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数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Real and Complex Inner Products
Definition 5.1 (Inner Product) An inner product in a complex vector space $\mathcal{V}$ is a function $\mathcal{V} \times \mathcal{V} \rightarrow \mathrm{C}$ satisfying for all $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}, z \in \mathcal{V}$ and all $a, b \in \mathrm{C}$ the following conditions:
- $\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}\rangle \geq 0$ with equality if and only if $\boldsymbol{x}=\mathbf{0}$.
(positivity) - $\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle=\overline{\langle\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}\rangle}$
(skew symmetry) - $(a \boldsymbol{x}+b \boldsymbol{y}, z\rangle=a\langle\boldsymbol{x}, z\rangle+b\langle\boldsymbol{y}, z\rangle$.
(linearity)
The pair $(\mathcal{V},\langle\cdot, \cdot))$ is called an inner product space.
Note the complex conjugate in 2 . Since
$$
\langle\boldsymbol{x}, a \boldsymbol{y}+b z\rangle=\overline{\langle a \boldsymbol{y}+b z, \boldsymbol{x}\rangle}=\overline{a\langle\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}\rangle+b\langle z, \boldsymbol{x}\rangle}=\bar{a} \overline{\langle\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}\rangle}+\overline{b\langle z, \boldsymbol{x}\rangle}
$$
we find
$$
\langle\boldsymbol{x}, a \boldsymbol{y}+b z\rangle=\bar{a}\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle+\bar{b}\langle\boldsymbol{x}, z\rangle, \quad\langle a \boldsymbol{x}, a \boldsymbol{y}\rangle=|a|^{2}\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle
$$
An inner product in a real vector space $\mathcal{V}$ is real valued function satisfying Properties $1,2,3$ in Definition $5.1$, where we can replace skew symmetry by symmetry
$$
\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle=\langle\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}\rangle \quad(\text { symmetry }) .
$$
In the real case we have linearity in both variables since we can remove the complex conjugates in (5.1).
Recall that (cf. (1.10)) the standard inner product in $\mathbb{C}^{n}$ is given by
$$
\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle:=\boldsymbol{y}^{} x=\boldsymbol{x}^{T} \bar{y}=\sum_{j=1}^{n} x_{j} \overline{y_{j}} $$ Note the complex conjugate on $\boldsymbol{y}$. It is clearly an inner product in $\mathbb{C}^{n}$. The function $$ |\cdot|: \mathcal{V} \rightarrow \mathbb{R}, \quad x \longmapsto|x|:=\sqrt{\langle x, x\rangle} $$ is called the inner product norm. The inner product norm for the standard inner product is the Euclidian norm $$ |x|=|x|_{2}=\sqrt{x^{} x}
$$
数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Orthogonality
Definition $5.2$ (Orthogonality) Two vectors $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}$ in a real or complex inner product space are orthogonal or perpendicular, denoted as $\boldsymbol{x} \perp \boldsymbol{y}$, if $\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle=0$. The vectors are orthonormal if in addition $|x|=|y|=1$.
From the definitions (5.6), (5.20) of angle $\theta$ between two nonzero vectors in $\mathbb{R}^{n}$ or $\mathbb{C}^{n}$ it follows that $\boldsymbol{x} \perp \boldsymbol{y}$ if and only if $\theta=\pi / 2$.
Theorem $5.3$ (Pythagoras) For a real or complex inner product space
$$
|x+y|^{2}=|x|^{2}+|y|^{2}, \quad \text { if } \quad x \perp y .
$$
Proof We set $a=1$ in (5.5) and use the orthogonality.
Definition $5.3$ (Orthogonal- and Orthonormal Bases) A set of nonzero vectors $\left{v_{1}, \ldots, v_{k}\right}$ in a subspace $\mathcal{S}$ of a real or complex inner product space is an orthogonal basis for $\mathcal{S}$ if it is a basis for $\mathcal{S}$ and $\left\langle v_{i}, v_{j}\right\rangle=0$ for $i \neq j$. It is an orthonormal basis for $\mathcal{S}$ if it is a basis for $\mathcal{S}$ and $\left\langle\boldsymbol{v}{i}, \boldsymbol{v}{j}\right\rangle=\delta_{i j}$ for all $i, j$.
