### 数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|MATH4076

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## 数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Real and Complex Inner Products

Definition 5.1 (Inner Product) An inner product in a complex vector space $\mathcal{V}$ is a function $\mathcal{V} \times \mathcal{V} \rightarrow \mathrm{C}$ satisfying for all $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}, z \in \mathcal{V}$ and all $a, b \in \mathrm{C}$ the following conditions:

1. $\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}\rangle \geq 0$ with equality if and only if $\boldsymbol{x}=\mathbf{0}$.
(positivity)
2. $\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle=\overline{\langle\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}\rangle}$
(skew symmetry)
3. $(a \boldsymbol{x}+b \boldsymbol{y}, z\rangle=a\langle\boldsymbol{x}, z\rangle+b\langle\boldsymbol{y}, z\rangle$.
(linearity)
The pair $(\mathcal{V},\langle\cdot, \cdot))$ is called an inner product space.
Note the complex conjugate in 2 . Since
$$\langle\boldsymbol{x}, a \boldsymbol{y}+b z\rangle=\overline{\langle a \boldsymbol{y}+b z, \boldsymbol{x}\rangle}=\overline{a\langle\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}\rangle+b\langle z, \boldsymbol{x}\rangle}=\bar{a} \overline{\langle\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}\rangle}+\overline{b\langle z, \boldsymbol{x}\rangle}$$
we find
$$\langle\boldsymbol{x}, a \boldsymbol{y}+b z\rangle=\bar{a}\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle+\bar{b}\langle\boldsymbol{x}, z\rangle, \quad\langle a \boldsymbol{x}, a \boldsymbol{y}\rangle=|a|^{2}\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle$$
An inner product in a real vector space $\mathcal{V}$ is real valued function satisfying Properties $1,2,3$ in Definition $5.1$, where we can replace skew symmetry by symmetry
$$\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle=\langle\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}\rangle \quad(\text { symmetry }) .$$
In the real case we have linearity in both variables since we can remove the complex conjugates in (5.1).
Recall that (cf. (1.10)) the standard inner product in $\mathbb{C}^{n}$ is given by
$$\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle:=\boldsymbol{y}^{} x=\boldsymbol{x}^{T} \bar{y}=\sum_{j=1}^{n} x_{j} \overline{y_{j}}$$ Note the complex conjugate on $\boldsymbol{y}$. It is clearly an inner product in $\mathbb{C}^{n}$. The function $$|\cdot|: \mathcal{V} \rightarrow \mathbb{R}, \quad x \longmapsto|x|:=\sqrt{\langle x, x\rangle}$$ is called the inner product norm. The inner product norm for the standard inner product is the Euclidian norm $$|x|=|x|_{2}=\sqrt{x^{} x}$$

## 数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Orthogonality

Definition $5.2$ (Orthogonality) Two vectors $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}$ in a real or complex inner product space are orthogonal or perpendicular, denoted as $\boldsymbol{x} \perp \boldsymbol{y}$, if $\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle=0$. The vectors are orthonormal if in addition $|x|=|y|=1$.

From the definitions (5.6), (5.20) of angle $\theta$ between two nonzero vectors in $\mathbb{R}^{n}$ or $\mathbb{C}^{n}$ it follows that $\boldsymbol{x} \perp \boldsymbol{y}$ if and only if $\theta=\pi / 2$.
Theorem $5.3$ (Pythagoras) For a real or complex inner product space
$$|x+y|^{2}=|x|^{2}+|y|^{2}, \quad \text { if } \quad x \perp y .$$
Proof We set $a=1$ in (5.5) and use the orthogonality.
Definition $5.3$ (Orthogonal- and Orthonormal Bases) A set of nonzero vectors $\left{v_{1}, \ldots, v_{k}\right}$ in a subspace $\mathcal{S}$ of a real or complex inner product space is an orthogonal basis for $\mathcal{S}$ if it is a basis for $\mathcal{S}$ and $\left\langle v_{i}, v_{j}\right\rangle=0$ for $i \neq j$. It is an orthonormal basis for $\mathcal{S}$ if it is a basis for $\mathcal{S}$ and $\left\langle\boldsymbol{v}{i}, \boldsymbol{v}{j}\right\rangle=\delta_{i j}$ for all $i, j$.

A basis for a subspace of an inner product space can be turned into an orthogonalor orthonormal basis for the subspace by the following construction (Fig. 5.1).

## 数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Sum of Subspaces and Orthogonal Projections

Suppose $\mathcal{S}$ and $\mathcal{T}$ are subspaces of a real or complex vector space $\mathcal{V}$ endowed with an inner product $\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle$. We define

