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数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|A Short Review of Linear Algebra
Many mathematical systems have analogous properties to vectors in $\mathbb{R}^{2}$ or $\mathbb{R}^{3}$.
Definition 1.1 (Real Vector Space) A real vector space is a nonempty set $\mathcal{V}$, whose objects are called vectors, together with two operations $+: \mathcal{V} \times \mathcal{V} \longrightarrow \mathcal{V}$ and $:: \mathbb{R} \times \mathcal{V} \longrightarrow \mathcal{V}$, called addition and scalar multiplication, satisfying the following axioms for all vectors $\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}$ in $\mathcal{V}$ and scalars $c, d$ in $\mathbb{R}$.
(V1) The sum $\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}$ is in $\mathcal{V}$,
(V2) $u+v=v+u$,
(V3) $u+(v+w)=(u+v)+w$
(V4) There is a zero vector 0 such that $u+0=u$,
(V5) For each $\boldsymbol{u}$ in $\mathcal{V}$ there is a vector $-\boldsymbol{u}$ in $\mathcal{V}$ such that $\boldsymbol{u}+(-\boldsymbol{u})=\mathbf{0}$,
(S1) The scalar multiple $c \cdot \boldsymbol{u}$ is in $\mathcal{V}$,
(S2) $c \cdot(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v})=c \cdot \boldsymbol{u}+\boldsymbol{c} \cdot \boldsymbol{v}$,
(S3) $(c+d) \cdot \boldsymbol{u}=c \cdot \boldsymbol{u}+d \cdot \boldsymbol{u}$,
(S4) $c \cdot(d \cdot \boldsymbol{u})=(c d) \cdot \boldsymbol{u}$
(S5) $1 \cdot \boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}$.
The scalar multiplication symbol is often omitted, writing $c v$ instead of $c \cdot v$. We define $u-v:=\boldsymbol{u}+(-v)$. We call $\mathcal{V}$ a complex vector space if the scalars consist of all complex numbers $\mathbb{C}$. In this book a vector space is either real or complex.
From the axioms it follows that
- The zero vector is unique.
- For each $u \in \mathcal{V}$ the negative $-u$ of $u$ is unique.
- $0 u=0, c 0=0$, and $-u=(-1) u$.
Here are some examples - The spaces $\mathbb{R}^{n}$ and $\mathbb{C}^{n}$, where $n \in \mathbb{N}$, are real and complex vector spaces, respectively.
- Let $\mathcal{D}$ be a subset of $R$ and $d \in \mathbb{N}$. The set $\mathcal{V}$ of all functions $f, g: \mathcal{D} \rightarrow \mathbb{R}^{d}$ is a real vector space with
$$
(f+g)(t):=f(t)+g(t), \quad(c f)(t):=c f(t), \quad t \in \mathcal{D}, \quad c \in \mathbb{R} .
$$
Two functions $f, g$ in $\mathcal{V}$ are equal if $f(t)=g(t)$ for all $t \in \mathcal{D}$. The zero element is the zero function given by $f(t)=0$ for all $t \in \mathcal{D}$ and the negative of $f$ is given by $-f=(-1) f$. In the following we will use boldface letters for functions only if $d>1$.
数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Linear Independence and Bases
Definition $1.3$ (Linear Independence) A set $\mathcal{X}=\left{x_{1}, \ldots, x_{n}\right}$ of nonzero vectors in a vector space is linearly dependent if 0 can be written as a nontrivial linear combination of $\left{x_{1}, \ldots, x_{n}\right}$. Otherwise $\mathcal{X}$ is linearly independent.
