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随机过程被定义为随机变量的集合，定义在一个共同的概率空间上。
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- Foundations of Data Science 数据科学基础
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数学代写|随机过程作业代写Stochastic Processes代考|Linear spaces
The central notion of functional analysis is that of a Banach space. There are two components of this notion: algebraic and topological. The algebraic component describes the fact that elements of a Banach space may be meaningfully added together and multiplied by scalars. For example, given two random variables, $X$ and $Y$, say, we may think of random variables $X+Y$ and $\alpha X$ (and $\alpha Y$ ) where $\alpha \in \mathbb{R}$. In a similar way, we may think of the sum of two measures and the product of a scalar and a measure. Abstract sets with such algebraic structure, introduced in more detail in this section, are known as linear spaces. The topological component of the notion of a Banach space will be discussed in Section $2.2$.
2.1.1 Definition Let $X$ be a set; its elements will be denoted $x, y, z$, etc. A triple $(\mathbb{X},+, \cdot)$, where $+$ is a map $+: \mathbb{X} \times \mathbb{X} \rightarrow \mathbb{X},(x, y) \mapsto x+y$ and – is a map $:: \mathbb{R} \times \mathbb{X} \rightarrow \mathbb{X},(\alpha, x) \mapsto \alpha x$, is called a (real) linear space if the following conditions are satisfied:
(a1) $(x+y)+z=x+(y+z)$, for all $x, y, z \in \mathbb{X}$,
(a2) there exists $\Theta \in \mathbb{X}$ such that $x+\Theta=x$, for all $x \in \mathbb{X}$,
(a3) for all $x \in \mathbb{X}$ there exists an $x^{\prime} \in \mathbb{X}$ such that $x+x^{\prime}=\Theta$,
(a4) $x+y=y+x$, for all $x, y \in \mathbb{X}$,
(m1) $\alpha(\beta x)=(\alpha \beta) x$, for all $\alpha, \beta \in \mathbb{R}, x \in \mathbb{X}$,
(m2) $1 x=x$, for all $x \in \mathbb{X}$,
(d) $\alpha(x+y)=\alpha x+\alpha y$, and $(\alpha+\beta) x=\alpha x+\beta x$ for all $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ and $x, y \in \mathbb{X}$.
Conditions (a1)-(a4) mean that $(\mathbb{X},+)$ is a commutative group. Quite often, for the sake of simplicity, when no confusion ensues, we will say that $\mathrm{X}$ itself is a linear space.
2.1.2 Exercise Conditions (a2) and (a4) imply that the element $\Theta$, called the zero vector, or the zero, is unique.
2.1.3 Exercise Conditions (a1) and (a3) -(a4) imply that for any $x \in$ $X, x^{\prime}$ is determined uniquely.
2.1.4 Exercise Conditions (d), (a1) and (a3) imply that for any $x \in$ $\mathrm{X}, 0 x=\Theta$.
2.1.5 Exercise 2.1.3, and 2.1.1 (d), (m2) imply that for any $x \in \mathbb{X}$, $x^{\prime}=(-1) x$. Because of this fact, we will adopt the commonly used notation $x^{\prime}=-x$.
2.1.6 Example Let $S$ be a set. The set $\mathbb{X}=\mathbb{R}^{S}$ of real-valued functions defined on $S$ is a linear space, if addition and multiplication are defined as follows: $(x+y)(p)=x(p)+y(p),(\alpha x)(p)=\alpha x(p)$, for all $x(\cdot), y(\cdot) \in \mathbb{R}^{S}, \alpha \in \mathbb{R}$, and $p \in S$. In particular, the zero vector $\Theta$ is a function $x(p) \equiv 0$, and $-x$ is defined by $(-x)(p) \equiv-x(p)$. This example includes a number of interesting subcases: (a) if $S=\mathbb{N}, \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ is the space of real-valued sequences, (b) if $S=\mathbb{R}, \mathbb{R}^{\mathbb{R}}$ is the space of real functions on $\mathbb{R}$, (c) if $S={1, \ldots, n} \times{1,2, \ldots, k}, \mathbb{R}^{S}$ is the space of real $n \times k$ matrices, etc.
