数学代写|计算方法代写computational method代考|Introduction to the finite element method

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计算方法是基于计算机的方法,用于数值解决描述物理现象的数学模型。计算研究方法利用计算方面的新进展,如算法、模型、模拟和系统,以了解复杂的社会、生物、技术和无尽的其他模式和行为。

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数学代写|计算方法代写computational method代考|Introduction to the finite element method

数学代写|计算方法代写computational method代考|Introduction to the finite element method

This book covers the fundamentals of the finite element method in the context of numerical simulation with specific reference to the simulation of the response of structural and mechanical components to mechanical and thermal loads.

We begin with the question: what is the meaning of the term “simulation”? By its dictionary definition, simulation is the imitative representation of the functioning of one system or process by means of the functioning of another. For instance, the membrane analogy introduced by Prandtl ${ }^{1}$ in 1903 made it possible to find the shearing stresses in bars of arbitrary cross-section, loaded by a twisting moment, through mapping the deflected shape of a thin elastic membrane. In other words, the distribution and magnitude of shearing stress in a twisted bar can be simulated by the deflected shape of an elastic membrane.

The membrane analogy exists because two unrelated phenomena can be modeled by the same partial differential equation. The physical meaning associated with the coefficients of the differential equation depends on which problem is being solved. However, the solution of one is proportional to the solution of the other: At corresponding points the shearing stress in a bar, subjected to a twisting moment, is oriented in the direction of the tangent to the contour lines of a deflected thin membrane and its magnitude is proportional to the slope of the membrane. Furthermore, the volume enclosed by the deflected membrane is proportional to the twisting moment.

In the pre-computer years the membrane analogy provided practical means for estimating shearing stresses in prismatic bars. This involved cutting the shape of the cross-section out of sheet metal or a wood panel, covering the hole with a thin elastic membrane, applying pressure to the membrane and mapping the contours of the deflected membrane. In present-day practice both problems would be formulated as mathematical problems which would then be solved by a numerical method, most likely by the finite element method.

There are many other useful analogies. For example, the same differential equations simulate the response of assemblies of mechanical components, such as linear spring-mass-viscous damper systems and assemblies of electrical components, such as capacitors, inductors and resistors. This has been exploited by the use of analogue computers. Obviously, it is much easier to build and manipulate electrical circuitry than mechanical assemblies. In present-day practice both simulation problems would be formulated as mathematical problems which would be solved by a numerical method.

At the heart of simulation of aspects of physical reality is a mathematical problem cast in a generalized form ${ }^{2}$. The solution of the mathematical problem is approximated by a numerical method,

such as the finite element method, which is the subject of this book. The quantities of interest (QoI) are extracted from the approximate solution. The errors of approximation in the QoI depend on how the mathematical problem was discretized ${ }^{3}$ and how the QoI were extracted from the numerical solution. When the errors of approximation are larger than what is considered acceptable then the discretization has to be changed either by an automated adaptive process or by action of the analyst.
Estimation and control of numerical errors are fundamentally important in numerical simulation. Consider, for example, the problem of design certification. Design rules are typically stated in the form
$$
F_{\max } \leq F_{\text {all }}
$$
where $F_{\max }>0$ (resp. $F_{\text {all }}>0$ ) is the maximum (resp. allowable) value of a quantity of interest, for example the first principal stress. Since in numerical simulation only an approximation to $F_{\max }$ is available, denoted by $F_{\text {num }}$, it is necessary to know the size of the numerical error $\tau$ :
$$
\left|F_{\max }-F_{\text {num }}\right| \leq \tau F_{\max }{ }^{\circ}
$$
In design and design certification the worst case scenario has to be considered, which is underestimation of $F_{\max }$, that is,
$$
F_{\text {num }}=(1-t) F_{\max } .
$$
Therefore it has to be shown that
$$
F_{\text {num }} \leq(1-\tau) F_{\text {all. }} .
$$