A basis for a subspace of an inner product space can be turned into an orthogonalor orthonormal basis for the subspace by the following construction (Fig. 5.1).
数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Sum of Subspaces and Orthogonal Projections
Suppose $\mathcal{S}$ and $\mathcal{T}$ are subspaces of a real or complex vector space $\mathcal{V}$ endowed with an inner product $\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle$. We define
- Sum: $\mathcal{S}+\mathcal{T}:={s+t: s \in \mathcal{S}$ and $t \in \mathcal{T}}$,
- direct sum $\mathcal{S} \oplus \mathcal{T}:$ a sum where $\mathcal{S} \cap \mathcal{T}={0}$,
- orthogonal sum $\mathcal{S} \oplus \mathcal{T}$ : a sum where $\langle s, t\rangle=0$ for all $s \in \mathcal{S}$ and $t \in \mathcal{T}$.
We note that - $\mathcal{S}+\mathcal{T}$ is a vector space, a subspace of $\mathcal{V}$ which in this book will be $\mathbb{R}^{n}$ or $\mathcal{C}^{n}$ (cf. Example 1.2).
- Every $v \in \mathcal{S} \oplus \mathcal{T}$ can be decomposed uniquely in the form $v=s+t$, where $s \in \mathcal{S}$ and $t \in \mathcal{T}$. For if $v=s_{1}+t_{1}=s_{2}+t_{2}$ for $s_{1}, s_{2} \in \mathcal{S}$ and $t_{1}, t_{2} \in \mathcal{T}$, then $0=s_{1}-s_{2}+t_{1}-t_{2}$ or $s_{1}-s_{2}=t_{2}-t_{1}$. It follows that $s_{1}-s_{2}$ and $t_{2}-t_{1}$ belong to both $\mathcal{S}$ and $\mathcal{T}$ and hence to $\mathcal{S} \cap \mathcal{T}$. But then $s_{1}-s_{2}=t_{2}-t_{1}=0$ so $s_{1}=s_{2}$ and $t_{2}=t_{1}$.
By $(1.8)$ in the introduction chapter we have
$$
\operatorname{dim}(\mathcal{S} \oplus \mathcal{T})=\operatorname{dim}(\mathcal{S})+\operatorname{dim}(\mathcal{T})
$$
The subspaces $\mathcal{S}$ and $\mathcal{T}$ in a direct sum are called complementary subspaces. - An orthogonal sum is a direct sum. For if $v \in \mathcal{S} \cap \mathcal{T}$ then $v$ is orthogonal to itself, $\langle v, v\rangle=0$, which implies that $v=0$. We often write $\mathcal{T}:=\mathcal{S}^{\perp}$.
- Suppose $v=s_{0}+t_{0} \in \mathcal{S} \oplus \mathcal{T}$, where $s_{0} \in \mathcal{S}$ and $t_{0} \in \mathcal{T}$. The vector $s_{0}$ is called the oblique projection of $v$ into $\mathcal{S}$ along $\mathcal{T}$. Similarly, The vector $t_{0}$ is called the oblique projection of $v$ into $\mathcal{T}$ along $\mathcal{S}$. If $\mathcal{S} \oplus \mathcal{T}$ is an orthogonal sum then $s_{0}$ is called the orthogonal projection of $v$ into $\mathcal{S}$. Similarly, $t_{0}$ is called the orthogonal projection of $v$ in $\mathcal{T}=\mathcal{S}^{\perp}$. The orthogonal projections are illustrated in Fig. 5.2.
计算线性代数代考
数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Real and Complex Inner Products
定义 5.1（内积）复向量空间中的内积在是一个函数在×在→C让所有人满意X,是,和∈在和所有一个,b∈C以下条件：
- ⟨X,X⟩≥0当且仅当X=0.
（积极性） - ⟨X,是⟩=⟨是,X⟩¯
（斜对称） - (一个X+b是,和⟩=一个⟨X,和⟩+b⟨是,和⟩.
