数学代写|计算复杂度理论代写Computational complexity theory代考|NP-Complete Optimization Problems

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计算复杂度理论的重点是根据资源使用情况对计算问题进行分类,并将这些类别相互联系起来。计算问题是一项由计算机解决的任务。一个计算问题是可以通过机械地应用数学步骤来解决的,比如一个算法。

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数学代写|计算复杂度理论代写Computational complexity theory代考|NP-Complete Optimization Problems

数学代写|计算复杂度理论代写Computational complexity theory代考|NP-Complete Optimization Problems

Based on the notion of polynomial-time Turing reducibility, we can see that many important combinatorial optimization problems are $N P$-hard search problems. We prove these results by first showing that the corresponding decision problems are $\leq_{m}^{P}$-complete for $N P$ and then proving that the problems of searching for the optimum solutions are $\leq_{T}^{P}$-equivalent to the corresponding decision problems. In practice, however, we often do not need the optimum solution. A nearly optimum solution is sufficient for most applications. In general, the $N P$-hardness of the optimization problem does not necessarily imply the $N P$-hardness of the approximation to the optimization problem. In this section, we demonstrate that for some $N P$-complete optimization problems, their approximation versions are also $N P$-hard and, yet, for some problems, polynomial-time approximation is achievable. These types of results are often more difficult to prove than other $N P$-completeness results. We only present some easier results and delay the more involved results until Chapter $11 .$

We first introduce a general framework to deal with the approximation problems. Very often, an optimization problem $\Pi$ has the following general structure: for each input instance $x$ to the problem $\Pi$, there are a number of solutions $y$ to $x$. For each solution $y$, we associate a value $v_{\Pi}(y)$ (or, simply, $v(y)$, if $\Pi$ is known from the context) to it. The problem $\Pi$ is to find, for the given input $x$, a solution $y$ to $x$ such that its value $v(y)$ is maximized (or minimized). For instance, we can fit the problem MAXCLIQUE into this framework as follows: an input to the problem is a graph $G$; a solution to $G$ is a clique $C$ in $G$; the value $v(C)$ of a solution $C$ is the number of its vertices; and the problem is to find, for a given graph $G$, a clique of the maximum size.

Let $r$ be a real number with $r>1$. For a maximization problem $\Pi$ with the above structure, we define its approximation version, with the approximation ratio $r$, as follows:
$r$-APProx-П: For a given input $x$, find a solution $y$ to $x$ such that $v(y) \geq v^{}(x) / r$, where $v^{}(x)=\max {v(z): z$ is a solution to $x$.
Similarly, for a minimization problem $\Pi$, its approximation version with the approximation ratio $r$ is as follows:$r$-APPROX-П: For a given input $x$, find a solution $y$ to $x$ such that $v(y) \leq r \cdot v^{}(x)$, where $v^{}(x)=\min {v(z): z$ is a solution to $x}$.

数学代写|计算复杂度理论代写Computational complexity theory代考|Nondeterministic Oracle Turing Machines

We have defined in Chapter 2 the notions of polynomial-time Turing reducibility and oracle TMs, and have seen that many optimization problems, when formulated in the search problem form, are solvable in polynomial time relative to a set in $N P$. We now extend this notion to nondeterministic oracle TMs and study problems that are solvable in nondeterministic polynomial time relative to sets in $N P$.

A nondeterministic (function-)oracle Turing machine (oracle NTM) is an NTM equipped with an additional query tape and two additional states: the query state and the answer state. The computation of an oracle NTM is similar to that of an oracle DTM, except that at each nonquery state an oracle NTM can make a nondeterministic move. We require that the query step of the computation be a deterministic move determined by the oracle. Let $M$ be an oracle NTM and $f$ an oracle function. We write $M^{f}(x)$ to denote the computation of $M$ on input $x$, using $f$ as the oracle function (note that this is a computation tree). If the oracle function is a characteristic function of a set $A$, we say $M$ is a set-oracle NTM and write $M^{A}$ to denote $M^{f}$, and write $L(M, A)$ to denote the set of strings accepted by $M^{A}$.

The time complexity of a set-oracle NTM is also defined similar to that of a set-oracle DTM. In particular, the actions from the query state to the answer state count as only one step. For any fixed oracle set $A$, we let $\operatorname{time}{M}^{A}(x)$ be the length of the shortest accepting computation path of $M^{A}(x)$ and $t{M}^{A}(n)=\max \left({n+1} \cup\left{\operatorname{time}{M}^{A}(x):|x|=n, M^{A}\right.\right.$ accepts $\left.\left.x\right}\right)$. For a set-oracle NTM $M$, we say $t{M}(n)$ is bounded by a function $g(n)$, if for all oracle sets $A, t_{M}^{A}(n) \leq g(n)$. An oracle NTM $M$ is a polynomialtime oracle $N T M$ if $t_{M}(n)$ is bounded by a polynomial function $p$. Let $A$ be a set and $\mathcal{C}$ be a complexity class. We let $N P^{A}$ denote the class of sets accepted by polynomial-time oracle NTMs relative to the oracle $A$, and let $N P^{C}$ (or, $N P(\mathcal{C})$ ) denote the class of sets accepted by polynomial-time oracle NTMs using an oracle $B \in \mathcal{C}$ (i.e., $N P^{C}=\bigcup_{B \in C} N P^{B}$ ).

