数学代写|计算方法代写computational method代考|Equations of linear elasticity – strong form

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数学代写|计算方法代写computational method代考|Equations of linear elasticity – strong form

数学代写|计算方法代写computational method代考|Strain-displacement relationships

Mathematical problems of linear elasticity belong in the category of vector elliptic boundary value problems. The unknown functions are the components of the displacement vector. In Cartesian coordinates the displacement vector is:
$$
\begin{aligned}
\mathbf{u} & \stackrel{\text { def }}{ }=u_{x}(x, y, z) \mathbf{e}{x}+u{y}(x, y, z) \mathbf{e}{y}+u{z}(x, y, z) \mathbf{e}{z} \ & \equiv\left{u{x}(x, y, z) u_{y}(x, y, z) u_{z}(x, y, z)\right}^{T} \
& \equiv u_{i}\left(x_{j}\right)
\end{aligned}
$$
where $\mathbf{e}{x}, \mathbf{e}{y}, \mathbf{e}_{z}$ are the Cartesian basis vectors.
The formulation of problems of linear elasticity is based on three fundamental relationships: the strain-displacement equations, the stress-strain relationships and the equilibrium equations.

  1. Strain-displacement relationships. We introduce the infinitesimal strain-displacement relationships here. A detailed derivation of these relationships is presented in Section 9.2.1. By definition, the infinitesimal normal strain components are:
    $$
    \epsilon_{x} \equiv \epsilon_{x x} \stackrel{\text { def }}{=} \frac{\partial u_{x}}{\partial x} \quad \epsilon_{y} \equiv \epsilon_{y y} \stackrel{\text { def }}{=} \frac{\partial u_{y}}{\partial y} \quad \epsilon_{z} \equiv \epsilon_{z z} \stackrel{\text { def }}{=} \frac{\partial u_{z}}{\partial z}
    $$
    and the shear strain components are:
    $$
    \begin{aligned}
    &\left.\epsilon_{x y}=\epsilon_{y x} \equiv \frac{\gamma_{x y}}{2} \stackrel{\operatorname{def} 1}{=} \frac{\partial u_{x}}{\partial y}+\frac{\partial u_{y}}{\partial x}\right) \
    &\epsilon_{y z}=\epsilon_{z y} \equiv \frac{\gamma_{y z}}{2} \stackrel{\operatorname{det} 1}{=}\left(\frac{\partial u_{y}}{\partial z}+\frac{\partial u_{z}}{\partial y}\right) \
    &\epsilon_{z x}=\epsilon_{x z} \equiv \frac{\gamma_{z x}}{2} \stackrel{\text { def }}{=} \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_{z}}{\partial x}+\frac{\partial u_{x}}{\partial z}\right)
    \end{aligned}
    $$

where $\gamma_{x y}, \gamma_{y z}, \gamma_{z x}$ are called the engineering shear strain components. In index notation, the infinitesimal strain at a point is characterized by the strain tensor
$$
\epsilon_{i j} \stackrel{\text { def }}{=} \frac{1}{2}\left(u_{i, j}+u_{j, i}\right) .
$$

