### 数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|MATH 1014

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## 数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|A Short Review of Linear Algebra

Many mathematical systems have analogous properties to vectors in $\mathbb{R}^{2}$ or $\mathbb{R}^{3}$.
Definition 1.1 (Real Vector Space) A real vector space is a nonempty set $\mathcal{V}$, whose objects are called vectors, together with two operations $+: \mathcal{V} \times \mathcal{V} \longrightarrow \mathcal{V}$ and $:: \mathbb{R} \times \mathcal{V} \longrightarrow \mathcal{V}$, called addition and scalar multiplication, satisfying the following axioms for all vectors $\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}$ in $\mathcal{V}$ and scalars $c, d$ in $\mathbb{R}$.
(V1) The sum $\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}$ is in $\mathcal{V}$,
(V2) $u+v=v+u$,
(V3) $u+(v+w)=(u+v)+w$
(V4) There is a zero vector 0 such that $u+0=u$,
(V5) For each $\boldsymbol{u}$ in $\mathcal{V}$ there is a vector $-\boldsymbol{u}$ in $\mathcal{V}$ such that $\boldsymbol{u}+(-\boldsymbol{u})=\mathbf{0}$,
(S1) The scalar multiple $c \cdot \boldsymbol{u}$ is in $\mathcal{V}$,
(S2) $c \cdot(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v})=c \cdot \boldsymbol{u}+\boldsymbol{c} \cdot \boldsymbol{v}$,
(S3) $(c+d) \cdot \boldsymbol{u}=c \cdot \boldsymbol{u}+d \cdot \boldsymbol{u}$,
(S4) $c \cdot(d \cdot \boldsymbol{u})=(c d) \cdot \boldsymbol{u}$
(S5) $1 \cdot \boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}$.
The scalar multiplication symbol is often omitted, writing $c v$ instead of $c \cdot v$. We define $u-v:=\boldsymbol{u}+(-v)$. We call $\mathcal{V}$ a complex vector space if the scalars consist of all complex numbers $\mathbb{C}$. In this book a vector space is either real or complex.
From the axioms it follows that

1. The zero vector is unique.
2. For each $u \in \mathcal{V}$ the negative $-u$ of $u$ is unique.
3. $0 u=0, c 0=0$, and $-u=(-1) u$.
Here are some examples
4. The spaces $\mathbb{R}^{n}$ and $\mathbb{C}^{n}$, where $n \in \mathbb{N}$, are real and complex vector spaces, respectively.
5. Let $\mathcal{D}$ be a subset of $R$ and $d \in \mathbb{N}$. The set $\mathcal{V}$ of all functions $f, g: \mathcal{D} \rightarrow \mathbb{R}^{d}$ is a real vector space with
$$(f+g)(t):=f(t)+g(t), \quad(c f)(t):=c f(t), \quad t \in \mathcal{D}, \quad c \in \mathbb{R} .$$
Two functions $f, g$ in $\mathcal{V}$ are equal if $f(t)=g(t)$ for all $t \in \mathcal{D}$. The zero element is the zero function given by $f(t)=0$ for all $t \in \mathcal{D}$ and the negative of $f$ is given by $-f=(-1) f$. In the following we will use boldface letters for functions only if $d>1$.

## 数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Linear Independence and Bases

Definition $1.3$ (Linear Independence) A set $\mathcal{X}=\left{x_{1}, \ldots, x_{n}\right}$ of nonzero vectors in a vector space is linearly dependent if 0 can be written as a nontrivial linear combination of $\left{x_{1}, \ldots, x_{n}\right}$. Otherwise $\mathcal{X}$ is linearly independent.
A set of vectors $\mathcal{X}=\left{x_{1}, \ldots, x_{n}\right}$ is linearly independent if and only if
$$c_{1} \boldsymbol{x}{1}+\cdots+c{n} \boldsymbol{x}{n}=\mathbf{0} \quad \Longrightarrow \quad c{1}=\cdots=c_{n}=0$$
Suppose $\left{x_{1}, \ldots, x_{n}\right}$ is linearly independent. Then

