数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|LDL* Factorization and Positive Definite

如果你也在 怎样代写计算线性代数Computational Linear Algebra这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

计算线性代数是在计算机上解决线性代数问题(大型线性方程组、计算矩阵特征值、特征向量等)的数字算法。

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航 在代写计算线性代数Computational Linear Algebra方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写计算线性代数Computational Linear Algebra代写方面经验极为丰富,各种代写计算线性代数Computational Linear Algebra相关的作业也就用不着说。

我们提供的计算线性代数Computational Linear Algebra及其相关学科的代写,服务范围广, 其中包括但不限于:

  • Statistical Inference 统计推断
  • Statistical Computing 统计计算
  • Advanced Probability Theory 高等概率论
  • Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
  • (Generalized) Linear Models 广义线性模型
  • Statistical Machine Learning 统计机器学习
  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|LDL* Factorization and Positive Definite

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|The LDL* Factorization

There are special versions of the LU factorization for Hermitian and positive definite matrices which takes advantage of the special properties of such matrices. The most important ones are

  1. the LDL* factorization which is an LDU factorization with $\boldsymbol{U}=\boldsymbol{L}^{*}$ and $\boldsymbol{D}$ a diagonal matrix with real diagonal elements
  2. the $\mathrm{LL}^{}$ factorization which is an LU factorization with $\boldsymbol{U}=\boldsymbol{L}^{}$ and $l_{i i}>0$ all $i$.

A matrix $A$ having an LDL factorization must be Hermitian since $D$ is real so that $A^{}=\left(\boldsymbol{L} \boldsymbol{D} L^{}\right)^{}=\boldsymbol{L} D^{} L^{}=A$. The LL factorization is called a Cholesky factorization .

Example $4.1$ (LDL* of $2 \times 2$ Hermitian Matrix) Let $a, d \in \mathbb{R}$ and $b \in \mathrm{C}$. An LDL factorization of a $2 \times 2$ Hermitian matrix must satisfy the equations
$$
\left[\begin{array}{ll}
a & \bar{b} \
b & d
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
1 & 0 \
l_{1} & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}
d_{1} & 0 \
0 & d_{2}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}
1 & \overline{l_{1}} \
0 & 1
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
d_{1} & d_{1} \overline{l_{1}} \
d_{1} l_{1} & d_{1}\left|l_{1}\right|^{2}+d_{2}
\end{array}\right]
$$ for the unknowns $l_{1}$ in $\boldsymbol{L}$ and $d_{1}, d_{2}$ in $\boldsymbol{D}$. They are determined from
$$
d_{1}=a . \quad a l_{1}=b, \quad d_{2}=d-a\left|l_{1}\right|^{2}
$$
There are essentially three cases

  1. $a \neq 0$ : The matrix has a unique LDL* factorization. Note that $d_{1}$ and $d_{2}$ are real.
  2. $a=b=0$ : The LDL* factorization exists, but it is not unique. Any value for $l_{1}$ can be used.
  3. $a=0, b \neq 0$ : No LDL* factorization exists.
    Lemma 3. I carries over to the Hermitian case.

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Positive Definite and Semidefinite Matrices

Given $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$. The function $f: \mathbb{C}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$ given by
$$
f(x)=x^{*} A x=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{i j} \bar{x}{i} x{j}
$$

is called a quadratic form. Note that $f$ is real valued if $A$ is Hermitian. Indeed, $\overline{f(x)}=\overline{x^{} A x}=\left(x^{} A x\right)^{}=x^{} A^{} x=f(x)$ Definition 4.1 (Positive Definite Matrix) We say that a matrix $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ is (i) positive definite if $A^{}=A$ and $x^{} A x>0$ for all nonzero $x \in \mathbb{C}^{n}$; (ii) positive semidefinite if $A^{}=A$ and $x^{*} A x \geq 0$ for all $x \in \mathbb{C}^{n}$;
(iii) negative (semi)definite if $-A$ is positive (semi)definite.
We observe that

