数学代写|计算方法代写computational method代考|Boundary value problems

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计算方法是基于计算机的方法,用于数值解决描述物理现象的数学模型。计算研究方法利用计算方面的新进展,如算法、模型、模拟和系统,以了解复杂的社会、生物、技术和无尽的其他模式和行为。

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数学代写|计算方法代写computational method代考|Boundary value problems

数学代写|计算方法代写computational method代考|Notation

The Euclidean space in $n$ dimensions is denoted by $\mathbb{R}^{n}$. The Cartesian ${ }^{2}$ coordinate axes in $\mathbb{R}^{3}$ are labeled $x, y, z$ (in cylindrical systems $r, \theta, z$ ) and a vector in $\mathbb{R}^{n}$ is denoted by $\mathbf{u}$. For example, $\mathbf{u} \equiv\left{u_{x} u_{y} u_{z}\right}$ represents a vector in $\mathbf{R}^{3}$.

The index notation will be introduced gradually, in parallel with the familiar Cartesian notation, so that readers who are not yet acquainted with this notation can become familiar with it. The basic rules of index notation are as follows.

  1. The Cartesian coordinate axes are labeled $x=x_{1}, y=x_{2}, z=x_{3}$.
  2. In conventional notation the position vector in $\mathbb{R}^{3}$ is $\mathbf{x} \equiv{x y z}^{T}$. In index notation it is simply $x_{i}$. A general vector $\mathbf{a} \equiv\left{a_{x} a_{y} a_{z}\right}$ and its transpose is written simply as $a_{i^{*}}$.
  3. A free index in $\mathbb{R}^{n}$ is understood to range from 1 to $n$.
  4. Two free indices represent a matrix. The size of the matrix depends on the range of indices. Thus, in three dimensions $\left(\mathbb{R}^{3}\right)$ :
    $$
    a_{i j} \equiv\left[\begin{array}{lll}
    a_{11} & a_{12} & a_{13} \
    a_{21} & a_{22} & a_{23} \
    a_{31} & a_{32} & a_{33}
    \end{array}\right] \equiv\left[\begin{array}{lll}
    a_{x x} & a_{x y} & a_{x z} \
    a_{y x} & a_{y y} & a_{y z} \
    a_{z x} & a_{z y} & a_{z z}
    \end{array}\right] .
    $$
    The identity matrix is represented by the $\operatorname{Kronecker}^{3}$ delta $\delta_{i j}$, defined as follows:
    $$
    \delta_{i j}= \begin{cases}1 & \text { if } \mathrm{i}=\mathrm{j} \ 0 & \text { if } \mathrm{i} \neq \mathrm{j} .\end{cases}
    $$
  1. Repeated indices imply summation. For example, the scalar product of two vectors $a_{i}$ and $b_{j}$ is $a_{i} b_{i} \equiv a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3}$. The product of two matrices $a_{i j}$ and $b_{i j}$ is written as $c_{i j}=a_{i k} b_{k j}$ *

Definition 2.1 Repeated indices are also called dummy indices. This is because summation is performed therefore the index designation is immaterial. For example, $a_{i} b_{i} \equiv a_{k} b_{k}$ *

  1. In order to represent the cross product in index notation, it is necessary to introduce the permutation symbol $e_{i j k}$. The components of the permutation symbol are defined as follows:
    $e_{1 y k}=0$ if the values of $i, j, k$ do not form a permutation of $1,2,3$
    $e_{i j k}=1$ if the values of $i, j, k$ form an even permutation of $1,2,3$
    $e_{i y k}=-1$ if the values of $i, j, k$ form an odd permutation of $1,2,3$.
    The cross product of vectors $a_{j}$ and $b_{k}$ is written as
    $$
    c_{i}=e_{i j k} a_{j} b_{k^{-}}
    $$
    Definition $2.2$ The permutations $(1,2,3),(2,3,1)$ and $(3,1,2)$ are even permutations. The permutations $(1,3,2),(2,1,3)$ and $(3,2,1)$ are odd permutations.
  2. Indices following a comma represent differentiation with respect to the variables identified by the indices. For example, if $u\left(x_{i}\right)$ is a scalar function then
    $$
    u_{2} \equiv \frac{\partial u}{\partial x_{2}}, \quad u_{, 23} \equiv \frac{\partial^{2} u}{\partial x_{2} \partial x_{3}}
    $$
    The gradient of $u$ is simply $u_{, i}$.
    If $u_{i}=u_{i}\left(x_{k}\right)$ is a vector function in $\mathrm{R}^{3}$ then
    $$
    u_{i, i} \equiv \frac{\partial u_{1}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial u_{2}}{\partial x_{2}}+\frac{\partial u_{3}}{\partial x_{3}}
    $$
    is the divergence of $u_{i}$.
  3. The transformation rules for Cartesian vectors and tensors are presented in Appendix $\mathrm{K}$.

