数学代写|计算复杂度理论代写Computational complexity theory代考|Universal Turing Machine

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计算复杂度理论的重点是根据资源使用情况对计算问题进行分类,并将这些类别相互联系起来。计算问题是一项由计算机解决的任务。一个计算问题是可以通过机械地应用数学步骤来解决的,比如一个算法。

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  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|计算复杂度理论代写Computational complexity theory代考|Universal Turing Machine

数学代写|计算复杂度理论代写Computational complexity theory代考|Universal Turing Machine

One of the most important properties of a computation system like TMs is that there exists a universal machine that can simulate each machine from its code.

Let us first consider one-tape DTMs with the input alphabet ${0,1}$, the working alphabet ${0,1, \mathrm{~B}}$, the initial state $q_{0}$, and the final state set $\left{q_{1}\right}$, that is, DTMs defined by $\left(Q, q_{0},\left{q_{1}\right},{0,1},{0,1, \mathrm{~B}}, \delta\right)$. Such a TM can be determined by the definition of the transition function $\delta$ only, for $Q$ is assumed to be the set of states appearing in the definition of $\delta$. Let us use the notation $q_{i}, 0 \leq i \leq|Q|-1$, for a state in $Q, X_{j}, j=0,1,2$, for a tape symbol where $X_{0}=0, X_{1}=1$ and $X_{2}=\mathrm{B}$, and $D_{k}, k=0$, lor a moving direction for the tape head where $D_{0}=\mathrm{L}$ and $D_{1}=\mathrm{R}$. For each equation $\delta\left(q_{i}, X_{j}\right)=\left(q_{k}, X_{\ell}, D_{h}\right)$, we encode it by the following string in ${0,1}^{*}$ :
$$
0^{i+1} 10^{j+1} 10^{k+1} 10^{\ell+1} 10^{h+1} .
$$
Assume that there are $m$ equations in the definition of $\delta$. Let code $e_{i}$ be the code of the $i$ th equation. Then we combine the codes for equations together to get the following code for the TM:
$$
\text { code }{1} 11 \text { code }{2} 11 \cdots 11 \text { code }_{m} \text {. }
$$
Note that because different orderings of the equations give different codes, there are $m$ ! equivalent codes for a TM of $m$ equations.

The above coding system is a one-to-many mapping $\phi$ from TMs to ${0,1}^{}$. Each string $x$ in ${0,1}^{}$ encodes at most one TM $\phi^{-1}(x)$. Let us extend $\phi^{-1}$ into a function mapping each string $x \in{0,1}^{}$ to a TM $M$ by mapping each $x$ not encoding a TM to a fixed empty TM $M_{0}$ whose code is $\lambda$ and that rejects all strings. Call this mapping $t$. Observe that $t$ is a mapping from ${0,1}^{}$ to TMs with the following properties:
(i) For every $x \in \Sigma^{*}, t(x)$ represents a TM;
(ii) Every TM is represented by at least one $\iota(x)$; and
(iii) The transition function $\delta$ of the TM $t(x)$ can be easily decoded from the string $x$.

We say a coding system $t$ is an emumeration of one-tape DTMs if $t$ satisfies properties (i) and (ii). In addition, property (iii) means that this enumeration admits a universal Turing machine. In the following, we write $M_{x}$ to mean the TM $\iota(x)$. We assume that $\langle\cdot, \cdot\rangle$ is a pairing function on ${0,1}^{*}$ such that both the function and its inverse are computable in linear time, for instance, $\langle x, y\rangle=0^{|x|} 1 x y$.

数学代写|计算复杂度理论代写Computational complexity theory代考|Diagonalization

Diagonalization is an important proof technique widely used in recursive function theory and complexity theory. One of the earliest applications of diagonalization is Cantor’s proof for the fact that the set of real numbers is not countable. We give a similar proof for the set of functions on ${0,1}^{*}$. A set $S$ is countable (or, enumerable) if there exists a one-one onto mapping from the set of natural numbers to $S$.

