数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Block Multiplication and Triangular Matrices

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计算线性代数是在计算机上解决线性代数问题(大型线性方程组、计算矩阵特征值、特征向量等)的数字算法。

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数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Block Multiplication and Triangular Matrices

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Block Multiplication

A rectangular matrix $A$ can be partitioned into submatrices by drawing horizontal lines between selected rows and vertical lines between selected columns. For example, the matrix
$$
A=\left[\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \
4 & 5 & 6 \
7 & 8 & 9
\end{array}\right]
$$ can be partitioned as
(i) $\left[\begin{array}{ll}A_{11} & A_{12} \ A_{21} & A_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l|ll}1 & 2 & 3 \ \hline 4 & 5 & 6 \ 7 & 8 & 9\end{array}\right]$,
(ii) $\left[\boldsymbol{a}: 1, \boldsymbol{a}{: 2}, \boldsymbol{a}: 3\right]=\left[\begin{array}{c|c|c}1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \ 7 & 8 & 9\end{array}\right]$, (iii) $\left[\begin{array}{c}a{1}^{T} \ a_{2:}^{T} \ a_{3:}^{T}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll}\frac{1}{2} & 3 \ \frac{4}{}\end{array}\right.$
(iv) $\left[A_{11}, A_{12}\right]=\left[\begin{array}{c|ll}1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \ 7 & 8 & 9\end{array}\right]$.
In ( $i$ ) the matrix $A$ is divided into four submatrices
$$
A_{11}=[1], \quad A_{12}=[2,3], A_{21}=\left[\begin{array}{l}
4 \
7
\end{array}\right] \text {, and } A_{22}=\left[\begin{array}{ll}
5 & 6 \
8 & 9
\end{array}\right] \text {, }
$$
while in (ii) and (iii) A has been partitioned into columns and rows, respectively. The submatrices in a partition are often referred to as blocks and a partitioned matrix is sometimes called a block matrix.

In the following we assume that $\boldsymbol{A} \in \mathbb{C}^{m \times p}$ and $\boldsymbol{B} \in \mathbb{C}^{p \times n}$. Here are some rules and observations for block multiplication.

  1. If $\boldsymbol{B}=\left[\boldsymbol{b}{: 1}, \ldots, \boldsymbol{b}{: n}\right]$ is partitioned into columns then the partition of the product $\boldsymbol{A B}$ into columns is
    $$
    A B=\left[A b_{: 1}, A b_{: 2}, \ldots, A b_{: n}\right]
    $$
    In particular, if $\boldsymbol{I}$ is the identity matrix of order $p$ then
    $$
    A=A I=A\left[e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{p}\right]=\left[A e_{1}, A e_{2}, \ldots, A e_{p}\right]
    $$
    and we see that column $j$ of $A$ can be written $A e_{j}$ for $j=1, \ldots, p$.
  2. Similarly, if $\boldsymbol{A}$ is partitioned into rows then
    $$
    \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{c}
    a_{1:}^{T} \
    a_{2:}^{T} \
    \vdots \
    a_{m:}^{T}
    \end{array}\right] \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{c}
    a_{1:}^{T} \boldsymbol{B} \
    a_{2:}^{T} \boldsymbol{B} \
    \vdots \
    a_{m:}^{T} \boldsymbol{B}
    \end{array}\right]
    $$
    and taking $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{I}$ it follows that row $i$ of $\boldsymbol{B}$ can be written $\boldsymbol{e}_{i}^{T} \boldsymbol{B}$ for $i=1, \ldots, m$.