数学代写|计算方法代写computational method代考|An introductory problem

We introduce the finite element method through approximating the exact solution of the following second order ordinary differential equation
$$
-\left(\kappa u^{\prime}\right)^{\prime}+c u=f \quad \text { on the closed interval } \bar{I}=[0 \leq x \leq \ell]
$$
with the boundary conditions
$$
u(0)=u(\ell)=0
$$
where the prime indicates differentiation with respect to $x$. It is assumed that $0<\alpha \leq \kappa(x) \leq \beta<\infty$ where $\alpha$ and $\beta$ are real numbers, $\kappa^{\prime}<\infty$ on $\bar{I}, c \geq 0$ and $f=f(x)$ are defined such that the indicated operations are meaningful on $I$. For example, the indicated operations would not be meaningful if $\left(\kappa u^{\prime}\right)^{\prime}, c$ or $f$ would not be finite in one or more points on the interval $0 \leq x \leq \ell$. The function $f$ is called a forcing function.
We seek an approximation to $u$ in the form:
$$
u_{n}=\sum_{j=1}^{n} a_{j} \varphi_{j}(x), \quad \varphi_{j}(0)=\varphi_{j}(\ell)=0 \text { for all } j
$$
where $\varphi_{j}(x)$ are fixed functions, called basis functions, and $a_{j}$ are the coefficients of the basis functions to be determined. Note that the basis functions satisfy the zero boundary conditions.

Let us find $a_{j}$ such that the integral $I$ defined by
$$
I=\frac{1}{2} \int_{0}^{\ell}\left(\kappa\left(u^{\prime}-u_{n}^{\prime}\right)^{2}+c\left(u-u_{n}\right)^{2}\right) d x
$$
is minimum. While there are other plausible criteria for selecting $a_{j}$, we will see that this criterion is fundamentally important in the finite element method. Differentiating $I$ with respect to $a_{i}$ and letting the derivative equal to zero, we have:
$$
\frac{d I}{d a_{i}}=\int_{0}^{\ell}\left(\kappa\left(u^{\prime}-u_{n}^{\prime}\right) \varphi_{i}^{\prime}+c\left(u-u_{n}\right) \varphi_{i}\right) d x=0, \quad i=1,2, \ldots, n .
$$
Using the product rule: $\left(\kappa u^{\prime} \varphi_{i}\right)^{\prime}=\left(\kappa u^{\prime}\right)^{\prime} \varphi_{i}+\kappa u^{\prime} \varphi_{i}^{\prime}$ we write
$$
\begin{aligned}
\int_{0}^{\ell} \kappa u^{\prime} \varphi_{i}^{\prime} d x &=\int_{0}^{\ell}\left(\left(\kappa u^{\prime} \varphi_{i}\right)^{\prime}-\left(\kappa u^{\prime}\right)^{\prime} \varphi_{i}\right) d x \
&=\underbrace{\left(\kappa u^{\prime} \varphi_{i}\right){x=\ell}}{=0}-\underbrace{\left(\kappa u^{\prime} \varphi_{i}\right){x=0}}{=0}-\int_{0}^{\ell}\left(\kappa u^{\prime}\right)^{\prime} \varphi_{i} d x
\end{aligned}
$$
The underbraced terms vanish on account of the boundary conditions, see eq. (1.7). On substituting this expression into eq. (1.9), we get
$$
\int_{0}^{t} \underbrace{\left(-\left(\kappa u^{\prime}\right)^{\prime}+c u\right)}{=f(x)} \varphi{i} d x-\int_{0}^{\ell}\left(\kappa u_{n}^{\prime} \varphi_{i}^{\prime}+c u_{n} \varphi_{i}\right) d x=0
$$
which will be written as
$$
\int_{0}^{t}\left(\kappa u_{n}^{\prime} \varphi_{i}^{\prime}+c u_{n} \varphi_{i}\right) d x=\int_{0}^{t} f \varphi_{i} d x, \quad i=1,2, \ldots, n
$$
We define
$$
k_{i j}=\int_{0}^{\ell} \kappa \varphi_{i}^{\prime} \varphi_{j}^{\prime} d x, \quad m_{i j}=\int_{0}^{\ell} c \varphi_{i} \varphi_{j} d x, \quad r_{i}=\int_{0}^{\ell} f \varphi_{i} d x
$$
and write eq. (1.11) in the following form
$$
\sum_{j=1}^{n}\left(k_{i j}+m_{i j}\right) a_{j}=r_{i}, \quad i=1,2, \ldots, n
$$
which represents $n$ simultaneous equations in $n$ unknowns. It is usually written in matrix form:
$$
([K]+[M]){a}={r} .
$$
On solving these equations we find an approximation $u_{n}$ to the exact solution $u$ in the sense that $u_{n}$ minimizes the integral $I$.