数学代写|随机过程作业代写Stochastic Processes代考|Banach spaces
As we have mentioned already, the notion of a Banach space is crucial in functional analysis and in this book. Having covered the algebraic aspects of Banach space in the previous section, we now turn to discussing topological aspects. A natural way of introducing topology in a linear space is by defining a norm. Hence, we begin this section with the definition of a normed space (which is a linear space with a norm) and continue with discussion of Cauchy sequences that leads to the definition of a Banach space, as a normed space “without holes”. Next, we give a number of examples of Banach spaces (mostly those that are important in probability theory) and introduce the notion of isomorphic Banach spaces. Then we show how to immerse a normed space in a Banach space and provide examples of dense algebraic subspaces of Banach spaces. We close by showing how the completeness of a Banach space may be used to prove existence of an element that satisfies some required property.
2.2.1 Normed linear spaces Let $X$ be a linear space. A function $|\cdot|$ : $\mathrm{X} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto|x|$ is called a norm, if for all $x, y \in \mathbb{X}$ and $\alpha \in \mathbb{R}$,
(n1) $|x| \geq 0$,
(n2) $|x|=0$, iff $x=\Theta$,
(n3) $|\alpha x|=|\alpha||x|$,
(n4) $|x+y| \leq|x|+|y|$.
If (n2) does not necessarily hold, $|\cdot|$ is called a semi-norm. Note that if $|\cdot|$ is a semi-norm, then $|\Theta|=0$ by (n3) and 2.1.4. A pair (X, $|\cdot|)$, where $X$ is a linear space and $|\cdot|$ is a norm in $X$ called a normed linear space, and for simplicity we say that $X$ itself is a normed linear space (or just normed space).
2.2.2 Exercise $(n 3)-(n 4)$ imply that for $x, y \in \mathbb{X}$,
$$
||x|-|y|| \leq|x \pm y| .
$$
数学代写|随机过程作业代写Stochastic Processes代考|The space of bounded linear operators
Throughout this section, $\left(\mathbb{X},|\cdot|_{X}\right)$ and $\left(\mathbb{Y},|\cdot|_{Y}\right)$ are two linear normed spaces. From now on, to simplify notation, we will denote the zero vector in both spaces by 0 .
2.3.1 Definition A linear map $L: \mathbb{X} \rightarrow \mathbb{Y}$ is said to be bounded if $|L x|_{\mathrm{Y}} \leq M|x|_{\mathrm{X}}$ for some $M \geq 0$. If $M$ can be chosen equal to $1, L$ is called a contraction. In particular, isometric isomorphisms are contractions. Linear contractions, i.e. linear operators that are contractions are very important for the theory of stochastic processes, and appear often.
2.3.2 Definition As in 2.1.12, we show that the collection $\mathcal{L}(\mathbb{X}, \mathbb{Y})$ of continuous linear operators from $\mathbb{X}$ to $\mathbb{Y}$ is an algebraic subspace of $L(\mathbb{X}, \mathbb{Y}) . \mathcal{L}(\mathbb{X}, \mathbb{Y})$ is called the space of bounded (or continuous) linear operators on $X$ with values in $Y$. The first of these names is justified by the fact that a linear operator is bounded iff it is continuous, as proved below. If $\mathbb{X}=\mathbb{Y}$ we write $\mathcal{L}(\mathbb{X})$ instead of $\mathcal{L}(\mathbb{X}, \mathbb{Y})$ and call this space the space of bounded linear operators on $\mathbb{X}$. If $\mathbb{Y}=\mathbb{R}$, we write $\mathbb{X}^{*}$ instead of $\mathcal{L}(\mathbb{X}, \mathbb{Y})$ and call it the space of bounded linear functionals on $\mathrm{X}$.