• Sum: $\mathcal{S}+\mathcal{T}:={s+t: s \in \mathcal{S}$ and $t \in \mathcal{T}}$,
• direct sum $\mathcal{S} \oplus \mathcal{T}:$ a sum where $\mathcal{S} \cap \mathcal{T}={0}$,
• orthogonal sum $\mathcal{S} \oplus \mathcal{T}$ : a sum where $\langle s, t\rangle=0$ for all $s \in \mathcal{S}$ and $t \in \mathcal{T}$.
We note that
• $\mathcal{S}+\mathcal{T}$ is a vector space, a subspace of $\mathcal{V}$ which in this book will be $\mathbb{R}^{n}$ or $\mathcal{C}^{n}$ (cf. Example 1.2).
• Every $v \in \mathcal{S} \oplus \mathcal{T}$ can be decomposed uniquely in the form $v=s+t$, where $s \in \mathcal{S}$ and $t \in \mathcal{T}$. For if $v=s_{1}+t_{1}=s_{2}+t_{2}$ for $s_{1}, s_{2} \in \mathcal{S}$ and $t_{1}, t_{2} \in \mathcal{T}$, then $0=s_{1}-s_{2}+t_{1}-t_{2}$ or $s_{1}-s_{2}=t_{2}-t_{1}$. It follows that $s_{1}-s_{2}$ and $t_{2}-t_{1}$ belong to both $\mathcal{S}$ and $\mathcal{T}$ and hence to $\mathcal{S} \cap \mathcal{T}$. But then $s_{1}-s_{2}=t_{2}-t_{1}=0$ so $s_{1}=s_{2}$ and $t_{2}=t_{1}$.
By $(1.8)$ in the introduction chapter we have
$$\operatorname{dim}(\mathcal{S} \oplus \mathcal{T})=\operatorname{dim}(\mathcal{S})+\operatorname{dim}(\mathcal{T})$$
The subspaces $\mathcal{S}$ and $\mathcal{T}$ in a direct sum are called complementary subspaces.
• An orthogonal sum is a direct sum. For if $v \in \mathcal{S} \cap \mathcal{T}$ then $v$ is orthogonal to itself, $\langle v, v\rangle=0$, which implies that $v=0$. We often write $\mathcal{T}:=\mathcal{S}^{\perp}$.
• Suppose $v=s_{0}+t_{0} \in \mathcal{S} \oplus \mathcal{T}$, where $s_{0} \in \mathcal{S}$ and $t_{0} \in \mathcal{T}$. The vector $s_{0}$ is called the oblique projection of $v$ into $\mathcal{S}$ along $\mathcal{T}$. Similarly, The vector $t_{0}$ is called the oblique projection of $v$ into $\mathcal{T}$ along $\mathcal{S}$. If $\mathcal{S} \oplus \mathcal{T}$ is an orthogonal sum then $s_{0}$ is called the orthogonal projection of $v$ into $\mathcal{S}$. Similarly, $t_{0}$ is called the orthogonal projection of $v$ in $\mathcal{T}=\mathcal{S}^{\perp}$. The orthogonal projections are illustrated in Fig. 5.2.

## 数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Real and Complex Inner Products

1. ⟨X,X⟩≥0当且仅当X=0.
（积极性）
2. ⟨X,是⟩=⟨是,X⟩¯
（斜对称）
3. (一个X+b是,和⟩=一个⟨X,和⟩+b⟨是,和⟩.
（线性）
对(在,⟨⋅,⋅))称为内积空间。
注意 2 中的复共轭。自从
⟨X,一个是+b和⟩=⟨一个是+b和,X⟩¯=一个⟨是,X⟩+b⟨和,X⟩¯=一个¯⟨是,X⟩¯+b⟨和,X⟩¯
我们发现
⟨X,一个是+b和⟩=一个¯⟨X,是⟩+b¯⟨X,和⟩,⟨一个X,一个是⟩=|一个|2⟨X,是⟩
实向量空间中的内积在是满足属性的实值函数1,2,3在定义5.1, 我们可以用对称性代替斜对称
⟨X,是⟩=⟨是,X⟩( 对称 ).
在实际情况下，我们在两个变量中都有线性，因为我们可以去除（5.1）中的复共轭。
回想一下（参见（1.10））中的标准内积Cn是（谁）给的
⟨X,是⟩:=是X=X吨是¯=∑j=1nXj是j¯注意复共轭是. 它显然是一个内积Cn. 功能|⋅|:在→R,X⟼|X|:=⟨X,X⟩称为内积范数。标准内积的内积范数是欧几里得范数|X|=|X|2=XX

## 数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Orthogonality

|X+是|2=|X|2+|是|2, 如果 X⊥是.

## 数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Sum of Subspaces and Orthogonal Projections

• 和：小号+吨:=s+吨:s∈小号$一个nd$吨∈吨,
• 直接和小号⊕吨:总和小号∩吨=0,
• 正交和小号⊕吨: 总和⟨s,吨⟩=0对所有人s∈小号和吨∈吨.
我们注意到
• 小号+吨是一个向量空间，一个子空间在在本书中将是Rn或者Cn（参见示例 1.2）。
• 每一个在∈小号⊕吨可以唯一地分解为形式在=s+吨， 在哪里s∈小号和吨∈吨. 如果在=s1+吨1=s2+吨2为了s1,s2∈小号和吨1,吨2∈吨， 然后0=s1−s2+吨1−吨2或者s1−s2=吨2−吨1. 它遵循s1−s2和吨2−吨1属于两者小号和吨并因此小号∩吨. 但是之后s1−s2=吨2−吨1=0所以s1=s2和吨2=吨1.
经过(1.8)在介绍章节中，我们有
暗淡⁡(小号⊕吨)=暗淡⁡(小号)+暗淡⁡(吨)
子空间小号和吨在直接和中称为互补子空间。
• 正交和是直接和。如果在∈小号∩吨然后在与自身正交，⟨在,在⟩=0，这意味着在=0. 我们经常写吨:=小号⊥.
• 认为在=s0+吨0∈小号⊕吨， 在哪里s0∈小号和吨0∈吨. 向量s0称为斜投影在进入小号沿着吨. 同样，向量吨0称为斜投影在进入吨沿着小号. 如果小号⊕吨那么是正交和s0称为正交投影在进入小号. 相似地，吨0称为正交投影在在吨=小号⊥. 正交投影如图 5.2 所示。

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。