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Triangular Matrices

We need some basic facts about triangular matrices and we start with
Lemma $2.4$ (Inverse of a Block Triangular Matrix) Suppose
$$
A=\left[\begin{array}{cc}
\boldsymbol{A}{11} & \boldsymbol{A}{12} \
\mathbf{0} & \boldsymbol{A}{22} \end{array}\right] $$ where $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{A}{11}$ and $\boldsymbol{A}{22}$ are square matrices. Then $\boldsymbol{A}$ is nonsingular if and only if both $A{11}$ and $A_{22}$ are nonsingular. In that case
$$
\boldsymbol{A}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}
\boldsymbol{A}{11}^{-1} & \boldsymbol{C} \ \mathbf{0} & \boldsymbol{A}{22}^{-1}
\end{array}\right]
$$
for some matrix $\boldsymbol{C}$.
Proof Suppose $A$ is nonsingular. We partition $B:=A^{-1}$ conformally with $A$ and have
$$
B A=\left[\begin{array}{ll}
B_{11} & B_{12} \
B_{21} & B_{22}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}
A_{11} & A_{12} \
\mathbf{0} & A_{22}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
I & 0 \
\mathbf{0} & I
\end{array}\right]=I
$$
Using block-multiplication we find
$$
B_{11} A_{11}=I, B_{21} A_{11}=\mathbf{0}, B_{21} A_{12}+B_{22} A_{22}=I, \quad B_{11} A_{12}+B_{12} A_{22}=\mathbf{0}
$$

The first equation implies that $A_{11}$ is nonsingular, this in turn implies that $\boldsymbol{B}{21}=$ $\mathbf{0} \boldsymbol{A}{11}^{-1}=\mathbf{0}$ in the second equation, and then the third equation simplifies to $\boldsymbol{B}{22} \boldsymbol{A}{22}=\boldsymbol{I}$. We conclude that also $\boldsymbol{A}{22}$ is nonsingular. From the fourth equation we find $$ B{12}=C=-A_{11}^{-1} A_{12} A_{22}^{-1}
$$
Conversely, if $\boldsymbol{A}{11}$ and $\boldsymbol{A}{22}$ are nonsingular then
$$
\left[\begin{array}{cc}
A_{11}^{-1} & -A_{11}^{-1} A_{12} A_{22}^{-1} \
\mathbf{0} & A_{22}^{-1}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}
A_{11} & A_{12} \
\mathbf{0} & A_{22}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
I & 0 \
0 & I
\end{array}\right]=I
$$
and $A$ is nonsingular with the indicated inverse.
Consider now a triangular matrix.

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|3 by 3 Example

Gaussian elimination with row interchanges is the classical method for solving $n$ linear equations in $n$ unknowns. ${ }^{1}$ We first recall how it works on a $3 \times 3$ system.
Example $3.1$ (Gaussian Elimination on a $3 \times 3$ System) Consider a nonsingular system of three equations in three unknowns:
$a_{11}^{(1)} x_{1}+a_{12}^{(1)} x_{2}+a_{13}^{(1)} x_{3}=b_{1}^{(1)}, \quad \mathbf{I}$
$a_{21}^{(1)} x_{1}+a_{22}^{(1)} x_{2}+a_{23}^{(1)} x_{3}=b_{2}^{(1)}, \quad$ II
$a_{31}^{(1)} x_{1}+a_{32}^{(1)} x_{2}+a_{33}^{(1)} x_{3}=b_{3}^{(1)}$. III.

To solve this system by Gaussian elimination suppose $a_{11}^{(1)} \neq 0$. We subtract $l_{21}^{(1)}:=$ $a_{21}^{(1)} / a_{11}^{(1)}$ times equation I from equation II and $l_{31}^{(1)}:=a_{31}^{(1)} / a_{11}^{(1)}$ times equation I from equation III. The result is
$a_{11}^{(1)} x_{1}+a_{12}^{(1)} x_{2}+a_{13}^{(1)} x_{3}=b_{1}^{(1)}, \quad \mathrm{I}$
$a_{22}^{(2)} x_{2}+a_{23}^{(2)} x_{3}=b_{2}^{(2)}, \quad \mathbf{I I}^{\prime}$
$a_{32}^{(2)} x_{2}+a_{33}^{(2)} x_{3}=b_{3}^{(2)}, \quad \mathrm{III}^{\prime}$,
where $b_{i}^{(2)}=b_{i}^{(1)}-l_{i 1}^{(1)} b_{i}^{(1)}$ for $i=2,3$ and $a_{i j}^{(2)}=a_{i j}^{(1)}-l_{i, 1}^{(1)} a_{1 j}^{(1)}$ for $i, j=2,3$. If $a_{11}^{(1)}=0$ and $a_{21}^{(1)} \neq 0$ we first interchange equation I and equation II. If $a_{11}^{(1)}=$ $a_{21}^{(1)}=0$ we interchange equation I and III. Since the system is nonsingular the first column cannot be zero and an interchange is always possible.