数学代写|计算方法代写computational method代考|The scalar elliptic boundary value problem

The three-dimensional analogue of the model problem introduced in Section $1.1$ is the scalar elliptic boundary value problem
$$
-\operatorname{div}([\kappa] \operatorname{grad} u)+c u=f(x, y, z), \quad(x, y, z) \in \Omega
$$
where
$$
\left[\kappa^{\prime}\right]=\left[\begin{array}{lll}
\kappa_{x} & \kappa_{x y} & \kappa_{x z} \
\kappa_{y x} & \kappa_{y} & \kappa_{y z} \
\kappa_{z x} & \kappa_{z y}^{c} & \kappa_{z}
\end{array}\right]
$$
is a positive-definite matrix ${ }^{4}$ and $c=c(x, y, z) \geq 0$. In index notation eq. (2.3) reads:
$$
-\left(\kappa_{i j} u_{, j}\right)_{, i}+c u=f
$$
We will be concerned with the following linear boundary conditions:

  1. Dirichlet boundary condition: $u=\hat{u}$ is prescribed on boundary region $\partial \Omega_{u}$. When $\hat{u}=0$ on $\partial \Omega_{u}$ then the Dirichlet boundary condition is said to be homogeneous.
  2. Neumann boundary condition: The flux vector is defined by
    $$
    \mathbf{q} \stackrel{\text { def }}{=}-[\kappa] \text { grad } u, \quad \text { equivalently; } \quad q_{i} \stackrel{\text { def }}{=} \kappa_{i j} u_{j^{-}}
    $$
    The normal flux is defined by $q_{n} \stackrel{\text { def }}{=} \mathbf{q} \cdot \mathbf{n} \equiv q_{i} n_{i}$ where $\mathbf{n} \equiv n_{i}$ is the unit outward normal to the boundary. When $q_{n}=q_{n}$ is prescribed on boundary region $\partial \Omega_{q}$ then the boundary condition is called a Neumann boundary condition. When $\hat{q}{n}=0$ on $\partial \Omega{q}$ then the Neumann boundary condition is said to be homogeneous.
  3. Robin boundary condition: $q_{n}=h_{R}\left(u-u_{R}\right)$ is given on boundary segment $\partial \Omega_{R}$. In this expression $h_{R}>0$ and $u_{R}$ are given functions. When $u_{R}=0$ on $\partial \Omega_{R}$ then the Robin boundary condition is said to be homogeneous.
  4. Boundary conditions of convenience: In many instances the solution domain can be simplified through taking advantage of symmetry, antisymmetry and/or periodicity. These boundary conditions are called boundary conditions of convenience.

The boundary segments $\partial \Omega_{u}, \partial \Omega_{q}, \partial \Omega_{R}$ and $\partial \Omega_{p}$ are non-overlapping and collectively cover the entire boundary $\partial \Omega$. Any of the boundary segments may be empty.

Definition 2.3 The Dirichlet boundary condition is also called essential boundary condition. The Neumann and Robin conditions area called natural boundary conditions.