  1. The zero-matrix is positive semidefinite, while the unit matrix is positive definite.
  2. The matrix $A$ is positive definite if and only if it is positive semidefinite and $x^{*} A x=0 \Longrightarrow x=0$.
  3. A positive definite matrix $A$ is nonsingular. For if $A x=0$ then $x^{*} A x=0$ and this implies that $\boldsymbol{x}=\mathbf{0}$.
  4. It follows from Lemma $4.6$ that a nonsingular positive semidefinite matrix is positive definite.
  5. If $A$ is real then it is enough to show definiteness for real vectors only. Indeed, if $\boldsymbol{A} \in \mathbb{R}^{n \times n}, \boldsymbol{A}^{T}=\boldsymbol{A}$ and $\boldsymbol{x}^{T} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}>0$ for all nonzero $\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^{n}$ then $z^{} \boldsymbol{A} z>0$ for all nonzero $z \in \mathbb{C}^{n}$. For if $z=x+i y \neq 0$ with $x, y \in \mathbb{R}^{n}$ then $$ \begin{aligned} z^{} \boldsymbol{A} z &=(\boldsymbol{x}-i \boldsymbol{y})^{T} \boldsymbol{A}(\boldsymbol{x}+i \boldsymbol{y})=\boldsymbol{x}^{T} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}-i \boldsymbol{y}^{T} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}+i \boldsymbol{x}^{T} \boldsymbol{A} \boldsymbol{y}-i^{2} \boldsymbol{y}^{T} \boldsymbol{A} \boldsymbol{y} \
    &=\boldsymbol{x}^{T} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}^{T} \boldsymbol{A} \boldsymbol{y}
    \end{aligned}
    $$
    and this is positive since at least one of the real vectors $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}$ is nonzero.

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|The Cholesky Factorization

Recall that a principal submatrix $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{r}) \in \mathbb{C}^{k \times k}$ of a matrix $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ has elements $b_{i, j}=a_{r i, r j}$ for $i, j=1, \ldots, k$, where $1 \leq r_{1}<\cdots<r_{k} \leq n$. It is a leading principal submatrix, denoted $A_{[k]}$ if $\boldsymbol{r}=[1,2, \ldots, k]^{T}$. We have
$$
\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{r})=\boldsymbol{X}^{*} \boldsymbol{A} \boldsymbol{X}, \quad \boldsymbol{X}:=\left[\boldsymbol{e}{r{1}}, \ldots, \boldsymbol{e}{r{k}}\right] \in \mathbb{C}^{n \times k}
$$
Lemma 4.4 (Submatrices) Any principal submatrix of a positive (semi)definite matrix is positive (semi)definite.

Proof Let $\boldsymbol{X}$ and $\boldsymbol{B}:=\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{r})$ be given by (4.5). If $\boldsymbol{A}$ is positive semidefinite then $B$ is positive semidefinite since
$$
\boldsymbol{y}^{} \boldsymbol{B} \boldsymbol{y}=\boldsymbol{y}^{} \boldsymbol{X}^{} \boldsymbol{A} \boldsymbol{X} \boldsymbol{y}=\boldsymbol{x}^{} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x} \geq 0, \quad \boldsymbol{y} \in \mathbb{C}^{k}, \quad \boldsymbol{x}:=\boldsymbol{X} \boldsymbol{y}
$$
Suppose $\boldsymbol{A}$ is positive definite and $\boldsymbol{y}^{*} \boldsymbol{B} \boldsymbol{y}=0$. By (4.6) we have $\boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ and since $\boldsymbol{X}$ has linearly independent columns it follows that $\boldsymbol{y}=\mathbf{0}$. We conclude that $\boldsymbol{B}$ is positive definite.

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|LDL* Factorization and Positive Definite

计算线性代数代考

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|The LDL* Factorization

Hermitian 和正定矩阵有特殊版本的 LU 分解,它利用了这些矩阵的特殊性质。最重要的是

  1. LDL* 分解,它是一个 LDU 分解在=大号∗和D具有实对角元素的对角矩阵
  2. 这大号大号因式分解,这是一个 LU 因式分解在=大号和l一世一世>0全部一世.

矩阵一个具有 LDL 分解必须是 Hermitian,因为D是真实的一个=(大号D大号)=大号D大号=一个. LL 分解称为 Cholesky 分解。

例子4.1(低密度脂蛋白*2×2Hermitian 矩阵)让一个,d∈R和b∈C. 的 LDL 因式分解2×2Hermitian 矩阵必须满足方程

[一个b¯ bd]=[10 l11][d10 0d2][1l1¯ 01]=[d1d1l1¯ d1l1d1|l1|2+d2]对于未知数l1在大号和d1,d2在D. 它们由