1. If $x \in \operatorname{span}(\mathcal{X})$ then the scalars $c_{1}, \ldots, c_{n}$ in the representation $\boldsymbol{x}=c_{1} x_{1}+\cdots+$ $c_{n} x_{n}$ are unique.
2. Any nontrivial linear combination of $x_{1}, \ldots, x_{n}$ is nonzero,
Lemma $1.1$ (Linear Independence and Span) Suppose $v_{1}, \ldots, v_{n}$ span a vector space $\mathcal{V}$ and that $w_{1}, \ldots, w_{k}$ are linearly independent vectors in $\mathcal{V}$. Then $k \leq n$.Proof Suppose $k>n$. Write $w_{1}$ as a linear combination of elements from the set $\mathcal{X}{0}:=\left{v{1}, \ldots, v_{n}\right}$, say $w_{1}=c_{1} v_{1}+\cdots+c_{n} v_{n}$. Since $w_{1} \neq \mathbf{0}$ not all the $c$ ‘s are equal to zero. Pick a nonzero $c$, say $c_{i_{1}}$. Then $v_{i_{1}}$ can be expressed as a linear combination of $w_{1}$ and the remaining $v$ ‘s. So the set $\mathcal{X}{1}:=$ $\left{w{1}, v_{1}, \ldots, v_{i_{1}-1}, v_{i_{1}+1}, \ldots, v_{n}\right}$ must also be a spanning set for $\mathcal{V}$. We repeat this for $w_{2}$ and $\mathcal{X}{1}$. In the linear combination $w{2}=d_{i_{1}} w_{1}+\sum_{j \neq i_{1}} d_{j} v_{j}$, we must have $d_{i_{2}} \neq 0$ for some $i_{2}$ with $i_{2} \neq i_{1}$. For otherwise $w_{2}=d_{1} w_{1}$ contradicting the linear independence of the $w$ ‘s. So the set $\mathcal{X}{2}$ consisting of the $v$ ‘s with $v{i_{1}}$ replaced by $w_{1}$ and $v_{i_{2}}$ replaced by $w_{2}$ is again a spanning set for $\mathcal{V}$. Repeating this process $n-2$ more times we obtain a spanning set $\mathcal{X}{n}$ where $v{1}, \ldots, v_{n}$ have been replaced by $w_{1}, \ldots, w_{n}$. Since $k>n$ we can then write $w_{k}$ as a linear combination of $w_{1}, \ldots, w_{n}$ contradicting the linear independence of the $w$ ‘s. We conclude that $k \leq n$.

## 数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Subspaces

Definition $1.5$ (Subspace) A nonempty subset $\mathcal{S}$ of a real or complex vector space $\mathcal{V}$ is called a subspace of $\mathcal{V}$ if
(V1) The sum $u+v$ is in $\mathcal{S}$ for any $u, v \in \mathcal{S}$.
(S1) The scalar multiple $c \boldsymbol{u}$ is in $\mathcal{S}$ for any scalar $c$ and any $\boldsymbol{u} \in \mathcal{S}$.
Using the operations in $\mathcal{V}$, any subspace $\mathcal{S}$ of $\mathcal{V}$ is a vector space, i.e., all 10 axioms $V 1-V 5$ and $S 1-S 5$ are satisfied for $\mathcal{S}$. In particular, $\mathcal{S}$ must contain the zero element in $\mathcal{V}$. This follows since the operations of vector addition and scalar multiplication are inherited from $\mathcal{V}$.
Example $1.2$ (Examples of Subspaces)

1. ${\mathbf{0}}$, where $\mathbf{0}$ is the zero vector is a subspace, the trivial subspace. The dimension of the trivial subspace is defined to be zero. All other subspaces are nontrivial.
2. $\mathcal{V}$ is a subspace of itself.
3. $\operatorname{span}(\mathcal{X})$ is a subspace of $\mathcal{V}$ for any $\mathcal{X}=\left{x_{1}, \ldots, x_{n}\right} \subseteq \mathcal{V}$. Indeed, it is easy to see that (V1) and (S1) hold.
4. The sum of two subspaces $\mathcal{S}$ and $\mathcal{T}$ of a vector space $\mathcal{V}$ is defined by
$$\mathcal{S}+\mathcal{T}:={s+t: s \in \mathcal{S} \text { and } t \in \mathcal{T}}$$
Clearly (V1) and (S1) hold and it is a subspace of $\mathcal{V}$.
5. The intersection of two subspaces $\mathcal{S}$ and $\mathcal{T}$ of a vector space $\mathcal{V}$ is defined by
$$\mathcal{S} \cap \mathcal{T}:={x: x \in \mathcal{S} \text { and } x \in \mathcal{T}}$$
It is a subspace of $\mathcal{V}$.
6. The union of two subspaces $\mathcal{S}$ and $\mathcal{T}$ of a vector space $\mathcal{V}$ is defined by
$$\mathcal{S} \cup \mathcal{T}:={x: x \in \mathcal{S} \text { or } x \in \mathcal{T}}$$
In general it is not a subspace of $\mathcal{V}$.
7. A sum of two subspaces $\mathcal{S}$ and $\mathcal{T}$ of a vector space $\mathcal{V}$ is called a direct sum and denoted $\mathcal{S} \oplus \mathcal{T}$ if $\mathcal{S} \cap \mathcal{T}={0}$

## 数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|A Short Review of Linear Algebra

(V1) 总和在+在在在,
(V2)在+在=在+在,
(V3)在+(在+在)=(在+在)+在
(V4) 有一个零向量 0 使得在+0=在,
(V5) 对于每个在在在有一个向量−在在在这样在+(−在)=0,
(S1) 标量倍数C⋅在在在,
(S2)C⋅(在+在)=C⋅在+C⋅在,
(S3)(C+d)⋅在=C⋅在+d⋅在,
(S4)C⋅(d⋅在)=(Cd)⋅在
(S5)1⋅在=在.