数学代写|计算方法代写computational method代考|Generalized formulation

To obtain the generalized formulation for the scalar elliptic boundary value problem we multiply eq. (2.5) by a test function $v$ and integrate over the domain $\Omega$ :
$$
-\int_{\Omega}\left(\kappa_{i j} u_{j}\right){, i} v d V+\int{\Omega} c u v d V=\int_{\Omega} f v d V .
$$

This equation must hold for arbitrary $v$, provided that the indicated operations are defined. The first integral can be written as:
$$
\int_{\Omega}\left(\kappa_{i j} u_{j}\right){, i} v d V=\int{\Omega}\left(\kappa_{i j} u_{j} v\right){, j} d V-\int{\Omega} \kappa_{i j} u_{, j} v_{i} d V .
$$
Applying the divergence theorem (eq. (2.2)) we have:
$$
\int_{\Omega}\left(\kappa_{i j} u_{, j} v\right){, i} d V=\int{\partial \Omega} \kappa_{i j} u_{j} n_{i} v d S
$$
where $n_{i}$ is the unit normal vector to the boundary surface. Therefore eq. (2.7) can be written in the following form:
$$
-\int_{\partial \Omega} \kappa_{i j} u_{j} n_{i} v d S+\int_{\Omega} \kappa_{i j} u_{j} v_{, i} d V+\int_{\Omega} c u v d V=\int_{\Omega} f v d V
$$
It is customary to write
$$
q_{i}=-\kappa_{i j} u_{j} \quad \text { and } \quad q_{n}=q_{i} n_{i} .
$$
With this notation we have:
$$
\int_{\Omega} \kappa_{i j} u_{j} v_{j i} d V+\int_{\Omega} c u v d V=\int_{\Omega} f v d V-\int_{\partial \Omega} q_{n} v d S
$$
This is the generalization of eq. (1.18) to two and three dimensions. As we have seen in Section $1.2$, the specific statement of a generalized formulation depends on the boundary conditions. In the general case $u=\hat{u}$ is prescribed on $\partial \Omega_{u}$ (Dirichlet boundary condition); $q_{n}=\hat{q}{n}$ is prescribed on $\partial \Omega{q}$ (Neumann boundary condition) and $q_{n}=h_{R}\left(u-u_{R}\right.$ ) is prescribed on $\Omega_{R}$ (Robin boundary condition), see Section 2.2. We now define the bilinear form as follows:
$$
B(u, v)=\int_{\Omega} \kappa_{i j} u_{j} v_{\dot{i}} d V+\int_{\Omega} c u v d V+\int_{d \Omega_{R}} h_{R} u v d S
$$
and the linear functional:
$$
F(v)=\int_{\Omega} f v d V-\int_{\partial \Omega_{q}} q_{n} v d S+\int_{\partial \Omega_{R}} h_{R} u_{R} v d S .
$$
When $\partial \Omega_{R}$ is empty then the last terms in equations (2.10) and (2.11) are omitted. When Neumann condition is prescribed on the entire boundary and $c=0$ then the data must satisfy the following condition:
$$
\int_{\Omega} f d V=\int_{\partial \Omega} q_{n} d S
$$
The space $E(\Omega)$ is defined by
$$
E(\Omega) \stackrel{\text { def }}{=}{u \mid B(u, u)<\infty}
$$
and the energy norm
$$
|u|_{E} \stackrel{\text { def }}{=} \sqrt{\frac{1}{2} B(u, u)}
$$
is associated with $E(\Omega)$. The space of admissible functions is defined by:
$$
\tilde{E}(\Omega) \stackrel{\text { def }}{=}\left{u \mid u \in E(\Omega), u=\hat{u} \text { on } \partial \Omega_{u}\right}
$$

数学代写|计算方法代写computational method代考|Boundary value problems

计算方法代写

数学代写|计算方法代写computational method代考|Notation

欧几里得空间n尺寸表示为Rn. 笛卡尔2坐标轴在R3被标记X,是,和(在圆柱系统中r,θ,和) 和一个向量Rn表示为在. 例如,\mathbf{u} \equiv\left{u_{x} u_{y} u_{z}\right}\mathbf{u} \equiv\left{u_{x} u_{y} u_{z}\right}表示一个向量R3.

