数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|MATHS 7104

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计算线性代数是在计算机上解决线性代数问题(大型线性方程组、计算矩阵特征值、特征向量等)的数字算法。

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  • Advanced Probability Theory 高等概率论
  • Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
  • (Generalized) Linear Models 广义线性模型
  • Statistical Machine Learning 统计机器学习
  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|MATHS 7104

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Algorithms for Triangular Systems

A nonsingular triangular linear system $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ is easy to solve. By Lemma $2.5 \boldsymbol{A}$ has nonzero diagonal elements. Consider first the lower triangular case. For $n=3$ the system is
$$
\left[\begin{array}{ccc}
a_{11} & 0 & 0 \
a_{21} & a_{22} & 0 \
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x_{1} \
x_{2} \
x_{3}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
b_{1} \
b_{2} \
b_{3}
\end{array}\right]
$$
From the first equation we find $x_{1}=b_{1} / a_{11}$. Solving the second equation for $x_{2}$ we obtain $x_{2}=\left(b_{2}-a_{21} x_{1}\right) / a_{22}$. Finally the third equation gives $x_{3}=\left(b_{3}-a_{31} x_{1}-\right.$ $\left.a_{32} x_{2}\right) / a_{33}$. This process is known as forward substitution. In general
$$
x_{k}=\left(b_{k}-\sum_{j=1}^{k-1} a_{k, j} x_{j}\right) / a_{k k}, \quad k=1,2, \ldots, n .
$$
When $A$ is a lower triangular band matrix the number of arithmetic operations necessary to find $\boldsymbol{x}$ can be reduced. Suppose $\boldsymbol{A}$ is a lower triangular $d$-banded, so that $a_{k, j}=0$ for $j \notin\left{l_{k}, l_{k}+1, \ldots, k\right.$ for $k=1,2, \ldots, n$, and where $l_{k}:=\max (1, k-d)$, see Fig. 3.2. For a lower triangular $d$-band matrix the calculation in (3.7) can be simplified as follows
$$
x_{k}=\left(b_{k}-\sum_{j=l_{k}}^{k-1} a_{k, j} x_{j}\right) / a_{k k}, \quad k=1,2, \ldots, n .
$$
Note that (3.8) reduces to $(3.7)$ if $d=n$. Letting $A\left(k, l_{k}:(k-1)\right) * x\left(l_{k}:(k-1)\right)$ denote the sum $\sum_{j=l_{k}}^{k-1} a_{k j} x_{j}$ we arrive at the following algorithm, where the initial ” $\mathrm{r} “$ in the name signals that this algorithm is row oriented. The algorithm takes a nonsingular lower triangular $d$-banded matrix $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$, and $\boldsymbol{b} \in \mathbb{C}^{n}$, as input, and returns an $\boldsymbol{x} \in \mathbb{C}^{n}$ so that $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$. For each $k$ we take the inner product of a part of a row with the already computed unknowns.

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Counting Operations

It is useful to have a number which indicates the amount of work an algorithm requires. In this book we measure this by estimating the total number of (complex) arithmetic operations. We count both additions, subtractions, multiplications and divisions, but not work on indices. As an example we show that the LU factorization of a full matrix of order $n$ using Gaussian elimination requires exactly
$$
N_{L U}:=\frac{2}{3} n^{3}-\frac{1}{2} n^{2}-\frac{1}{6} n
$$
operations. Let $M, D, A, S$ be the number of (complex) multiplications, divisions, additions, and subtractions. In (3.2) the multiplications and subtractions occur in the calculation of $a_{i j}^{k+1}=a_{i j}^{(k)}-l_{i k}^{(k)} a_{k j}^{(k)}$ which is carried out $(n-k)^{2}$ times. Moreover,