  1. Stress-strain relationships Mechanical stress is defined as force per unit area $\left(\mathrm{N} / \mathrm{m}^{2} \equiv \mathrm{Pa}\right)$. Since one Pascal (Pa) is a very small stress, the usual unit of mechanical stress is the Megapascal (MPa) which can be understood to mean either $10^{6} \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2}$ or $1 \mathrm{~N} / \mathrm{mm}^{2}$.
    The usual notation for stress components is illustrated on an infinitesimal volume element shown in Fig. 2.7. The indexing rules are as follows: Faces to which the positive $x, y, z$ axes are normal are called positive faces, the opposite faces are called negative faces. The normal stress components are denoted by $\sigma$, the shear stresses components by $\tau$. The normal stress components are assigned one subscript only, since the orientation of the face and the direction of the stress component are the same. For example, $\sigma_{x}$ is the stress component acting on the faces to which the $x$-axis is normal and the stress component is acting in the positive (resp. negative) coordinate direction on the positive (resp. negative) face. For the shear stresses, the first index refers to the coordinate direction of the normal to the face on which the shear stress is acting. The second index refers to the direction in which the shear stress component is acting.
    On a positive (resp. negative) face the positive stress components are oriented in the positive (resp. negative) coordinate directions. The reason for this is that if we subdivide a solid body into infinitesimal hexahedral volume elements, similar to the element shown in Fig. 2.7, then each negative face will be coincident with a positive face. By the action-reaction principle, the forces acting on those faces must have equal absolute value and opposite sign. In index notation $\sigma_{11} \equiv \sigma_{x}, \sigma_{12} \equiv \sigma_{x y} \equiv \tau_{x y}$, etc.

数学代写|计算方法代写computational method代考|Boundary and initial conditions

As in the case of heat conduction, we will consider three kinds of boundary conditions: prescribed displacements, prescribed tractions and spring boundary conditions. Tractions are forces per unit area acting on the boundary. Prescribed displacements and tractions are often specified in a normal-tangent reference frame.

  1. Prescribed displacement. One or more components of the displacement vector is prescribed on all or part of the boundary. This is called a kinematic boundary condition.
  2. Prescribed traction. One or more components of the traction vector is prescribed on all or part of the boundary. The definition of traction vector is given in Appendix K.1.
  3. Linear spring. A linear relationship is prescribed between the traction and displacement vector components. The general form of this relationship is:
    $$
    T_{i}=c_{i j}\left(d_{j}-u_{j}\right)
    $$
    where $T_{i}$ is the traction vector, $c_{i j}$ is a positive-definite matrix that represents the distributed spring coefficients; $d_{j}$ is a prescribed function that represents displacement imposed on the spring and $u_{j}$ is the (unknown) displacement vector function on the boundary. The spring coefficients $c_{i j}$ (in $\mathrm{N} / \mathrm{m}^{3}$ units) may be functions of the position $x_{k}$ but are independent of the displacement $u_{i}$. This is called a “Winkler spring ${ }^{12}$ “.
    A schematic representation of this boundary condition on an infinitesimal boundary surface element is shown in Fig. $2.8$ under the assumption that $c_{i j}$ is a diagonal matrix and therefore three spring coefficients $c_{1} \stackrel{\text { def }}{=} c_{11}, c_{2} \stackrel{\text { def }}{=} c_{22}, c_{3} \stackrel{\text { def }}{=} c_{33}$ characterize the elastic properties of the boundary condition.
    Fig. $2.8$ should be interpreted to mean that the imposed displacement $d_{i}$ will cause a differential force $\Delta F_{i}$ to act on the centroid of the surface element. Suspending the summation rule, the magnitude of $\Delta F_{i}$ is
    $$
    \Delta F_{i}=c_{i} \Delta A\left(d_{i}-u_{i}\right), \quad i=1,2,3
    $$
    where $u_{i}$ is the displacement of the surface element. The corresponding traction vector is:
    $$
    T_{i}=\lim {\Delta A \rightarrow 0} \frac{\Delta F{i}}{\Delta A}=c_{i}\left(d_{i}-u_{i}\right), \quad i=1,2,3 .
    $$

数学代写|计算方法代写computational method代考|Symmetry, antisymmetry and periodicity

Symmetry and antisymmetry of vectors in two dimensions with respect to the $y$ axis is illustrated in Fig. $2.9$

The definition of symmetry and antisymmetry of vectors in three dimensions is analogous: the corresponding vector components parallel to a plane of symmetry (resp. antisymmetry) have the same absolute value and the same (resp. opposite) sign. The corresponding vector components normal to a plane of symmetry (resp. antisymmetry) have the same absolute value and opposite (resp. same) sign.