索引符号将与熟悉的笛卡尔符号并行逐步介绍,以便尚未熟悉该符号的读者熟悉它。索引符号的基本规则如下。

  1. 笛卡尔坐标轴被标记X=X1,是=X2,和=X3.
  2. 在传统表示法中,位置向量R3是X≡X是和吨. 在索引符号中,它很简单X一世. 一般向量\mathbf{a} \equiv\left{a_{x} a_{y} a_{z}\right}\mathbf{a} \equiv\left{a_{x} a_{y} a_{z}\right}它的转置简单地写成一种一世∗.
  3. 中的免费索引Rn被理解为范围从 1 到n.
  4. 两个自由索引代表一个矩阵。矩阵的大小取决于索引的范围。因此,在三个维度(R3) :
    一种一世j≡[一种11一种12一种13 一种21一种22一种23 一种31一种32一种33]≡[一种XX一种X是一种X和 一种是X一种是是一种是和 一种和X一种和是一种和和].
    单位矩阵由克罗内克3三角洲d一世j,定义如下:
    d一世j={1 如果 一世=j 0 如果 一世≠j.
  5. 重复索引意味着求和。例如,两个向量的标量积一种一世和bj是一种一世b一世≡一种1b1+一种2b2+一种3b3. 两个矩阵的乘积一种一世j和b一世j写成C一世j=一种一世ķbķj *

定义 2.1 重复索引也称为虚拟索引。这是因为进行了求和,因此索引指定并不重要。例如,一种一世b一世≡一种ķbķ*

  1. 为了用索引符号表示叉积,需要引入置换符号和一世jķ. 置换符号的组成部分定义如下:
    和1是ķ=0如果的值一世,j,ķ不形成排列1,2,3
    和一世jķ=1如果的值一世,j,ķ形成一个偶数排列1,2,3
    和一世是ķ=−1如果的值一世,j,ķ形成奇排列1,2,3.
    向量的叉积一种j和bķ写成
    C一世=和一世jķ一种jbķ−
    定义2.2排列组合(1,2,3),(2,3,1)和(3,1,2)甚至是排列。排列组合(1,3,2),(2,1,3)和(3,2,1)是奇数排列。
  2. 逗号后面的索引表示相对于由索引标识的变量的区分。例如,如果在(X一世)那么是标量函数
    在2≡∂在∂X2,在,23≡∂2在∂X2∂X3
    的梯度在简直就是在,一世.
    如果在一世=在一世(Xķ)是向量函数R3然后
    在一世,一世≡∂在1∂X1+∂在2∂X2+∂在3∂X3
    是的分歧在一世.
  3. 笛卡尔向量和张量的变换规则见附录ķ.

数学代写|计算方法代写computational method代考|The scalar elliptic boundary value problem

章节中介绍的模型问题的三维模拟1.1是标量椭圆边值问题
−div⁡([ķ]毕业⁡在)+C在=F(X,是,和),(X,是,和)∈Ω
在哪里
[ķ′]=[ķXķX是ķX和 ķ是Xķ是ķ是和 ķ和Xķ和是Cķ和]
是一个正定矩阵4和C=C(X,是,和)≥0. 在索引符号等式中。(2.3) 内容如下:
−(ķ一世j在,j),一世+C在=F
我们将关注以下线性边界条件:

  1. 狄利克雷边界条件:在=在^规定在边界区域∂Ω在. 什么时候在^=0在∂Ω在则称狄利克雷边界条件是齐次的。
  2. Neumann 边界条件:通量矢量定义为
    q= 定义 −[ķ] 毕业 在, 等效地; q一世= 定义 ķ一世j在j−
    法向通量定义为qn= 定义 q⋅n≡q一世n一世在哪里n≡n一世是边界外法线的单位。什么时候qn=qn规定在边界区域∂Ωq则该边界条件称为 Neumann 边界条件。什么时候q^n=0在∂Ωq则称 Neumann 边界条件是齐次的。
  3. 罗宾边界条件:qn=HR(在−在R)在边界段上给出∂ΩR. 在这个表达式中HR>0和在R被赋予功能。什么时候在R=0在∂ΩR则称 Robin 边界条件是齐次的。
  4. 方便的边界条件:在许多情况下,可以通过利用对称性、反对称性和/或周期性来简化解域。这些边界条件称为方便边界条件。

边界段∂Ω在,∂Ωq,∂ΩR和∂Ωp不重叠并共同覆盖整个边界∂Ω. 任何边界段都可以是空的。

定义 2.3 狄利克雷边界条件也称为本质边界条件。Neumann 和 Robin 条件区域称为自然边界条件。

数学代写|计算方法代写computational method代考|Generalized formulation

为了获得标量椭圆边值问题的广义公式,我们乘以 eq。(2.5) 通过一个测试函数在并在域上集成Ω :
−∫Ω(ķ一世j在j),一世在d在+∫ΩC在在d在=∫ΩF在d在.