2.3.3 Theorem Let $L$ belong to $L(\mathbb{X}, Y)$ (see 2.1.7). The following conditions are equivalent:
(a) $L$ is continuous $(L \in \mathcal{L}(\mathbb{X}, Y))$,
(b) $L$ is continuous at some $x \in X$,
(c) $L$ is continuous at zero,
(d) $\sup {|x| x=1}|L x|{\mathrm{y}}$ is finite,
(e) $L$ is bounded.
Moreover, $\sup {|x|{x}=1}|L x|_{Y}=\min {M \in \mathcal{M}}$ where $\mathcal{M}$ is the set of constants such that $|L x|_{\mathrm{Y}} \leq M|x|_{\mathrm{X}}$ holds for all $x \in \mathrm{X}$.
Proof The implication $(a) \Rightarrow(b)$ is trivial. If a sequence $x_{n}$ converges to zero, then $x_{n}+x$ converges to $x$. Thus, if (b) holds, then $L\left(x_{n}+x\right)$, which equals $L x_{n}+L x$, converges to $L x$, i.e. $L x_{n}$ converges to 0 , showing (c). To prove that (c) implies (d), assume that (d) does not hold, i.e. there exists a sequence $x_{n}$ of elements of $\mathrm{X}$ such that $\left|x_{n}\right| \mathrm{X}=1$ and $\left|L x_{n}\right|>n$. Then the sequence $y_{n}=\frac{1}{\sqrt{n}} x_{n}$ converges to zero, but $\left|L y_{n}\right|_{Y}>\sqrt{n}$ must not converge to zero, so that (c) does not hold. That (d) implies (e) is seen by putting $M=\sup {|x|{\mathrm{x}}}|L x|_{\mathrm{Y}}$; indeed, the inequality in the definition 2.3.1 is trivial for $x=0$, and for a non-zero vector $x$, the norm of $\frac{1}{|x|} x$ equals one, so that $\left|L \frac{1}{|x|} x\right|_{\mathrm{y}} \leq M$, from which (e) follows by multiplying both sides by $|x|$. Finally, (a) follows from (e), since $\left|L x_{n}-L x\right| \leq\left|L\left(x_{n}-x\right)\right| \leq M\left|x_{n}-x\right| .$
To prove the second part of the theorem, note that in the proof of the implication $(\mathrm{d}) \Rightarrow(\mathrm{e})$ we showed that $M_{1}=\sup {|x| \mathrm{x}=1}|L x|{\mathrm{Y}}$ belongs to $\mathcal{M}$. On the other hand, if $|L x|_{\mathrm{Y}} \leq M|x|_{\mathrm{X}}$ holds for all $x \in X$, then considering only $x$ with $|x|_{\mathrm{x}}=1$ we see that $M_{1} \leq M$ so that $M_{1}$ is the minimum of $\mathcal{M}$.
随机过程代写
数学代写|随机过程作业代写Stochastic Processes代考|Linear spaces
泛函分析的核心概念是 Banach 空间。这个概念有两个组成部分：代数和拓扑。代数部分描述了 Banach 空间的元素可以有意义地加在一起并乘以标量的事实。例如，给定两个随机变量，X和是，比如说，我们可能会想到随机变量X+是和一种X（和一种是） 在哪里一种∈R. 以类似的方式，我们可以考虑两个测度之和以及一个标量和一个测度的乘积。本节将详细介绍的具有这种代数结构的抽象集称为线性空间。Banach 空间概念的拓扑成分将在第 1 节讨论。2.2.
2.1.1 定义让X成为一个集合；它的元素将被表示X,是,和等。(X,+,⋅)， 在哪里+是一张地图+:X×X→X,(X,是)↦X+是和 – 是一张地图::R×X→X,(一种,X)↦一种X，如果满足以下条件，则称为（实）线性空间：
（a1）(X+是)+和=X+(是+和)， 对全部X,是,和∈X,
(a2) 存在θ∈X这样X+θ=X， 对全部X∈X,
(a3) 对于所有X∈X存在一个X′∈X这样X+X′=θ,
(a4)X+是=是+X， 对全部X,是∈X,
(m1)一种(bX)=(一种b)X， 对全部一种,b∈R,X∈X,
(m2)1X=X， 对全部X∈X,
(d)一种(X+是)=一种X+一种是， 和(一种+b)X=一种X+bX对全部一种,b∈R和X,是∈X.