数学代写|计算复杂度理论代写Computational complexity theory代考|Polynomial-Time Hierarchy

The polynomial-time hierarchy is the polynomial analog of the arithmetic hierarchy in recursion theory (Rogers, 1967). It can be defined inductively by oracle NTMs.

Definition $3.3$ For integers $n \in \mathbb{N}$, complexity classes $\Delta_{n}^{P}$, $\Sigma_{n}^{P}$, and $\Pi_{n}^{P}$ are defined as follows:
$$
\begin{aligned}
\Sigma_{0}^{P} &=\Pi_{0}^{P}=\Delta_{0}^{P}=P, \
\Sigma_{n+1}^{P} &=N P\left(\Sigma_{n}^{P}\right), \
\Pi_{n+1}^{P} &=c o-\Sigma_{n+1}^{P}, \
\Delta_{n+1}^{P} &=P\left(\Sigma_{n}^{P}\right), \quad n \geq 0 .
\end{aligned}
$$
The class $P H$ is defined to be the union of $\Sigma_{n}^{P}$ over all $n \geq 0$.
Thus, $\Sigma_{1}^{P}=N P, \Sigma_{2}^{P}=N P^{N P}, \Sigma_{3}^{P}=N P\left(N P^{N P}\right)$, and so on. It is easy to verify that these classes form a hierarchy.
Proposition 3.4 For all $k>0$,
$$
\Sigma_{k}^{P} \cup \Pi_{k}^{P} \subseteq \Delta_{k+1}^{P} \subseteq \Sigma_{k+1}^{P} \cap \Pi_{k+1}^{P} \subseteq P S P A C E .
$$
Proof. Note that $P^{A}=P^{\bar{A}}$, and so $\Pi_{k}^{P} \subseteq P\left(\Pi_{k}^{P}\right)=P\left(\Sigma_{k}^{P}\right)=\Delta_{k+1}^{P}$. Other inclusive relations among classes in $P H$ follow easily from the definition. Finally, the whole hierarchy $P H$ is included in $P S P A C E$ following from Proposition 3.2(b).

Based on the above proposition, we show in Figure $3.1$ the basic structure of the polynomial-time hierarchy. To further understand the structure of the polynomial-time hierarchy, we first extend Theorem $2.1$ to a characterization of the polynomial-time hierarchy in terms of the polynomiallength-bounded quantifiers.

First, we observe some closure properties of the polynomial-time hierarchy under the Boolean operations.

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计算复杂度理论代考

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基于多项式时间图灵可约性的概念,我们可以看到许多重要的组合优化问题是ñ磷- 硬搜索问题。我们首先证明相应的决策问题是≤米磷-完成ñ磷然后证明寻找最优解的问题是≤吨磷- 等价于相应的决策问题。然而,在实践中,我们通常不需要最优解。对于大多数应用来说,一个接近最佳的解决方案就足够了。一般来说,ñ磷- 优化问题的难度并不一定意味着ñ磷- 优化问题的近似硬度。在本节中,我们证明对于某些ñ磷-完全优化问题,它们的近似版本也是ñ磷-hard,然而,对于某些问题,多项式时间近似是可以实现的。这些类型的结果通常比其他类型的结果更难证明ñ磷- 完整性结果。我们只展示一些更容易的结果,而将更复杂的结果延迟到第11.

我们首先介绍一个通用框架来处理近似问题。很多时候,一个优化问题圆周率具有以下一般结构:对于每个输入实例X对问题圆周率, 有多种解决方案是至X. 对于每个解决方案是,我们关联一个值在圆周率(是)(或者,简单地说,在(是), 如果圆周率从上下文中知道)。问题圆周率是找到,对于给定的输入X, 一个解法是至X这样它的价值在(是)最大化(或最小化)。例如,我们可以将问题 MAXCLIQUE 拟合到这个框架中,如下所示:问题的输入是一个图G; 一个解决方案G是一个集团C在G; 价值在(C)的解决方案C是它的顶点数;问题是找到,对于给定的图G,一个最大规模的集团。