each calculation involves one subtraction and one multiplication. Thus we find $M+$ $S=2 \sum_{k=1}^{n-1}(n-k)^{2}=2 \sum_{m=1}^{n-1} m^{2}=\frac{2}{3} n(n-1)\left(n-\frac{1}{2}\right)$. For each $k$ there are $n-k$ divisions giving a sum of $\sum_{k=1}^{n-1}(n-k)=\frac{1}{2} n(n-1)$. Since there are no additions we obtain the total
$$
M+D+A+S=\frac{2}{3} n(n-1)\left(n-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2} n(n-1)=N_{L U}
$$
given by $(3.9)$
We are only interested in $N_{L U}$ when $n$ is large and for such $n$ the term $\frac{2}{3} n^{3}$ dominates. We therefore regularly ignore lower order terms and use number of operations both for the exact count and for the highest order term. We also say more loosely that the number of operations is $O\left(n^{3}\right)$. We will use the number of operations counted in one of these ways as a measure of the complexity of an algorithm and say that the complexity of LU factorization of a full matrix is $O\left(n^{3}\right)$ or more precisely $\frac{2}{3} n^{3}$.

We will compare the number of arithmetic operations of many algorithms with the number of arithmetic operations of Gaussian elimination and define for $n \in \mathbb{N}$ the number $G_{n}$ as follows:

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Pivoting

Interchanging two rows (and/or two columns) during Gaussian elimination is known as pivoting. The element which is moved to the diagonal position $(k, k)$ is called the pivot element or pivot for short, and the row containing the pivot is called the pivot row. Gaussian elimination with row pivoting can be described as follows.

  1. Choose $r_{k} \geq k$ so that $a_{r_{k}, k}^{(k)} \neq 0$.
  2. Interchange rows $r_{k}$ and $k$ of $A^{(k)}$.
  3. Eliminate by computing $l_{i k}^{(k)}$ and $a_{i j}^{(k+1)}$ using (3.2).
    To show that Gaussian elimination can always be carried to completion by using suitable row interchanges suppose by induction on $k$ that $A^{(k)}$ is nonsingular. Since $A^{(1)}=A$ this holds for $k=1$. By Lemma $2.4$ the lower right diagonal block in $A^{(k)}$ is nonsingular. But then at least one element in the first column of that block must be nonzero and it follows that $r_{k}$ exists so that $a_{r_{k}, k}^{(k)} \neq 0$. But then $A^{(k+1)}$ is nonsingular since it is computed from $A^{(k)}$ using row operations preserving the nonsingularity. We conclude that $A^{(k)}$ is nonsingular for $k=1, \ldots, n$.
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计算线性代数代考

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Algorithms for Triangular Systems

非奇异三角形线性系统一个X=b很容易解决。引理2.5一个具有非零对角元素。首先考虑下三角形的情况。为了n=3该系统是

[一个1100 一个21一个220 一个31一个32一个33][X1 X2 X3]=[b1 b2 b3]
从第一个方程我们发现X1=b1/一个11. 求解第二个方程X2我们获得X2=(b2−一个21X1)/一个22. 最后第三个等式给出X3=(b3−一个31X1− 一个32X2)/一个33. 这个过程被称为前向替换。一般来说

Xķ=(bķ−∑j=1ķ−1一个ķ,jXj)/一个ķķ,ķ=1,2,…,n.
什么时候一个是一个下三角带矩阵,计算所需的算术运算次数X可以减少。认为一个是一个下三角形d-带状,因此一个ķ,j=0对于 $j \notin\left{l_{k}, l_{k}+1, \ldots, k\right。F○rk=1,2, \ldots, n,一个nd在H和r和l_{k}:=\max (1, kd),s和和F一世G.3.2.F○r一个l○在和r吨r一世一个nG在l一个rd−b一个nd米一个吨r一世X吨H和C一个lC在l一个吨一世○n一世n(3.7)C一个nb和s一世米pl一世F一世和d一个sF○ll○在sXķ=(bķ−∑j=lķķ−1一个ķ,jXj)/一个ķķ,ķ=1,2,…,n.ñ○吨和吨H一个吨(3.8)r和d在C和s吨○(3.7)一世Fd=n.大号和吨吨一世nGA\left(k, l_{k}:(k-1)\right) * x\left(l_{k}:(k-1)\right)d和n○吨和吨H和s在米\sum_{j=l_{k}}^{k-1} a_{kj} x_{j}在和一个rr一世在和一个吨吨H和F○ll○在一世nG一个lG○r一世吨H米,在H和r和吨H和一世n一世吨一世一个l”\数学{r}“一世n吨H和n一个米和s一世Gn一个ls吨H一个吨吨H一世s一个lG○r一世吨H米一世sr○在○r一世和n吨和d.吨H和一个lG○r一世吨H米吨一个ķ和s一个n○ns一世nG在l一个rl○在和r吨r一世一个nG在l一个rd−b一个nd和d米一个吨r一世XA \in \mathbb{C}^{n \times n},一个nd\boldsymbol{b} \in \mathbb{C}^{n},一个s一世np在吨,一个ndr和吨在rns一个n\boldsymbol{x} \in \mathbb{C}^{n}s○吨H一个吨\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}.F○r和一个CHk$ 我们取行的一部分与已经计算的未知数的内积。