1. 零向量是唯一的。
2. 对于每个在∈在消极的−在的在是独特的。
3. 0在=0,C0=0， 和−在=(−1)在.
这里有些例子
4. 空间Rn和Cn， 在哪里n∈ñ, 分别是实向量空间和复向量空间。
5. 让D成为的一个子集R和d∈ñ. 套装在所有功能F,G:D→Rd是一个实向量空间
(F+G)(吨):=F(吨)+G(吨),(CF)(吨):=CF(吨),吨∈D,C∈R.
两个功能F,G在在相等，如果F(吨)=G(吨)对所有人吨∈D. 零元素是由下式给出的零函数F(吨)=0对所有人吨∈D和否定的F是（谁）给的−F=(−1)F. 在下文中，我们将仅在以下情况下使用粗体字母来表示函数d>1.

## 数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Linear Independence and Bases

C1X1+⋯+CnXn=0⟹C1=⋯=Cn=0

1. 如果X∈跨度⁡(X)然后是标量C1,…,Cn在表示中X=C1X1+⋯+ CnXn是独一无二的。
2. 的任何非平凡线性组合X1,…,Xn非零，
引理1.1（线性独立和跨度）假设在1,…,在n跨越向量空间在然后在1,…,在ķ是线性独立向量在. 然后ķ≤n.证明假设ķ>n. 写在1作为集合中元素的线性组合\mathcal{X}{0}:=\left{v{1}, \ldots, v_{n}\right}\mathcal{X}{0}:=\left{v{1}, \ldots, v_{n}\right}， 说在1=C1在1+⋯+Cn在n. 自从在1≠0不是所有的C’s 等于零。选择一个非零C， 说C一世1. 然后在一世1可以表示为的线性组合在1和剩下的在的。所以集X1:= \left{w{1}, v_{1}, \ldots, v_{i_{1}-1}, v_{i_{1}+1}, \ldots, v_{n}\right}\left{w{1}, v_{1}, \ldots, v_{i_{1}-1}, v_{i_{1}+1}, \ldots, v_{n}\right}也必须是一个跨越集在. 我们重复这个在2和X1. 在线性组合中在2=d一世1在1+∑j≠一世1dj在j, 我们必须有d一世2≠0对于一些一世2和一世2≠一世1. 否则在2=d1在1与线性独立性相矛盾在的。所以集X2由在与在一世1取而代之在1和在一世2取而代之在2又是一个跨越集在. 重复这个过程n−2更多次我们获得一个跨越集Xn在哪里在1,…,在n已被替换在1,…,在n. 自从ķ>n然后我们可以写在ķ作为一个线性组合在1,…,在n与线性独立性相矛盾在的。我们得出结论ķ≤n.

## 数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Subspaces

(V1) 总和在+在在小号对于任何在,在∈小号.
(S1) 标量倍数C在在小号对于任何标量C和任何在∈小号.

1. 0， 在哪里0是零向量是一个子空间，平凡子空间。平凡子空间的维数被定义为零。所有其他子空间都是不平凡的。
2. 在是它自己的一个子空间。
3. 跨度⁡(X)是一个子空间在对于任何\mathcal{X}=\left{x_{1}, \ldots, x_{n}\right} \subseteq \mathcal{V}\mathcal{X}=\left{x_{1}, \ldots, x_{n}\right} \subseteq \mathcal{V}. 事实上，很容易看出 (V1) 和 (S1) 成立。
4. 两个子空间之和小号和吨向量空间的在定义为
小号+吨:=s+吨:s∈小号 和 吨∈吨
显然 (V1) 和 (S1) 成立，它是在.
5. 两个子空间的交集小号和吨向量空间的在定义为
小号∩吨:=X:X∈小号 和 X∈吨
它是一个子空间在.
6. 两个子空间的并集小号和吨向量空间的在定义为
小号∪吨:=X:X∈小号 或者 X∈吨
一般来说，它不是在.
7. 两个子空间的和小号和吨向量空间的在被称为直接和并表示小号⊕吨如果小号∩吨=0

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

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