让r是一个实数r>1. 对于最大化问题圆周率有了上面的结构,我们定义了它的近似版本,用近似比r, 如下:
r-APProx-П:对于给定的输入X, 找到解决方案是至X这样在(是)≥在(X)/r, 其中 $v^{}(x)=\max {v(z): z一世s一个s○l在吨一世○n吨○X.小号一世米一世l一个rl是,F○r一个米一世n一世米一世和一个吨一世○npr○bl和米\π,一世吨s一个ppr○X一世米一个吨一世○n在和rs一世○n在一世吨H吨H和一个ppr○X一世米一个吨一世○nr一个吨一世○r一世s一个sF○ll○在s:rП−一个磷磷R○X−磷:F○r一个G一世在和n一世np在吨X,F一世nd一个s○l在吨一世○n是吨○Xs在CH吨H一个吨v(y) \leq r \cdot v^{}(x),在H和r和v ^ {} (x) = \ min {v (z): z一世s一个s○l在吨一世○n吨○x}$。

数学代写|计算复杂度理论代写Computational complexity theory代考|Nondeterministic Oracle Turing Machines

我们在第 2 章中定义了多项式时间图灵可约性和预言机 TM 的概念,并且已经看到许多优化问题,当以搜索问题的形式表述时,相对于ñ磷. 我们现在将此概念扩展到非确定性预言机 TM,并研究在非确定性多项式时间内可解决的问题,相对于集合ñ磷.

非确定性(函数)oracle 图灵机(oracle NTM)是配备了额外查询磁带和两个额外状态的 NTM:查询状态和答案状态。oracle NTM 的计算类似于 oracle DTM 的计算,除了在每个非查询状态下,oracle NTM 可以进行不确定的移动。我们要求计算的查询步骤是由预言机确定的确定性移动。让米成为预言机 NTM 和F一个预言机函数。我们写米F(X)表示计算米在输入X, 使用F作为 oracle 函数(请注意,这是一个计算树)。如果预言函数是一个集合的特征函数一个, 我们说米是一个 set-oracle NTM 并写米一个表示米F, 和写大号(米,一个)表示接受的字符串集米一个.

set-oracle NTM 的时间复杂度也与 set-oracle DTM 的定义类似。特别是,从查询状态到回答状态的动作仅计为一步。对于任何固定的预言机集一个,我们让时间⁡米一个(X)是最短接受计算路径的长度米一个(X)和t{M}^{A}(n)=\max \left({n+1} \cup\left{\operatorname{time}{M}^{A}(x):|x|=n, M ^{A}\right.\right.$ 接受 $\left.\left.x\right}\right)t{M}^{A}(n)=\max \left({n+1} \cup\left{\operatorname{time}{M}^{A}(x):|x|=n, M ^{A}\right.\right.$ 接受 $\left.\left.x\right}\right). 对于 set-oracle NTM米, 我们说吨米(n)受函数限制G(n), 如果对于所有的 oracle 集一个,吨米一个(n)≤G(n). 一个预言机 NTM米是多项式时间预言机ñ吨米如果吨米(n)以多项式函数为界p. 让一个是一个集合和C是一个复杂度类。我们让ñ磷一个表示多项式时间预言机 NTM 相对于预言机接受的集合类别一个, 然后让ñ磷C(或者,ñ磷(C)) 表示多项式时间预言机 NTM 使用预言机接受的集合类别乙∈C(IE,ñ磷C=⋃乙∈Cñ磷乙 ).

数学代写|计算复杂度理论代写Computational complexity theory代考|Polynomial-Time Hierarchy

多项式时间层次是递归理论中算术层次的多项式模拟(Rogers,1967)。它可以由 oracle NTM 归纳定义。

定义3.3对于整数n∈ñ, 复杂度类Δn磷, Σn磷, 和圆周率n磷定义如下:

Σ0磷=圆周率0磷=Δ0磷=磷, Σn+1磷=ñ磷(Σn磷), 圆周率n+1磷=C○−Σn+1磷, Δn+1磷=磷(Σn磷),n≥0.
班上磷H被定义为联合Σn磷全面的n≥0.
因此,Σ1磷=ñ磷,Σ2磷=ñ磷ñ磷,Σ3磷=ñ磷(ñ磷ñ磷), 等等。很容易验证这些类是否形成了层次结构。
提案 3.4 对所有人ķ>0,

Σķ磷∪圆周率ķ磷⊆Δķ+1磷⊆Σķ+1磷∩圆周率ķ+1磷⊆磷小号磷一个C和.
证明。注意磷一个=磷一个¯, 所以圆周率ķ磷⊆磷(圆周率ķ磷)=磷(Σķ磷)=Δķ+1磷. 其他类之间的包容关系磷H从定义很容易遵循。最后,整个层次结构磷H包含在磷小号磷一个C和遵循提案 3.2(b)。

基于以上命题,我们如图所示3.1多项式时间层次结构的基本结构。为了进一步理解多项式时间层次的结构,我们首先扩展定理2.1根据多项式长度有界量词来表征多项式时间层次结构。

首先,我们观察布尔运算下多项式时间层次结构的一些闭包特性。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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