Proposition $1.20$ The set of functions from ${0,1}^{}$ to ${0,1}$ is not countable. Proof. Suppose, by way of contradiction, that such a set is countable, that is, it can be represented as $\left{f_{0}, f_{1}, f_{2}, \cdots\right}$. Let $a_{i}$ denote the $i$ th string in ${0,1}^{}$ under the lexicographic ordering. Then we can define a function $f$ as follows: For each $i \geq 0, f\left(a_{i}\right)=1$ if $f_{i}\left(a_{i}\right)=0$ and $f\left(a_{i}\right)=0$ if $f_{i}\left(a_{i}\right)=1$. Clearly, $f$ is a function from ${0,1}^{*}$ to ${0,1}$. However, it is not in the list $f_{0}, f_{1}, f_{2}, \cdots$, because it differs from each $f_{i}$ on at least one input string $a_{i}$. This establishes a contradiction.

An immediate consequence of Proposition $1.20$ is that there exists a noncomputable function from ${0,1}^{}$ to ${0,1}$, because we have just shown that the set of all TMs, and hence the set of all computable functions, is countable. In the following, we use diagonalization to construct directly an undecidable (i.e., nonrecursive) problem: the halting problem. The halting problem is the set $K=\left{x \in{0,1}^{}: M_{x}\right.$ halts on $\left.x\right}$, where $\left{M_{x}\right}$ is an enumeration of TMs.
Theorem $1.21 K$ is r.e. but not recursive.
Proof. The fact that $K$ is r.e. follows immediately from the existence of the universal TM $M_{u}$ (Proposition 1.17). To see that $K$ is not recursive, we note that the complement of a recursive set is also recursive and, hence, r.e. Thus, if $K$ were recursive, then $\bar{K}$ would be r.e. and there would be an integer $y$ such that $M_{y}$ halts on all $x \in \bar{K}$ and does not halt on any $x \in K$. Then, a contradiction could be found when we consider whether or not $y$ itself is in $K$ : if $y \in K$, then $M_{y}$ must not halt on $y$ and it follows from the definition of $K$ that $y \notin K$ and if $y \notin K$, then $M_{y}$ must halt on $y$ and it follows from the definition of $K$ that $y \in K$.

数学代写|计算复杂度理论代写Computational complexity theory代考|Simulation

We study, in this section, the relationship between deterministic and nondeterministic complexity classes, as well as the relationship between time- and space-bounded complexity classes. We show several different simulations of nondeterministic machines by deterministic ones.
Theorem $1.28$ (a) For any fully space-constructible function $f(n) \geq n$,
$$
D T I M E(f(n)) \subseteq N T I M E(f(n)) \subseteq D S P A C E(f(n)) .
$$
(b) For any fully space-constructible function $f(n) \geq \log n$,
$$
D S P A C E(f(n)) \subseteq N S P A C E(f(n)) \subseteq \bigcup_{c>0} D T I M E\left(2^{f(n)}\right) .
$$
Proof. (a): The relation DTIME(f(n)) $\subseteq \operatorname{NTIME}(f(n))$ follows immediately from the fact that DTMs are just a subclass of NTMs. For the relation $N T I M E(f(n)) \subseteq D S P A C E(f(n))$, we recall the simulation of an NTM $M$ by a DTM $M_{1}$ as described in Theorem 1.9. Suppose that $M$ has time complexity bounded by $f(n)$; then $M_{1}$ needs to simulate $M$ for at most $f(n)$ moves. That is, we restrict $M_{1}$ to only execute the first $\sum_{j=1}^{f(n)} k^{i}$ stages such that the strings written in tape 2 are at most $f(n)$ symbols long. As $f(n)$ is fully space constructible, this restriction can be done by first marking off $f(n)$ squares on tape 2 . It is clear that such a restricted simulation works within space $f(n)$.
$\mathrm{~ ( b ) : ~ A g a i n , ~ D S P A C E ( f ( n ) ) ~}$ $N S P A C E(f(n)) \subseteq \bigcup_{c>0} D T I M E\left(2^{c f(n)}\right)$, assume that $M$ is an NTM with the space bound $f(n)$. We are going to construct a DTM $M_{1}$ to simulate $M$ in time $2^{c f(n)}$ for some $c>0$. As $M$ uses only space $f(n)$, there is a constant $c_{1}>0$ such that the shortest accepting computation for each $x \in L(M)$ is of length $\leq 2^{c_{1} f(|x|)}$. Thus, the machine $M_{1}$ needs only to simulate $M(x)$ for, at most, $2^{c_{1} f(n)}$ moves. However, $M$ is a nondeterministic machine and so its computation tree of depth $2^{c_{1} f(n)}$ could have $2^{20(\text { a }}$ ) naive simulation as (a) above takes too much time.