数学代写|计算方法代写computational method代考|The exact solution

If eq. (1.5) holds then for an arbitrary function $v=v(x)$, subject only to the restriction that all of the operations indicated in the following are properly defined, we have
$$
\int_{0}^{t}\left(\left(-\kappa u^{\prime}\right)^{\prime}+c u-f\right) v d x=0 .
$$
Using the product rule; $\left(\kappa u^{\prime} v\right)^{\prime}=\left(\kappa u^{\prime}\right)^{\prime} v+\kappa u^{\prime} v^{\prime}$ we get
$$
\int_{0}^{\ell}\left(-\kappa u^{\prime}\right)^{\prime} v d x=-\left(\kappa u^{\prime} v\right){x=\ell}+\left(\kappa u^{\prime} v\right){x=0}+\int_{0}^{\ell} \kappa u^{\prime} v^{\prime} d x
$$
therefore eq. (1.17) is transformed to:
$$
\int_{0}^{\ell}\left(\kappa u^{\prime} v^{\prime}+c u v\right) d x=\int_{0}^{\ell} f v d x+\left(\kappa u^{\prime} v\right){x=\ell}-\left(\kappa u^{\prime} v\right){x=0} .
$$

We introduce the following notation:
$$
B(u, v) \stackrel{\operatorname{def}}{=} \int_{0}^{\ell}\left(\kappa u^{\prime} v^{\prime}+c u v\right) d x
$$
where $B(u, v)$ is a bilinear form. A bilinear form has the property that it is linear with respect to each of its two arguments. The properties of bilinear forms are listed Section A.1.3 of Appendix A. We define the linear form:
$$
F(v) \stackrel{\text { def }}{=} \int_{0}^{t} f v d x+\left(\kappa u^{\prime} v\right){x=\ell}-\left(\kappa u^{\prime} v\right){x=0^{-}}
$$
The forcing function $f(x)$ may be a sum of forcing functions: $f(x)=f_{1}(x)+f_{2}(x)+\ldots$, some or all of which may be the Dirac delta function ${ }^{4}$ multiplied by a constant. For example if $f_{k}(x)=F_{0} \delta\left(x_{0}\right)$ then
$$
\int_{0}^{\ell} f_{k}(x) v d x=\int_{0}^{\ell} F_{0} \delta\left(x_{0}\right) v d x=F_{0} v\left(x_{0}\right) .
$$
The properties of linear forms are listed in Section A.1.2. Note that $F_{0} v\left(x_{0}\right)$ in eq. (1.21) is a linear form only if $v$ is continuous and bounded.

The definitions of $B(u, v)$ and $F(v)$ are modified depending on the boundary conditions. Before proceeding further we need the following definitions.

数学代写|计算方法代写computational method代考|Introduction to the finite element method

计算方法代写

数学代写|计算方法代写computational method代考|Introduction to the finite element method

本书涵盖了数值模拟背景下有限元法的基础知识,并具体参考了结构和机械部件对机械和热载荷响应的模拟。

我们从一个问题开始:“模拟”一词的含义是什么?根据字典的定义,模拟是通过另一个系统或过程的功能来模拟表示一个系统或过程的功能。例如,普朗特提出的膜类比11903 年,通过绘制薄弹性膜的偏转形状,可以找到任意横截面的钢筋中的剪切应力,这些钢筋受到扭转力矩的加载。换句话说,扭杆中剪应力的分布和大小可以通过弹性膜的变形形状来模拟。

存在膜类比是因为两个不相关的现象可以用同一个偏微分方程建模。与微分方程的系数相关的物理意义取决于要解决的问题。然而,一个的解与另一个的解成正比:在相应的点上,在相应的点上,受到扭转力矩的杆中的剪切应力的方向是与偏转薄膜的轮廓线的切线方向相切。幅度与膜的斜率成正比。此外,被偏转膜包围的体积与扭转力矩成正比。