A set of vectors $\mathcal{X}=\left{x_{1}, \ldots, x_{n}\right}$ is linearly independent if and only if
$$
c_{1} \boldsymbol{x}{1}+\cdots+c{n} \boldsymbol{x}{n}=\mathbf{0} \quad \Longrightarrow \quad c{1}=\cdots=c_{n}=0
$$
Suppose $\left{x_{1}, \ldots, x_{n}\right}$ is linearly independent. Then
- If $x \in \operatorname{span}(\mathcal{X})$ then the scalars $c_{1}, \ldots, c_{n}$ in the representation $\boldsymbol{x}=c_{1} x_{1}+\cdots+$ $c_{n} x_{n}$ are unique.
- Any nontrivial linear combination of $x_{1}, \ldots, x_{n}$ is nonzero,
Lemma $1.1$ (Linear Independence and Span) Suppose $v_{1}, \ldots, v_{n}$ span a vector space $\mathcal{V}$ and that $w_{1}, \ldots, w_{k}$ are linearly independent vectors in $\mathcal{V}$. Then $k \leq n$.Proof Suppose $k>n$. Write $w_{1}$ as a linear combination of elements from the set $\mathcal{X}{0}:=\left{v{1}, \ldots, v_{n}\right}$, say $w_{1}=c_{1} v_{1}+\cdots+c_{n} v_{n}$. Since $w_{1} \neq \mathbf{0}$ not all the $c$ ‘s are equal to zero. Pick a nonzero $c$, say $c_{i_{1}}$. Then $v_{i_{1}}$ can be expressed as a linear combination of $w_{1}$ and the remaining $v$ ‘s. So the set $\mathcal{X}{1}:=$ $\left{w{1}, v_{1}, \ldots, v_{i_{1}-1}, v_{i_{1}+1}, \ldots, v_{n}\right}$ must also be a spanning set for $\mathcal{V}$. We repeat this for $w_{2}$ and $\mathcal{X}{1}$. In the linear combination $w{2}=d_{i_{1}} w_{1}+\sum_{j \neq i_{1}} d_{j} v_{j}$, we must have $d_{i_{2}} \neq 0$ for some $i_{2}$ with $i_{2} \neq i_{1}$. For otherwise $w_{2}=d_{1} w_{1}$ contradicting the linear independence of the $w$ ‘s. So the set $\mathcal{X}{2}$ consisting of the $v$ ‘s with $v{i_{1}}$ replaced by $w_{1}$ and $v_{i_{2}}$ replaced by $w_{2}$ is again a spanning set for $\mathcal{V}$. Repeating this process $n-2$ more times we obtain a spanning set $\mathcal{X}{n}$ where $v{1}, \ldots, v_{n}$ have been replaced by $w_{1}, \ldots, w_{n}$. Since $k>n$ we can then write $w_{k}$ as a linear combination of $w_{1}, \ldots, w_{n}$ contradicting the linear independence of the $w$ ‘s. We conclude that $k \leq n$.
数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Subspaces
Definition $1.5$ (Subspace) A nonempty subset $\mathcal{S}$ of a real or complex vector space $\mathcal{V}$ is called a subspace of $\mathcal{V}$ if
(V1) The sum $u+v$ is in $\mathcal{S}$ for any $u, v \in \mathcal{S}$.
(S1) The scalar multiple $c \boldsymbol{u}$ is in $\mathcal{S}$ for any scalar $c$ and any $\boldsymbol{u} \in \mathcal{S}$.
Using the operations in $\mathcal{V}$, any subspace $\mathcal{S}$ of $\mathcal{V}$ is a vector space, i.e., all 10 axioms $V 1-V 5$ and $S 1-S 5$ are satisfied for $\mathcal{S}$. In particular, $\mathcal{S}$ must contain the zero element in $\mathcal{V}$. This follows since the operations of vector addition and scalar multiplication are inherited from $\mathcal{V}$.
Example $1.2$ (Examples of Subspaces)
- ${\mathbf{0}}$, where $\mathbf{0}$ is the zero vector is a subspace, the trivial subspace. The dimension of the trivial subspace is defined to be zero. All other subspaces are nontrivial.
- $\mathcal{V}$ is a subspace of itself.