这个方程必须为任意在,前提是定义了指示的操作。第一个积分可以写成:
∫Ω(ķ一世j在j),一世在d在=∫Ω(ķ一世j在j在),jd在−∫Ωķ一世j在,j在一世d在.
应用散度定理(方程(2.2))我们有:
∫Ω(ķ一世j在,j在),一世d在=∫∂Ωķ一世j在jn一世在d小号
在哪里n一世是边界表面的单位法向量。因此等式。(2.7) 可以写成以下形式:
−∫∂Ωķ一世j在jn一世在d小号+∫Ωķ一世j在j在,一世d在+∫ΩC在在d在=∫ΩF在d在
习惯上写
q一世=−ķ一世j在j 和 qn=q一世n一世.
有了这个符号,我们有:
∫Ωķ一世j在j在j一世d在+∫ΩC在在d在=∫ΩF在d在−∫∂Ωqn在d小号
这是 eq 的概括。(1.18) 到二维和三维。正如我们在章节中看到的1.2,广义公式的具体陈述取决于边界条件。一般情况下在=在^规定于∂Ω在(狄利克雷边界条件);$q_{n}=\hat{q} {n}一世spr和sCr一世b和d这n\部分\欧米茄{q}(ñ和在米一种nnb这在nd一种r是C这nd一世吨一世这n)一种ndq_{n}=h_{R}\left(u-u_{R}\right.)一世spr和sCr一世b和d这n\Omega_{R}(R这b一世nb这在nd一种r是C这nd一世吨一世这n),s和和小号和C吨一世这n2.2.在和n这在d和F一世n和吨H和b一世l一世n和一种rF这r米一种sF这ll这在s:$
B(u, v)=\int_{\Omega} \kappa_{ij} u_{j} v_{\dot{i}} d V+\int_{\Omega} cuvd V+\int_{d \Omega_{ R } } h_{R} 紫外线 S
一种nd吨H和l一世n和一种rF在nC吨一世这n一种l:
F(v)=\int_{\Omega} fvd V-\int_{\partial \Omega_{q}} q_{n} vd S+\int_{\partial \Omega_{ R }} h_{R} u_{R} vd S 。
在H和n$∂ΩR$一世s和米p吨是吨H和n吨H和l一种s吨吨和r米s一世n和q在一种吨一世这ns(2.10)一种nd(2.11)一种r和这米一世吨吨和d.在H和nñ和在米一种nnC这nd一世吨一世这n一世spr和sCr一世b和d这n吨H和和n吨一世r和b这在nd一种r是一种nd$C=0$吨H和n吨H和d一种吨一种米在s吨s一种吨一世sF是吨H和F这ll这在一世nGC这nd一世吨一世这n:
\int_{\Omega} fd V=\int_{\partial \Omega} q_{n} d S
吨H和sp一种C和$和(Ω)$一世sd和F一世n和db是
E(\Omega) \stackrel{\text { def }}{=}{u \mid B(u, u)<\infty}
一种nd吨H和和n和rG是n这r米
|u|_{E} \stackrel{\text { def }}{=} \sqrt{\frac{1}{2} B(u, u)}
一世s一种ss这C一世一种吨和d在一世吨H$和(Ω)$.吨H和sp一种C和这F一种d米一世ss一世bl和F在nC吨一世这ns一世sd和F一世n和db是:
\tilde{E}(\Omega) \stackrel{\text { def }}{=}\left{u \mid u \in E(\Omega), u=\hat{u} \text { on } \partial \Omega_{u}\right}
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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