在计算机出现之前的年代,膜类比为估计棱柱形杆的剪切应力提供了实用的方法。这涉及从金属板或木板中切割出横截面的形状,用薄弹性膜覆盖孔,向膜施加压力并绘制偏转膜的轮廓。在当今的实践中,这两个问题都将被表述为数学问题,然后通过数值方法解决,最有可能是通过有限元方法。

还有许多其他有用的类比。例如,相同的微分方程模拟机械组件组件的响应,例如线性弹簧-质量-粘性阻尼系统和电气组件组件,例如电容器、电感器和电阻器。这已被模拟计算机的使用所利用。显然,构建和操作电路比机械组件容易得多。在当今的实践中,这两个模拟问题都将被表述为数学问题,可以通过数值方法来解决。

物理现实各方面模拟的核心是以广义形式提出的数学问题2. 数学问题的解是用数值方法近似的,

例如有限元法,这是本书的主题。从近似解中提取感兴趣的数量 (QoI)。QoI 中的近似误差取决于数学问题的离散方式3以及如何从数值解中提取 QoI。当近似误差大于被认为可接受的误差时,离散化必须通过自动自适应过程或分析师的行动来改变。
数值误差的估计和控制在数值模拟中非常重要。例如,考虑设计认证问题。设计规则通常以表格形式说明
F最大限度≤F全部 
在哪里F最大限度>0(分别。F全部 >0) 是感兴趣量的最大(分别允许)值,例如第一主应力。因为在数值模拟中只有一个近似值F最大限度可用,表示为F在一个 ,有必要知道数值误差的大小τ :
|F最大限度−F在一个 |≤τF最大限度∘
在设计和设计认证中,必须考虑最坏的情况,即低估F最大限度, 那是,
F在一个 =(1−吨)F最大限度.
因此必须证明
F在一个 ≤(1−τ)F全部。 .

数学代写|计算方法代写computational method代考|An introductory problem

我们通过逼近下列二阶常微分方程的精确解来引入有限元法
−(ķ在′)′+C在=F 在闭区间 一世¯=[0≤X≤ℓ]
有边界条件
在(0)=在(ℓ)=0
其中素数表示相对于X. 假设0<一种≤ķ(X)≤b<∞在哪里一种和b是实数,ķ′<∞在一世¯,C≥0和F=F(X)被定义为使得指示的操作在一世. 例如,指定的操作将没有意义,如果(ķ在′)′,C或者F在区间上的一个或多个点上不会是有限的0≤X≤ℓ. 功能F称为强制函数。
我们寻求一个近似值在形式:
在n=∑j=1n一种j披j(X),披j(0)=披j(ℓ)=0 对全部 j
在哪里披j(X)是固定函数,称为基函数,并且一种j是要确定的基函数的系数。请注意,基函数满足零边界条件。