To reduce the deterministic simulation time, we notice that this computation tree, although of size $2^{2^{2 \varphi(m))}}$, has at most $2^{O(f(n))}$ different configurations: Each configuration is determined by at most $f(n)$ tape symbols on the work tape, one of $f(n)$ positions for the work tape head,one of $n$ positions for the input tape head, and one of $r$ positions for states, where $r$ is a constant. Thus, the total number of possible configurations of $M(x)$ is $2^{O(f(n))} \cdot f(n) \cdot n \cdot r=2^{O(f(n))}$. (Note that $f(n) \geq \log n$ implies $\left.n \leq 2^{f(n)}\right)$

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计算复杂度理论代考


像 TM 这样的计算系统最重要的属性之一是存在一个通用机器,可以根据其代码模拟每台机器。

让我们首先考虑输入字母表的单磁带 DTM0,1, 工作字母表0,1, 乙, 初始状态q0, 和最终状态集\left{q_{1}\right}\left{q_{1}\right},即 DTM 定义为\left(Q, q_{0},\left{q_{1}\right},{0,1},{0,1, \mathrm{~B}}, \delta\right)\left(Q, q_{0},\left{q_{1}\right},{0,1},{0,1, \mathrm{~B}}, \delta\right). 这样的 TM 可以通过转换函数的定义来确定d仅适用于问被假定为出现在定义中的状态集d. 让我们使用符号q一世,0≤一世≤|问|−1, 对于一个状态问,Xj,j=0,1,2,对于磁带符号,其中X0=0,X1=1和X2=乙, 和Dķ,ķ=0,或磁带头的移动方向,其中D0=大号和D1=R. 对于每个方程d(q一世,Xj)=(qķ,Xℓ,DH),我们通过以下字符串对其进行编码0,1∗ :

0一世+110j+110ķ+110ℓ+110H+1.
假设有米定义中的方程d. 让代码和一世成为代码一世方程。然后我们将方程的代码组合在一起,得到以下 TM 代码:

 代码 111 代码 211⋯11 代码 米. 
请注意,由于方程的不同排序给出不同的代码,所以有米!TM 的等效代码米方程。

上述编码系统是一对多的映射φ从 TM 到0,1. 每个字符串X在0,1最多编码一个 TMφ−1(X). 让我们扩展φ−1到一个函数映射每个字符串X∈0,1到 TM米通过映射每个X不将 TM 编码为固定的空 TM米0谁的代码是λ并且拒绝所有字符串。调用此映射吨. 请注意吨是来自的映射0,1具有以下属性的 TM:
(i) 对于每个X∈Σ∗,吨(X)代表 TM;
(ii) 每个 TM 至少由一个代表我(X); (
iii) 过渡函数dTM的吨(X)可以很容易地从字符串中解码X.

我们说一个编码系统吨是单磁带 DTM 的枚举,如果吨满足性质 (i) 和 (ii)。此外,性质(iii)意味着这个枚举承认一个通用的图灵机。下面,我们写米X意思是 TM我(X). 我们假设⟨⋅,⋅⟩是一个配对函数0,1∗使得函数及其逆函数都可以在线性时间内计算,例如,⟨X,是⟩=0|X|1X是.

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对角化是递归函数理论和复杂性理论中广泛使用的重要证明技术。对角化最早的应用之一是康托尔证明实数集不可数的事实。我们对函数集给出了类似的证明0,1∗. 一套小号是可数的(或者,可枚举的),如果存在从自然数集到的一对一映射到小号.