If $a_{22}^{(2)} \neq 0$ we subtract $l_{32}^{(2)}:=a_{32}^{(2)} / a_{22}^{(2)}$ times equation $\mathrm{II}^{\prime}$ from equation $\mathrm{III}^{\prime}$ to obtain
$a_{11}^{(1)} x_{1}+a_{12}^{(1)} x_{2}+a_{13}^{(1)} x_{3}=b_{1}^{(1)}, \quad \mathbf{I}$
$a_{22}^{(2)} x_{2}+a_{23}^{(2)} x_{3}=b_{2}^{(2)}, \quad$ II $^{\prime}$
$a_{33}^{(3)} x_{3}=b_{3}^{(3)}, \quad \mathrm{III}^{\prime \prime}$,
where $a_{33}^{(3)}=a_{33}^{(2)}-l_{32}^{(2)} a_{23}^{(2)}$ and $b_{3}^{(3)}=b_{3}^{(2)}-l_{32}^{(2)} b_{2}^{(2)}$. If $a_{22}^{(2)}=0$ then $a_{32}^{(2)} \neq 0$ (cf. Sect. 3.4) and we first interchange equation $\mathrm{II}^{\prime}$ and equation $\mathrm{III}^{\prime}$. The reduced system is easy to solve since it is upper triangular. Starting from the bottom and moving upwards we find
$$
\begin{aligned}
&x_{3}=b_{3}^{(3)} / a_{33}^{(3)} \
&x_{2}=\left(b_{2}^{(2)}-a_{23}^{(2)} x_{3}\right) / a_{22}^{(2)} \
&x_{1}=\left(b_{1}^{(1)}-a_{12}^{(1)} x_{2}-a_{13}^{(1)} x_{3}\right) / a_{11}^{(1)}
\end{aligned}
$$

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Block Multiplication and Triangular Matrices

计算线性代数代考

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Block Multiplication

一个矩形矩阵一个可以通过在选定行之间绘制水平线和在选定列之间绘制垂直线来将其划分为子矩阵。例如,矩阵

一个=[123 456 789]可以划分为
(i)\left[\begin{array}{ll}A_{11} & A_{12} \A_{21} & A_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l| ll}1 & 2 & 3 \ \hline 4 & 5 & 6 \ 7 & 8 & 9\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}A_{11} & A_{12} \A_{21} & A_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l| ll}1 & 2 & 3 \ \hline 4 & 5 & 6 \ 7 & 8 & 9\end{array}\right],
(ii)[一个:1,一个:2,一个:3]=[123 456 789], (iii)[一个1吨 一个2:吨 一个3:吨]=[123 4
(四)[一个11,一个12]=[123 456 789].
在 (一世) 矩阵一个分为四个子矩阵

一个11=[1],一个12=[2,3],一个21=[4 7], 和 一个22=[56 89], 
而在 (ii) 和 (iii) 中,A 已分别被划分为列和行。分区中的子矩阵通常称为块,分区矩阵有时称为块矩阵。

下面我们假设一个∈C米×p和乙∈Cp×n. 以下是块乘法的一些规则和观察。

  1. 如果乙=[b:1,…,b:n]被划分为列,然后是产品的划分一个乙成列是
    一个乙=[一个b:1,一个b:2,…,一个b:n]
    特别是,如果我是阶单位矩阵p然后
    一个=一个我=一个[和1,和2,…,和p]=[一个和1,一个和2,…,一个和p]
    我们看到那一栏j的一个可以写一个和j为了j=1,…,p.
  2. 同样,如果一个然后被划分为行
    一个乙=[一个1:吨 一个2:吨 ⋮ 一个米:吨]乙=[一个1:吨乙 一个2:吨乙 ⋮ 一个米:吨乙]
    并采取一个=我它跟随那一行一世的乙可以写和一世吨乙为了一世=1,…,米.