d1=一个.一个l1=b,d2=d−一个|l1|2
基本上有三种情况

  1. 一个≠0:矩阵具有唯一的 LDL* 分解。注意d1和d2是真实的。
  2. 一个=b=0:存在 LDL* 分解,但它不是唯一的。任何价值l1可以使用。
  3. 一个=0,b≠0:不存在 LDL* 分解。
    引理 3. 我继续讨论 Hermitian 案例。

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Positive Definite and Semidefinite Matrices

给定一个∈Cn×n. 功能F:Cn→R由

F(X)=X∗一个X=∑一世=1n∑j=1n一个一世jX¯一世Xj

称为二次型。注意F是真正的价值,如果一个是厄米特。的确,F(X)¯=X一个X¯=(X一个X)=X一个X=F(X)定义 4.1(正定矩阵)我们说一个矩阵一个∈Cn×n是 (i) 正定如果一个=一个和X一个X>0对于所有非零X∈Cn; (ii) 半正定如果一个=一个和X∗一个X≥0对所有人X∈Cn;
(iii) 否定(半)定如果−一个是正(半)定的。
我们观察到

  1. 零矩阵是半正定的,而单位矩阵是正定的。
  2. 矩阵一个是正定的当且仅当它是半正定的并且X∗一个X=0⟹X=0.
  3. 一个正定矩阵一个是非奇异的。如果一个X=0然后X∗一个X=0这意味着X=0.
  4. 它遵循引理4.6非奇异半正定矩阵是正定矩阵。
  5. 如果一个是真实的,那么仅显示实向量的确定性就足够了。确实,如果一个∈Rn×n,一个吨=一个和X吨一个X>0对于所有非零X∈Rn然后和一个和>0对于所有非零和∈Cn. 如果和=X+一世是≠0和X,是∈Rn然后和一个和=(X−一世是)吨一个(X+一世是)=X吨一个X−一世是吨一个X+一世X吨一个是−一世2是吨一个是 =X吨一个X+是吨一个是
    这是肯定的,因为至少有一个实向量X,是是非零的。

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|The Cholesky Factorization

回想一下主子矩阵乙=一个(r,r)∈Cķ×ķ矩阵的一个∈Cn×n有元素b一世,j=一个r一世,rj为了一世,j=1,…,ķ, 在哪里1≤r1<⋯<rķ≤n. 它是一个领先的主子矩阵,表示为一个[ķ]如果r=[1,2,…,ķ]吨. 我们有

一个(r,r)=X∗一个X,X:=[和r1,…,和rķ]∈Cn×ķ
引理 4.4(子矩阵) 正(半)定矩阵的任何主子矩阵都是正(半)定矩阵。

证明让X和乙:=一个(r,r)由 (4.5) 给出。如果一个那么是半正定的乙是半正定的,因为

是乙是=是X一个X是=X一个X≥0,是∈Cķ,X:=X是
认为一个是正定的并且是∗乙是=0. 由 (4.6) 我们有X=0并且因为X具有线性独立的列,它遵循是=0. 我们得出结论乙是肯定的。

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考 请认准statistics-lab™

统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。

金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构,多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务,包括但不限于Essay代写,Assignment代写,Dissertation代写,Report代写,小组作业代写,Proposal代写,Paper代写,Presentation代写,计算机作业代写,论文修改和润色,网课代做,exam代考等等。写作范围涵盖高中,本科,研究生等海外留学全阶段,辐射金融,经济学,会计学,审计学,管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者,也有海外名校硕博留学生,每位写作老师都拥有过硬的语言能力,专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创,100%专业,100%准时,100%满意。

随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写问卷设计与分析代写
PYTHON代写回归分析与线性模型代写
MATLAB代写方差分析与试验设计代写
STATA代写机器学习/统计学习代写
SPSS代写计量经济学代写
EVIEWS代写时间序列分析代写
EXCEL代写深度学习代写
SQL代写各种数据建模与可视化代写

发表回复

您的电子邮箱地址不会被公开。