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Counting Operations

有一个数字表示算法所需的工作量很有用。在本书中,我们通过估计(复杂)算术运算的总数来衡量这一点。我们计算加法、减法、乘法和除法,但不适用于索引。作为一个例子,我们展示了一个全阶矩阵的 LU 分解n使用高斯消元需要完全

ñ大号在:=23n3−12n2−16n
操作。让米,D,一个,小号是(复数)乘法、除法、加法和减法的次数。在 (3.2) 中,乘法和减法发生在计算一个一世jķ+1=一个一世j(ķ)−l一世ķ(ķ)一个ķj(ķ)这是执行的(n−ķ)2次。而且,

每次计算都涉及一次减法和一次乘法。因此我们发现米+ 小号=2∑ķ=1n−1(n−ķ)2=2∑米=1n−1米2=23n(n−1)(n−12). 对于每个ķ有n−ķ除法给出总和∑ķ=1n−1(n−ķ)=12n(n−1). 由于没有加法,我们得到总数

米+D+一个+小号=23n(n−1)(n−12)+12n(n−1)=ñ大号在
由(3.9)
我们只对ñ大号在什么时候n很大,对于这样的n期限23n3占主导地位。因此,我们经常忽略低阶项并使用操作数来计算精确计数和最高阶项。我们也更宽松地说,操作的数量是○(n3). 我们将使用以其中一种方式计算的操作数作为算法复杂度的度量,并说完整矩阵的 LU 分解的复杂度为○(n3)或更准确地说23n3.

我们将比较许多算法的算术运算次数与高斯消元法的算术运算次数,并定义为n∈ñ号码Gn如下:

数学代写|计算线性代数代写Computational Linear Algebra代考|Pivoting

在高斯消除期间交换两行(和/或两列)称为旋转。移动到对角线位置的元素(ķ,ķ)称为枢轴元素或简称枢轴,包含枢轴的行称为枢轴行。行旋转的高斯消除可以描述如下。

  1. 选择rķ≥ķ以便一个rķ,ķ(ķ)≠0.
  2. 交换行rķ和ķ的一个(ķ).
  3. 通过计算消除l一世ķ(ķ)和一个一世j(ķ+1)使用(3.2)。
    为了证明高斯消元总是可以通过使用适当的行交换来完成,假设通过归纳ķ那一个(ķ)是非奇异的。自从一个(1)=一个这适用于ķ=1. 引理2.4右下角块一个(ķ)是非奇异的。但是,该块的第一列中至少有一个元素必须是非零的,并且它遵循rķ存在使得一个rķ,ķ(ķ)≠0. 但是之后一个(ķ+1)是非奇异的,因为它是从一个(ķ)使用保留非奇异性的行操作。我们得出结论一个(ķ)是非奇异的ķ=1,…,n.
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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写问卷设计与分析代写
PYTHON代写回归分析与线性模型代写
MATLAB代写方差分析与试验设计代写
STATA代写机器学习/统计学习代写
SPSS代写计量经济学代写
EVIEWS代写时间序列分析代写
EXCEL代写深度学习代写
SQL代写各种数据建模与可视化代写

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