主张1.20函数集来自0,1至0,1不可数。证明。假设,通过矛盾的方式,这样一个集合是可数的,也就是说,它可以表示为\left{f_{0}, f_{1}, f_{2}, \cdots\right}\left{f_{0}, f_{1}, f_{2}, \cdots\right}. 让一个一世表示一世第一个字符串0,1在字典顺序下。然后我们可以定义一个函数F如下:对于每个一世≥0,F(一个一世)=1如果F一世(一个一世)=0和F(一个一世)=0如果F一世(一个一世)=1. 清楚地,F是一个函数0,1∗至0,1. 但是,它不在列表中F0,F1,F2,⋯,因为它不同于每个F一世在至少一个输入字符串上一个一世. 这就产生了矛盾。

命题的直接后果1.20是存在一个不可计算的函数0,1至0,1,因为我们刚刚证明了所有 TM 的集合,以及所有可计算函数的集合,都是可数的。下面,我们使用对角化直接构造一个不可判定的(即非递归的)问题:停机问题。停机问题是集合K=\left{x \in{0,1}^{}: M_{x}\right.$ 停在 $\left.x\right}K=\left{x \in{0,1}^{}: M_{x}\right.$ 停在 $\left.x\right}, 在哪里\left{M_{x}\right}\left{M_{x}\right}是 TM 的枚举。
定理1.21ķ是 re 但不是递归的。
证明。事实是ķ是从普遍 TM 的存在中直接得出的米在(提案 1.17)。看到那个ķ不是递归的,我们注意到递归集的补集也是递归的,因此, re 因此,如果ķ是递归的,那么ķ¯将是 re 并且会有一个整数是这样米是停在所有X∈ķ¯并且不会停止任何X∈ķ. 那么,当我们考虑是否是本身在ķ: 如果是∈ķ, 然后米是不能停在是并且它遵循以下定义ķ那是∉ķ而如果是∉ķ, 然后米是必须停止是并且它遵循以下定义ķ那是∈ķ.

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在本节中,我们研究确定性和非确定性复杂性类之间的关系,以及时间和空间受限复杂性类之间的关系。我们通过确定性机器展示了几种不同的非确定性机器模拟。
定理1.28(a) 对于任何完全空间可构造函数F(n)≥n,

D吨我米和(F(n))⊆ñ吨我米和(F(n))⊆D小号磷一个C和(F(n)).
(b) 对于任何完全空间可构造函数F(n)≥日志⁡n,

D小号磷一个C和(F(n))⊆ñ小号磷一个C和(F(n))⊆⋃C>0D吨我米和(2F(n)).
证明。(a): 关系 DTIME(f(n))⊆新时代⁡(F(n))紧接着 DTM 只是 NTM 的一个子类这一事实。对于关系ñ吨我米和(F(n))⊆D小号磷一个C和(F(n)),我们回忆一下 NTM 的模拟米通过 DTM米1如定理 1.9 所述。假设米时间复杂度为F(n); 然后米1需要模拟米最多为F(n)移动。也就是说,我们限制米1只执行第一个∑j=1F(n)ķ一世阶段,使得写在磁带 2 中的字符串最多F(n)符号长。作为F(n)是完全空间可构造的,这个限制可以通过首先标记F(n)磁带上的正方形 2 。很明显,这种受限的模拟在空间内有效F(n).
 (b): 一个G一个一世n, D小号磷一个C和(F(n))  ñ小号磷一个C和(F(n))⊆⋃C>0D吨我米和(2CF(n)), 假使,假设米是一个有空间限制的 NTMF(n). 我们将构建一个 DTM米1模拟米及时2CF(n)对于一些C>0. 作为米仅使用空间F(n), 有一个常数C1>0这样每个的最短接受计算X∈大号(米)有长度≤2C1F(|X|). 因此,机米1只需要模拟米(X)因为,至多,2C1F(n)移动。然而,米是一个不确定的机器,因此它的深度计算树2C1F(n)本来可以220( 一个 ) 上面 (a) 的幼稚模拟需要太多时间。

为了减少确定性模拟时间,我们注意到这个计算树,虽然大小222披(米)), 最多有2○(F(n))不同的配置:每个配置最多由F(n)工作磁带上的磁带符号,其中之一F(n)工作磁带头的位置,其中之一n输入磁带头的位置,以及其中之一r各州的职位,其中r是一个常数。因此,可能的配置总数米(X)是2○(F(n))⋅F(n)⋅n⋅r=2○(F(n)). (注意F(n)≥日志⁡n暗示n≤2F(n))

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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