In a plane of symmetry the normal displacement and the shearing traction components are zero. In a plane of antisymmetry the normal traction is zero and the in-plane components of the displacement vector are zero.

When the solution is periodic on $\Omega$ then a periodic sector of $\Omega$ has at least one periodic boundary segment pair denoted by $\partial \Omega_{p}^{+}$and $\partial \Omega_{p}^{-}$. On corresponding points of a periodic boundary segment pair, $P^{+} \in \partial \Omega_{p}^{+}$and $P^{-} \in \partial \Omega_{p}^{-}$the normal component of the displacement vector and the periodic in-plane components of the displacement vector have the same value. The normal component of the traction vector and the periodic in-plane components of the traction vector have the same absolute value but opposite sign.

Owing to the complexity of three-dimensional problems in elasticity, dimensional reduction is widely used. Various kinds of dimensional reduction are possible in elasticity, such as planar, axisymmetric, shell, plate, beam and bar models. Each of these model types is sufficiently important to have generated a substantial technical literature. In the following models for planar and axially symmetric problems are discussed. Models for beams, plates and shells will be discussed separately.

数学代写|计算方法代写computational method代考|Equations of linear elasticity – strong form

计算方法代写

数学代写|计算方法代写computational method代考|Strain-displacement relationships

线性弹性的数学问题属于向量椭圆边值问题的范畴。未知函数是位移矢量的分量。在笛卡尔坐标中,位移矢量为:
\begin{aligned} \mathbf{u} & \stackrel{\text { def }}{ }=u_{x}(x, y, z) \mathbf{e}{x}+u{y}(x, y, z) \mathbf{e}{y}+u{z}(x, y, z) \mathbf{e}{z} \ & \equiv\left{u{x}(x, y, z) u_{y}(x, y, z) u_{z}(x, y, z)\right}^{T} \ & \equiv u_{i}\left(x_{j}\right) \end{对齐}\begin{aligned} \mathbf{u} & \stackrel{\text { def }}{ }=u_{x}(x, y, z) \mathbf{e}{x}+u{y}(x, y, z) \mathbf{e}{y}+u{z}(x, y, z) \mathbf{e}{z} \ & \equiv\left{u{x}(x, y, z) u_{y}(x, y, z) u_{z}(x, y, z)\right}^{T} \ & \equiv u_{i}\left(x_{j}\right) \end{对齐}
在哪里和X,和是,和和是笛卡尔基向量。
线性弹性问题的表述基于三个基本关系:应变-位移方程、应力-应变关系和平衡方程。

  1. 应变-位移关系。我们在这里介绍了无穷小的应变-位移关系。这些关系的详细推导在第 9.2.1 节中介绍。根据定义,无穷小的法向应变分量为:
    εX≡εXX= 定义 ∂在X∂Xε是≡ε是是= 定义 ∂在是∂是ε和≡ε和和= 定义 ∂在和∂和
    剪应变分量为:
    εX是=ε是X≡CX是2=定义⁡1∂在X∂是+∂在是∂X) ε是和=ε和是≡C是和2=这⁡1(∂在是∂和+∂在和∂是) ε和X=εX和≡C和X2= 定义 12(∂在和∂X+∂在X∂和)

在哪里CX是,C是和,C和X称为工程剪应变分量。在指数符号中,一点的无穷小应变由应变张量表征
ε一世j= 定义 12(在一世,j+在j,一世).