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Triangular Matrices

我们需要一些关于三角矩阵的基本事实,我们从
引理开始2.4(块三角矩阵的逆)假设

一个=[一个11一个12 0一个22]在哪里一个,一个11和一个22是方阵。然后一个当且仅当两者都是非奇异的一个11和一个22是非奇异的。在这种情况下

一个−1=[一个11−1C 0一个22−1]
对于一些矩阵C.
证明假设一个是非奇异的。我们分区乙:=一个−1符合一个并且有

乙一个=[乙11乙12 乙21乙22][一个11一个12 0一个22]=[我0 0我]=我
使用块乘法我们发现

乙11一个11=我,乙21一个11=0,乙21一个12+乙22一个22=我,乙11一个12+乙12一个22=0

第一个方程意味着一个11是非奇异的,这反过来意味着乙21= 0一个11−1=0在第二个方程中,然后第三个方程简化为乙22一个22=我. 我们得出结论也一个22是非奇异的。从第四个方程我们发现

乙12=C=−一个11−1一个12一个22−1
相反,如果一个11和一个22那么是非奇异的

[一个11−1−一个11−1一个12一个22−1 0一个22−1][一个11一个12 0一个22]=[我0 0我]=我
和一个与指示的逆是非奇异的。
现在考虑一个三角矩阵。

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|3 by 3 Example

行交换的高斯消元法是经典的求解方法n线性方程组n未知数。1我们首先回顾一下它是如何在一个3×3系统。
例子3.1(高斯消去法3×3系统)考虑三个未知数的三个方程的非奇异系统:
一个11(1)X1+一个12(1)X2+一个13(1)X3=b1(1),我
一个21(1)X1+一个22(1)X2+一个23(1)X3=b2(1),二
一个31(1)X1+一个32(1)X2+一个33(1)X3=b3(1). 三、

用高斯消元法求解这个系统假设一个11(1)≠0. 我们减去l21(1):= 一个21(1)/一个11(1)从方程 II 乘以方程 I 和l31(1):=一个31(1)/一个11(1)从方程 III 乘以方程 I。结果是
一个11(1)X1+一个12(1)X2+一个13(1)X3=b1(1),我
一个22(2)X2+一个23(2)X3=b2(2),我我′
一个32(2)X2+一个33(2)X3=b3(2),我我我′,
其中b一世(2)=b一世(1)−l一世1(1)b一世(1)为了一世=2,3和一个一世j(2)=一个一世j(1)−l一世,1(1)一个1j(1)为了一世,j=2,3. 如果一个11(1)=0和一个21(1)≠0我们首先交换方程 I 和方程 II。如果一个11(1)= 一个21(1)=0我们交换等式 I 和 III。由于系统是非奇异的,因此第一列不能为零,并且始终可以交换。

如果一个22(2)≠0我们减去l32(2):=一个32(2)/一个22(2)时间方程我我′从方程我我我′获得
一个11(1)X1+一个12(1)X2+一个13(1)X3=b1(1),我
一个22(2)X2+一个23(2)X3=b2(2),二′
一个33(3)X3=b3(3),我我我′′,
其中一个33(3)=一个33(2)−l32(2)一个23(2)和b3(3)=b3(2)−l32(2)b2(2). 如果一个22(2)=0然后一个32(2)≠0(参见第 3.4 节)我们首先交换方程我我′和方程我我我′. 简化的系统很容易解决,因为它是上三角形的。从底部开始向上移动我们发现

X3=b3(3)/一个33(3) X2=(b2(2)−一个23(2)X3)/一个22(2) X1=(b1(1)−一个12(1)X2−一个13(1)X3)/一个11(1)

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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