- $\operatorname{span}(\mathcal{X})$ is a subspace of $\mathcal{V}$ for any $\mathcal{X}=\left{x_{1}, \ldots, x_{n}\right} \subseteq \mathcal{V}$. Indeed, it is easy to see that (V1) and (S1) hold.
- The sum of two subspaces $\mathcal{S}$ and $\mathcal{T}$ of a vector space $\mathcal{V}$ is defined by
$$
\mathcal{S}+\mathcal{T}:={s+t: s \in \mathcal{S} \text { and } t \in \mathcal{T}}
$$
Clearly (V1) and (S1) hold and it is a subspace of $\mathcal{V}$. - The intersection of two subspaces $\mathcal{S}$ and $\mathcal{T}$ of a vector space $\mathcal{V}$ is defined by
$$
\mathcal{S} \cap \mathcal{T}:={x: x \in \mathcal{S} \text { and } x \in \mathcal{T}}
$$
It is a subspace of $\mathcal{V}$. - The union of two subspaces $\mathcal{S}$ and $\mathcal{T}$ of a vector space $\mathcal{V}$ is defined by
$$
\mathcal{S} \cup \mathcal{T}:={x: x \in \mathcal{S} \text { or } x \in \mathcal{T}}
$$
In general it is not a subspace of $\mathcal{V}$. - A sum of two subspaces $\mathcal{S}$ and $\mathcal{T}$ of a vector space $\mathcal{V}$ is called a direct sum and denoted $\mathcal{S} \oplus \mathcal{T}$ if $\mathcal{S} \cap \mathcal{T}={0}$
计算线性代数代考
数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|A Short Review of Linear Algebra
许多数学系统具有类似于向量的性质R2或者R3.
定义 1.1（实向量空间） 实向量空间是一个非空集在，其对象称为向量，以及两个操作+:在×在⟶在和::R×在⟶在，称为加法和标量乘法，满足所有向量的以下公理在,在,在在在和标量C,d在R.
(V1) 总和在+在在在,
(V2)在+在=在+在,
(V3)在+(在+在)=(在+在)+在
(V4) 有一个零向量 0 使得在+0=在,
(V5) 对于每个在在在有一个向量−在在在这样在+(−在)=0,
(S1) 标量倍数C⋅在在在,
(S2)C⋅(在+在)=C⋅在+C⋅在,
(S3)(C+d)⋅在=C⋅在+d⋅在,
(S4)C⋅(d⋅在)=(Cd)⋅在
(S5)1⋅在=在.
标量乘法符号经常被省略，写作C在代替C⋅在. 我们定义在−在:=在+(−在). 我们称之为在如果标量由所有复数组成，则为复向量空间C. 在本书中，向量空间要么是实数，要么是复数。
从公理可以得出
- 零向量是唯一的。
- 对于每个在∈在消极的−在的在是独特的。
- 0在=0,C0=0， 和−在=(−1)在.
这里有些例子 - 空间Rn和Cn， 在哪里n∈ñ, 分别是实向量空间和复向量空间。
- 让D成为的一个子集R和d∈ñ. 套装在所有功能F,G:D→Rd是一个实向量空间
(F+G)(吨):=F(吨)+G(吨),(CF)(吨):=CF(吨),吨∈D,C∈R.
两个功能F,G在在相等，如果F(吨)=G(吨)对所有人吨∈D. 零元素是由下式给出的零函数F(吨)=0对所有人吨∈D和否定的F是（谁）给的−F=(−1)F. 在下文中，我们将仅在以下情况下使用粗体字母来表示函数d>1.
