configuration is a universal configuration if it is in a universal state, and it is an existential configuration if it is in an existential state.

To define the notion of an ATM accepting an input, we assign, inductively, the label ACCEPT to some of the nodes in this computation tree as follows: A leaf is labeled ACCEPT if and only if it is in the accepting state. An internal node in the universal state is labeled with ACCEPT if and only if all of its children are labeled with ACCEPT. An internal node in the existential state is labeled with ACCEPT if and only if at least one of its children is labeled with ACCEPT. We say an ATM M accepts an input $x$ if the root of the computation tree is labeled with ACCEPT using the above labeling system. Thus an NTM is just an ATM in which all states are classified as existential states.

When an NTM $M$ accepts an input $x$, an accepting computation path is a witness to this fact. Also, we define time $_{M}(x)$ to be the length of a shortest accepting path. For an ATM $M$, to demonstrate that it accepts an input $x$, we need to display the accepting computation subtree $T_{a c c}$ of the computation tree $T$ of $M(x)$ that has the following properties:
(i) The root of $T$ is in $T_{a c c}$.
(ii) If $u$ is an internal existential node in $T_{a c c}$, then exactly one child of $u$ in $T$ is in $T_{a c c}$.

数学代写|计算复杂度理论代写Computational complexity theory代考|PSPACE-Complete Problems

Our first PSPACE-complete problem is the space-bounded halting problem (SBHP).
SPACE Bounded Halting Problem (SBHP): Given a DTM $M$, an input $x$, and an integer $s$, written in the unary form $0^{s}$, determine whether $M$ accepts $x$ within space bound $s$.
Theorem 3.23 SBHP is $\leq_{m}^{P}$-complete for PSPACE.
Proof. The proof is similar to that of Theorem 2.11.
The existence of a PSPACE-complete set implies that if the polynomial-time hierarchy is properly infinite, then PSPACE properly contains $P H$.

Theorem 3.24 If $P H=P S P A C E$, then the polynomial-time hierarchy collapses to $\Sigma_{k}^{P}$ for some $k>0$.

Proof. If $P H=P S P A C E$, then SBHP $\in P H=\bigcup_{k \geq 0} \Sigma_{k}^{P}$ and, hence, SBHP $\in \Sigma_{k}^{P}$ for some $k \geq 0$. This implies that PSPACE $\subseteq \Sigma_{k}^{P}$, because $\Sigma_{k}^{P}$ is closed under the $\leq_{m}^{P}$-reducibility.

The first natural PSPACE-complete problem is a generalization of $S A T_{k}$. The inputs to this problem are Boolean formulas with quantifiers $(\exists x)$ and $(\forall x)$. An occurrence of a variable $v$ in a Boolean formula $F$ is a bounded variable if there is a quantifier $(\exists v)$ or $(\forall v)$ in $F$ such that this occurrence of $v$ is in the scope of the quantifier. A Boolean formula $F$ is called a quantified Boolean formula if every occurrence of every variable in $F$ is a bounded variable. For instance, $F=(\forall x)[(\forall y)[(\exists z)[x \bar{y} z+\bar{x} y \bar{z}] \rightarrow(\exists z)[(x \bar{z}+\bar{x} z)(y \bar{z}+\bar{y} z)]]]$ is a quantified Boolean formula. In the above, we used brackets […] to denote the scope of a quantifier and $\rightarrow$ to denote the Boolean operation $(a \rightarrow b)=(\bar{a}+b)$. Each quantified Boolean formula has a normal form in which all quantifiers occur before any occurrence of a Boolean variable, and the scope of each quantifier is the rest of the formula to its right. For instance, the normal form (with renaming) of the above formula $F$ is $(\forall x)(\forall y)(\forall z)(\exists w)[(x \bar{y} z+\bar{x} y \bar{z}) \rightarrow((x \bar{w}+\bar{x} w)(y \bar{w}+\bar{y} w))]$
QUANTIFIED BOOLEAN FORMULA (QBF): Given a quantified Boolean formula $F$, determine whether $F$ is true.

数学代写|计算复杂度理论代写Computational complexity theory代考|EXP-Complete Problems

All complete problems studied so far are candidates for intractable problems, but their intractability still depends on the separation of the classes $N P, P S P A C E$, and $P H$ from the class $P$. Are there natural problems that are provably intractable in the sense that they can be proved not belonging to $P$ ? In this section, we present a few problems that are complete for $E X P$ and, hence, not in $P$.