让我们找到一种j使得积分一世被定义为
一世=12∫0ℓ(ķ(在′−在n′)2+C(在−在n)2)dX
是最小值。虽然还有其他合理的选择标准一种j,我们将看到这个准则在有限元方法中是非常重要的。区分一世关于一种一世并让导数为零,我们有:
d一世d一种一世=∫0ℓ(ķ(在′−在n′)披一世′+C(在−在n)披一世)dX=0,一世=1,2,…,n.
使用产品规则:(ķ在′披一世)′=(ķ在′)′披一世+ķ在′披一世′我们写
$$
\begin{aligned}
\int_{0}^{\ell} \kappa u^{\prime} \varphi_{i}^{\prime} dx &=\int_{0}^{\ell} \left(\left(\kappa u^{\prime} \varphi_{i}\right)^{\prime}-\left(\kappa u^{\prime}\right)^{\prime} \varphi_{ i}\right) dx \
&=\underbrace{\left(\kappa u^{\prime} \varphi_{i}\right) {x=\ell}} {=0}-\underbrace{\left(\ kappa u^{\prime} \varphi_{i}\right) {x=0}} {=0}-\int_{0}^{\ell}\left(\kappa u^{\prime}\right) ^{\prime} \varphi_{i} dx
\end{对齐}
吨H和在nd和rbr一种C和d吨和r米s在一种n一世sH这n一种CC这在n吨这F吨H和b这在nd一种r是C这nd一世吨一世这ns,s和和和q.(1.7).这ns在bs吨一世吨在吨一世nG吨H一世s和Xpr和ss一世这n一世n吨这和q.(1.9),在和G和吨
\int_{0}^{t} \underbrace{\left(-\left(\kappa u^{\prime}\right)^{\prime}+cu\right)} {=f(x)} \varphi {i} d x-\int_{0}^{\ell}\left(\kappa u_{n}^{\prime} \varphi_{i}^{\prime}+c u_{n} \varphi_{i }\right) dx=0
在H一世CH在一世llb和在r一世吨吨和n一种s
\int_{0}^{t}\left(\kappa u_{n}^{\prime} \varphi_{i}^{\prime}+c u_{n} \varphi_{i}\right) dx=\ int_{0}^{t} f \varphi_{i} dx, \quad i=1,2, \ldots, n
在和d和F一世n和
k_{ij}=\int_{0}^{\ell} \kappa \varphi_{i}^{\prime} \varphi_{j}^{\prime} dx, \quad m_{ij}=\int_{0 }^{\ell} c \varphi_{i} \varphi_{j} dx, \quad r_{i}=\int_{0}^{\ell} f \varphi_{i} dx
一种nd在r一世吨和和q.(1.11)一世n吨H和F这ll这在一世nGF这r米
\sum_{j=1}^{n}\left(k_{ij}+m_{ij}\right) a_{j}=r_{i}, \quad i=1,2, \ldots, n
在H一世CHr和pr和s和n吨s$n$s一世米在l吨一种n和这在s和q在一种吨一世这ns一世n$n$在nķn这在ns.一世吨一世s在s在一种ll是在r一世吨吨和n一世n米一种吨r一世XF这r米:
([K]+[M]){a}={r} 。
$$
在求解这些方程时,我们找到了一个近似值在n到确切的解决方案在在某种意义上说在n最小化积分一世.

数学代写|计算方法代写computational method代考|The exact solution

如果当量。(1.5)则适用于任意函数在=在(X), 仅受以下所有操作都正确定义的限制,我们有
∫0吨((−ķ在′)′+C在−F)在dX=0.
使用乘积规则;(ķ在′在)′=(ķ在′)′在+ķ在′在′我们得到
∫0ℓ(−ķ在′)′在dX=−(ķ在′在)X=ℓ+(ķ在′在)X=0+∫0ℓķ在′在′dX
因此等式。(1.17) 转换为:
∫0ℓ(ķ在′在′+C在在)dX=∫0ℓF在dX+(ķ在′在)X=ℓ−(ķ在′在)X=0.

我们引入以下符号:
乙(在,在)=定义∫0ℓ(ķ在′在′+C在在)dX
在哪里乙(在,在)是双线性形式。双线性形式具有关于其两个参数中的每一个都是线性的属性。双线性形式的属性在附录 A 的 A.1.3 节列出。我们定义线性形式:
$$
F(v) \stackrel{\text { def }}{=} \int_{0}^{t} fvd x+ \left(\kappa u^{\prime} v\right) {x=\ell}-\left(\kappa u^{\prime} v\right) {x=0^{-}}
吨H和F这rC一世nGF在nC吨一世这n$F(X)$米一种是b和一种s在米这FF这rC一世nGF在nC吨一世这ns:$F(X)=F1(X)+F2(X)+…$,s这米和这r一种ll这F在H一世CH米一种是b和吨H和D一世r一种Cd和l吨一种F在nC吨一世这n$4$米在l吨一世pl一世和db是一种C这ns吨一种n吨.F这r和X一种米pl和一世F$Fķ(X)=F0d(X0)$吨H和n
\int_{0}^{\ell} f_{k}(x) vdx=\int_{0}^{\ell} F_{0} \delta\left(x_{0}\right) vdx=F_{0 } v\left(x_{0}\right) 。
$$
线性形式的性质在 A.1.2 节中列出。注意F0在(X0)在等式。(1.21) 是线性形式,仅当在是连续的和有界的。

的定义乙(在,在)和F(在)根据边界条件进行修改。在继续之前,我们需要以下定义。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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