  1. 应力-应变关系 机械应力定义为每单位面积的力(ñ/米2≡磷一种). 由于一个帕斯卡 (Pa) 是非常小的应力,因此机械应力的常用单位是兆帕 (MPa),可以理解为106 ñ/米2或者1 ñ/米米2.
    应力分量的常用符号在图 2.7 所示的一个无穷小体积单元上进行了说明。索引规则如下:X,是,和轴正常的称为正面,相反的面称为负面。法向应力分量表示为σ, 剪应力分量由τ. 法向应力分量仅分配一个下标,因为面的方向和应力分量的方向相同。例如,σX是作用在面的应力分量X- 轴是法线,应力分量在正(或负)面的正(或负)坐标方向上作用。对于剪切应力,第一个指标是指剪切应力作用面的法线坐标方向。第二个指标是指剪切应力分量作用的方向。
    在正(或负)面上,正应力分量朝向正(或负)坐标方向。这样做的原因是,如果我们将一个实体细分为无穷小的六面体体积单元,类似于图 2.7 中所示的单元,那么每个负面将与一个正面重合。根据作用-反作用原理,作用在这些面上的力必须具有相等的绝对值和相反的符号。在索引符号中σ11≡σX,σ12≡σX是≡τX是, ETC。

数学代写|计算方法代写computational method代考|Boundary and initial conditions

与热传导的情况一样,我们将考虑三种边界条件:规定位移、规定牵引力和弹簧边界条件。牵引力是作用在边界上的每单位面积的力。规定的位移和牵引力通常在法向切线参考系中指定。

  1. 规定的位移。位移矢量的一个或多个分量被规定在全部或部分边界上。这称为运动学边界条件。
  2. 规定的牵引力。牵引矢量的一个或多个分量被规定在全部或部分边界上。牵引矢量的定义见附录 K.1。
  3. 线性弹簧。在牵引力和位移矢量分量之间规定了线性关系。这种关系的一般形式是:
    吨一世=C一世j(dj−在j)
    在哪里吨一世是牵引矢量,C一世j是一个正定矩阵,表示分布的弹簧系数;dj是一个规定的函数,表示施加在弹簧上的位移,并且在j是边界上的(未知)位移矢量函数。弹簧系数C一世j(在ñ/米3单位)可能是位置的函数Xķ但与位移无关在一世. 这被称为“温克勒弹簧”12“。
    这种边界条件在一个无穷小的边界面单元上的示意图如图 1 所示。2.8在假设C一世j是对角矩阵,因此是三个弹簧系数C1= 定义 C11,C2= 定义 C22,C3= 定义 C33表征边界条件的弹性特性。
    如图。2.8应该被解释为意味着施加的位移d一世会产生不同的力ΔF一世作用于面元的质心。暂停求和规则,大小ΔF一世是
    ΔF一世=C一世Δ一种(d一世−在一世),一世=1,2,3
    在哪里在一世是面元的位移。对应的牵引向量为:
    吨一世=林Δ一种→0ΔF一世Δ一种=C一世(d一世−在一世),一世=1,2,3.

数学代写|计算方法代写computational method代考|Symmetry, antisymmetry and periodicity

二维向量的对称性和反对称性是轴如图所示。2.9

三维向量的对称性和反对称性的定义是类似的:平行于对称平面的相应向量分量(分别是反对称)具有相同的绝对值和相同的(或相反的)符号。垂直于对称平面(分别是反对称)的相应矢量分量具有相同的绝对值和相反的(相应的)符号。

在对称平面中,法向位移和剪切牵引分量为零。在反对称平面中,法向牵引力为零,位移矢量的平面内分量为零。

当解决方案是周期性的Ω然后是一个周期性扇区Ω具有至少一个周期性边界段对,表示为∂Ωp+和∂Ωp−. 在周期性边界段对的对应点上,磷+∈∂Ωp+和磷−∈∂Ωp−位移矢量的法向分量和位移矢量的周期性平面内分量具有相同的值。牵引矢量的法向分量和牵引矢量的周期性平面内分量具有相同的绝对值但符号相反。

由于弹性中三维问题的复杂性,降维被广泛使用。弹性的各种降维是可能的,例如平面、轴对称、壳、板、梁和杆模型。这些模型类型中的每一种都非常重要,足以产生大量的技术文献。下面讨论平面和轴对称问题的模型。梁、板和壳的模型将单独讨论。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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