Our first $E X P$-complete problem is the bounded halting problem on deterministic machines with the time bound encoded in binary form.
EXPONENTIAL-Time BoUnDEd HALTING PROBLEM (EXP-BHP): Given a DTM $M$, a string $x$, and an integer $n>0$, written in the binary form, determine whether $M(x)$ halts in $n$ moves.
Proposition 3.30 EXP-BHP is EXP-complete.
Proof. If $L$ is accepted by a DTM $M$ in time $2^{c n}$, then the function $f(x)=$ $\left\langle M, x, 2^{c|x|}\right\rangle$ is a polynomial-time reduction from $L$ to ExP-BHP.

We note that in the above problem, if the time bound $n$ is written in the unary form (as in the problem BHP), then the problem becomes polynomial-time solvable. Indeed, there is a simple translation of most $P$-complete problems ${ }^{1}$ to $E X P$-complete problems by more succinct encodings of the inputs. In the following, we demonstrate this idea on the famous $P$-complete problem, CIRCUIT VALUE Problem (CVP).

Let $C$ be a Boolean circuit ${ }^{2}$ satisfying the following property: $C$ has $n$ gates numbered from 1 to $n$; we let $C(i)$ denote the gate of $C$ numbered $i$. There are four types of gates in circuit $C$ : ZERO gates, ONE gates, AND gates, and OR gates. A ZERO (ONE) gate has no input and one output whose value is 0 (1, respectively). An AND (OR) gate has two inputs and one output whose value is the Boolean product (Boolean sum, respectively) of the two inputs. If the gate $i$ is an AND or OR gate, then its two inputs are the outputs of two gates whose numbers are lower than $i$. Note that this circuit $C$ does not have input gates and so it computes a unique Boolean value (the output of gate $n$ ). If the circuit is given explicitly, then its output value is computable in polynomial time. (In fact, it is $P$-complete; see Theorem 6.41). In the following, we consider the encoding of the circuit by a DTM. We say that a DTM $M$ generates a circuit $C$ of size $n$ in time $m$ if for all $i, 0 \leq i \leq n, M(i)$ outputs a triple $\langle b, j, k\rangle$ in $m$ moves, with $0 \leq b \leq 3$ and $1 \leq j, k<i$ if $b \leq 1$, such that
(i) If $b=0$, then $C(i)=C(j) \cdot C(k)$;
(ii) If $b=1$, then $C(i)=C(j)+C(k)$;
(iii) If $b=2$, then $C(i)=0$;
(iv) If $b=3$, then $C(i)=1$.

数学代写|计算复杂度理论代写Computational complexity theory代考|COMP4500

计算复杂度理论代考

数学代写|计算复杂度理论代写Computational complexity theory代考|Alternating Turing Machines

多项式时间层次结构由 oracle TM 正式定义。由于预言机在预言机 TM 的计算中扮演着神秘的角色,因此分析此类机器的计算相对更加困难。定理的表征3.8提供了不同的视图,并且发现它对许多应用程序很有用。在本节中,我们将这种表征形式化为一个计算模型,称为交替图灵机(缩写为 ATM),它可用于定义多项式时间层次结构中的复杂性类,而无需使用预言机的概念。

自动取款机米是一个普通的 NTM,其状态分为两个子集,称为通用状态和存在状态。ATM 的操作与 NTM 完全相同,但其接受输入的概念定义不同。因此,ATM 的计算米是每对配置的计算树(一个,b)父子配置满足一个⊢米b. 如果一个配置处于一个普遍的状态,我们就说它是一个普遍的配置,如果它处于一个存在的状态,它就是一个存在的配置。

为了定义 ATM 接受输入的概念,我们归纳地将标签 ACCEPT 分配给该计算树中的某些节点,如下所示: 当且仅当叶处于接受状态时,它才被标记为 ACCEPT。当且仅当它的所有子节点都被标记为 ACCEPT 时,处于通用状态的内部节点被标记为 ACCEPT。当且仅当其至少一个子节点被标记为 ACCEPT 时,处于存在状态的内部节点被标记为 ACCEPT。我们说 ATM M 接受输入X如果计算树的根使用上述标记系统用 ACCEPT 标记。因此,NTM 只是一个 ATM,其中所有状态都被归类为存在状态。

当一个 NTM米接受输入X,一个接受的计算路径就是这个事实的见证。另外,我们定义时间米(X)是最短接受路径的长度。对于自动柜员机米,以证明它接受输入X,我们需要显示接受计算子树吨一个CC计算树的吨的米(X)具有以下性质:
(i) 的根吨在吨一个CC.
(ii) 如果在是一个内部存在节点吨一个CC,那么恰好是的一个孩子在在吨在吨一个CC.