数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Linear Independence and Bases
定义1.3（线性独立）一组\mathcal{X}=\left{x_{1}, \ldots, x_{n}\right}\mathcal{X}=\left{x_{1}, \ldots, x_{n}\right}向量空间中的非零向量是线性相关的，如果 0 可以写成\left{x_{1}, \ldots, x_{n}\right}\left{x_{1}, \ldots, x_{n}\right}. 否则X是线性独立的。
一组向量\mathcal{X}=\left{x_{1}, \ldots, x_{n}\right}\mathcal{X}=\left{x_{1}, \ldots, x_{n}\right}线性独立当且仅当
C1X1+⋯+CnXn=0⟹C1=⋯=Cn=0
认为\left{x_{1}, \ldots, x_{n}\right}\left{x_{1}, \ldots, x_{n}\right}是线性独立的。然后
- 如果X∈跨度(X)然后是标量C1,…,Cn在表示中X=C1X1+⋯+ CnXn是独一无二的。
- 的任何非平凡线性组合X1,…,Xn非零，
引理1.1（线性独立和跨度）假设在1,…,在n跨越向量空间在然后在1,…,在ķ是线性独立向量在. 然后ķ≤n.证明假设ķ>n. 写在1作为集合中元素的线性组合\mathcal{X}{0}:=\left{v{1}, \ldots, v_{n}\right}\mathcal{X}{0}:=\left{v{1}, \ldots, v_{n}\right}， 说在1=C1在1+⋯+Cn在n. 自从在1≠0不是所有的C’s 等于零。选择一个非零C， 说C一世1. 然后在一世1可以表示为的线性组合在1和剩下的在的。所以集X1:= \left{w{1}, v_{1}, \ldots, v_{i_{1}-1}, v_{i_{1}+1}, \ldots, v_{n}\right}\left{w{1}, v_{1}, \ldots, v_{i_{1}-1}, v_{i_{1}+1}, \ldots, v_{n}\right}也必须是一个跨越集在. 我们重复这个在2和X1. 在线性组合中在2=d一世1在1+∑j≠一世1dj在j, 我们必须有d一世2≠0对于一些一世2和一世2≠一世1. 否则在2=d1在1与线性独立性相矛盾在的。所以集X2由在与在一世1取而代之在1和在一世2取而代之在2又是一个跨越集在. 重复这个过程n−2更多次我们获得一个跨越集Xn在哪里在1,…,在n已被替换在1,…,在n. 自从ķ>n然后我们可以写在ķ作为一个线性组合在1,…,在n与线性独立性相矛盾在的。我们得出结论ķ≤n.
数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Subspaces
定义1.5（子空间）非空子集小号实数或复数向量空间的在被称为子空间在if
(V1) 总和在+在在小号对于任何在,在∈小号.
(S1) 标量倍数C在在小号对于任何标量C和任何在∈小号.
使用中的操作在, 任何子空间小号的在是一个向量空间，即所有 10 个公理在1−在5和小号1−小号5满足于小号. 尤其是，小号必须包含零元素在. 这是因为向量加法和标量乘法的运算继承自在.
例子1.2（子空间示例）
- 0， 在哪里0是零向量是一个子空间，平凡子空间。平凡子空间的维数被定义为零。所有其他子空间都是不平凡的。
- 在是它自己的一个子空间。
- 跨度(X)是一个子空间在对于任何\mathcal{X}=\left{x_{1}, \ldots, x_{n}\right} \subseteq \mathcal{V}\mathcal{X}=\left{x_{1}, \ldots, x_{n}\right} \subseteq \mathcal{V}. 事实上，很容易看出 (V1) 和 (S1) 成立。
- 两个子空间之和小号和吨向量空间的在定义为
小号+吨:=s+吨:s∈小号 和 吨∈吨
显然 (V1) 和 (S1) 成立，它是在. - 两个子空间的交集小号和吨向量空间的在定义为
小号∩吨:=X:X∈小号 和 X∈吨
它是一个子空间在. - 两个子空间的并集小号和吨向量空间的在定义为
小号∪吨:=X:X∈小号 或者 X∈吨
一般来说，它不是在. - 两个子空间的和小号和吨向量空间的在被称为直接和并表示小号⊕吨如果小号∩吨=0
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。