（线性）
对(在,⟨⋅,⋅))称为内积空间。
注意 2 中的复共轭。自从
⟨X,一个是+b和⟩=⟨一个是+b和,X⟩¯=一个⟨是,X⟩+b⟨和,X⟩¯=一个¯⟨是,X⟩¯+b⟨和,X⟩¯
我们发现
⟨X,一个是+b和⟩=一个¯⟨X,是⟩+b¯⟨X,和⟩,⟨一个X,一个是⟩=|一个|2⟨X,是⟩
实向量空间中的内积在是满足属性的实值函数1,2,3在定义5.1, 我们可以用对称性代替斜对称
⟨X,是⟩=⟨是,X⟩( 对称 ).
在实际情况下，我们在两个变量中都有线性，因为我们可以去除（5.1）中的复共轭。
回想一下（参见（1.10））中的标准内积Cn是（谁）给的
⟨X,是⟩:=是X=X吨是¯=∑j=1nXj是j¯注意复共轭是. 它显然是一个内积Cn. 功能|⋅|:在→R,X⟼|X|:=⟨X,X⟩称为内积范数。标准内积的内积范数是欧几里得范数|X|=|X|2=XX
数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Orthogonality
定义5.2（正交性）两个向量X,是在实数或复数内积空间中是正交或垂直的，表示为X⊥是， 如果⟨X,是⟩=0. 如果另外，这些向量是正交的|X|=|是|=1.
根据角度的定义（5.6）、（5.20）θ在两个非零向量之间Rn或者Cn它遵循X⊥是当且仅当θ=圆周率/2.
定理5.3（毕达哥拉斯）对于实数或复数内积空间
|X+是|2=|X|2+|是|2, 如果 X⊥是.
证明我们设置一个=1在（5.5）中并使用正交性。
定义5.3（正交基和正交基）一组非零向量\left{v_{1}, \ldots, v_{k}\right}\left{v_{1}, \ldots, v_{k}\right}在子空间中小号实数或复数内积空间的正交基小号如果它是一个基础小号和⟨在一世,在j⟩=0为了一世≠j. 它是一个正交基小号如果它是一个基础小号和⟨在一世,在j⟩=d一世j对所有人一世,j.
内积空间的子空间的基可以通过以下构造转换为子空间的正交或正交基（图 5.1）。
数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Sum of Subspaces and Orthogonal Projections
认为小号和吨是实数或复数向量空间的子空间在赋有内积⟨X,是⟩. 我们定义
- 和：小号+吨:=s+吨:s∈小号$一个nd$吨∈吨,
- 直接和小号⊕吨:总和小号∩吨=0,
- 正交和小号⊕吨: 总和⟨s,吨⟩=0对所有人s∈小号和吨∈吨.
我们注意到 - 小号+吨是一个向量空间，一个子空间在在本书中将是Rn或者Cn（参见示例 1.2）。
- 每一个在∈小号⊕吨可以唯一地分解为形式在=s+吨， 在哪里s∈小号和吨∈吨. 如果在=s1+吨1=s2+吨2为了s1,s2∈小号和吨1,吨2∈吨， 然后0=s1−s2+吨1−吨2或者s1−s2=吨2−吨1. 它遵循s1−s2和吨2−吨1属于两者小号和吨并因此小号∩吨. 但是之后s1−s2=吨2−吨1=0所以s1=s2和吨2=吨1.
经过(1.8)在介绍章节中，我们有
暗淡(小号⊕吨)=暗淡(小号)+暗淡(吨)
子空间小号和吨在直接和中称为互补子空间。 - 正交和是直接和。如果在∈小号∩吨然后在与自身正交，⟨在,在⟩=0，这意味着在=0. 我们经常写吨:=小号⊥.
- 认为在=s0+吨0∈小号⊕吨， 在哪里s0∈小号和吨0∈吨. 向量s0称为斜投影在进入小号沿着吨. 同样，向量吨0称为斜投影在进入吨沿着小号. 如果小号⊕吨那么是正交和s0称为正交投影在进入小号. 相似地，吨0称为正交投影在在吨=小号⊥. 正交投影如图 5.2 所示。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
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