数学代写|计算复杂度理论代写Computational complexity theory代考|PSPACE-Complete Problems

我们的第一个 PSPACE 完全问题是空间有界停止问题 (SBHP)。
SPACE Bounded Halting Problem (SBHP):给定一个 DTM米, 一个输入X, 和一个整数s,写成一元形式0s, 判断是否米接受X在空间范围内s.
定理 3.23 SBHP 是≤米磷-完成 PSPACE。
证明。证明类似于定理 2.11。
PSPACE 完全集的存在意味着如果多项式时间层次适当地无限,则 PSPACE 适当地包含磷H.

定理 3.24 如果磷H=磷小号磷一个C和,然后多项式时间层次结构折叠为Σķ磷对于一些ķ>0.

证明。如果磷H=磷小号磷一个C和, 然后是 SBHP∈磷H=⋃ķ≥0Σķ磷因此,SBHP∈Σķ磷对于一些ķ≥0. 这意味着 PSPACE⊆Σķ磷, 因为Σķ磷关闭下≤米磷-可还原性。

第一个自然 PSPACE 完全问题是小号一个吨ķ. 这个问题的输入是带有量词的布尔公式(∃X)和(∀X). 变量的出现在在布尔公式中F如果有量词,则为有界变量(∃在)或者(∀在)在F这样的发生在是在量词的范围内。布尔公式F如果每个变量的每次出现都称为量化布尔公式F是有界变量。例如,F=(∀X)[(∀是)[(∃和)[X是¯和+X¯是和¯]→(∃和)[(X和¯+X¯和)(是和¯+是¯和)]]]是一个量化的布尔公式。在上面,我们使用方括号 […] 来表示量词的范围和→表示布尔运算(一个→b)=(一个¯+b). 每个量化的布尔公式都有一个范式,其中所有量词出现在布尔变量的任何出现之前,每个量词的范围是公式右侧的其余部分。例如,上述公式的范式(带重命名)F是(∀X)(∀是)(∀和)(∃在)[(X是¯和+X¯是和¯)→((X在¯+X¯在)(是在¯+是¯在))]
量化布尔公式 (QBF):给定一个量化的布尔公式F, 判断是否F是真的。

数学代写|计算复杂度理论代写Computational complexity theory代考|EXP-Complete Problems

到目前为止研究的所有完整问题都是棘手问题的候选者,但它们的难处理性仍然取决于类的分离ñ磷,磷小号磷一个C和, 和磷H从课堂上磷. 是否存在可证明难以处理的自然问题,即可以证明它们不属于磷? 在本节中,我们提出了一些完整的问题和X磷因此,不在磷.

我们的第一个和X磷-完全问题是确定性机器上的有界停止问题,时间限制以二进制形式编码。
指数时间有界停止问题(EXP-BHP):给定一个 DTM米, 一个字符串X, 和一个整数n>0,写成二进制形式,判断是否米(X)停在n移动。
命题 3.30 EXP-BHP 是 EXP 完备的。
证明。如果大号被 DTM 接受米及时2Cn, 那么函数F(X)= ⟨米,X,2C|X|⟩是多项式时间减少大号到 ExP-BHP。

我们注意到,在上述问题中,如果时间限制n写成一元形式(如问题 BHP 中),则问题变为多项式时间可解。确实,大多数都有一个简单的翻译磷- 完整的问题1至和X磷- 通过更简洁的输入编码来完成问题。下面,我们在著名的磷-完成问题,电路值问题(CVP)。

让C是一个布尔电路2满足以下性质:C有n编号从 1 到n; 我们让C(一世)表示门C编号一世. 电路中有四种类型的门C:零门、一门、与门和或门。零(一)门没有输入和一个输出,其值为 0(分别为 1)。与(或)门有两个输入和一个输出,其值是两个输入的布尔乘积(分别为布尔和)。如果门一世是 AND 或 OR 门,那么它的两个输入是两个门的输出,其数量小于一世. 注意这个电路C没有输入门,因此它计算一个唯一的布尔值(门的输出n)。如果电路是明确给出的,那么它的输出值可以在多项式时间内计算。(其实是磷-完全的; 见定理 6.41)。下面,我们考虑使用 DTM 对电路进行编码。我们说一个 DTM米生成电路C大小的n及时米如果对所有人一世,0≤一世≤n,米(一世)输出一个三元组⟨b,j,ķ⟩在米移动,与0≤b≤3和1≤j,ķ<一世如果b≤1, 这样
(i) 如果b=0, 然后C(一世)=C(j)⋅C(ķ);
(ii) 如果b=1, 然后C(一世)=C(j)+C(ķ);
(iii) 如果b=2, 然后C(一世)=0;
(iv) 如果b=3, 然后C(一世)=1.

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统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。

金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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