条件 (a1)-(a4) 意味着(X,+)是一个交换群。很多时候，为了简单起见，当没有混淆时，我们会说X本身就是一个线性空间。
2.1.2 运动条件 (a2) 和 (a4) 暗示元素θ，称为零向量或零，是唯一的。
2.1.3 行使条件 (a1) 和 (a3) -(a4) 意味着对于任何X∈ X,X′是唯一确定的。
2.1.4 行使条件 (d)、(a1) 和 (a3) 意味着对于任何X∈ X,0X=θ.
2.1.5 练习 2.1.3 和 2.1.1 (d), (m2) 暗示对于任何X∈X, X′=(−1)X. 由于这个事实，我们将采用常用的符号X′=−X.
2.1.6 例子让小号成为一个集合。套装X=R小号上定义的实值函数小号是一个线性空间，如果加法和乘法定义如下：(X+是)(p)=X(p)+是(p),(一种X)(p)=一种X(p)， 对全部X(⋅),是(⋅)∈R小号,一种∈R， 和p∈小号. 特别是，零向量θ是一个函数X(p)≡0， 和−X定义为(−X)(p)≡−X(p). 这个例子包括一些有趣的子案例：（a）如果小号=ñ,Rñ是实值序列的空间，(b) 如果小号=R,RR是实函数的空间R, (c) 如果小号=1,…,n×1,2,…,ķ,R小号是真实的空间n×ķ矩阵等
数学代写|随机过程作业代写Stochastic Processes代考|Banach spaces
正如我们已经提到的，Banach 空间的概念在泛函分析和本书中都至关重要。在上一节介绍了 Banach 空间的代数方面之后，我们现在转向讨论拓扑方面。在线性空间中引入拓扑的一种自然方式是定义一个范数。因此，我们从定义范数空间（这是一个有范数的线性空间）开始这一节，然后继续讨论柯西序列，从而将巴拿赫空间定义为“无孔”的范数空间。接下来，我们给出了一些巴拿赫空间的例子（主要是那些在概率论中很重要的例子），并介绍了同构巴拿赫空间的概念。然后我们展示了如何将范数空间浸入到 Banach 空间中，并提供了 Banach 空间的稠密代数子空间的示例。
2.2.1 范数线性空间 LetX是一个线性空间。一个函数|⋅| : X→R,X↦|X|被称为规范，如果对所有人X,是∈X和一种∈R,
(n1)|X|≥0,
(n2)|X|=0, 当且X=θ,
(n3)|一种X|=|一种||X|,
(n4)|X+是|≤|X|+|是|.
如果 (n2) 不一定成立，|⋅|称为半范数。请注意，如果|⋅|是一个半范数，那么|θ|=0通过 (n3) 和 2.1.4。一对 (X,|⋅|)， 在哪里X是一个线性空间并且|⋅|是一个规范X称为规范线性空间，为简单起见，我们说X本身是一个范数线性空间（或只是范数空间）。
2.2.2 练习(n3)−(n4)暗示对于X,是∈X,
||X|−|是||≤|X±是|.
数学代写|随机过程作业代写Stochastic Processes代考|The space of bounded linear operators
在本节中，(X,|⋅|X)和(是,|⋅|是)是两个线性范数空间。从现在开始，为了简化符号，我们将两个空间中的零向量表示为 0 。
2.3.1 定义线性映射大号:X→是据说是有界的，如果|大号X|是≤米|X|X对于一些米≥0. 如果米可以选择等于1,大号称为收缩。特别是，等距同构是收缩。线性收缩，即作为收缩的线性算子对于随机过程的理论非常重要，并且经常出现。
2.3.2 定义与 2.1.12 一样，我们展示了集合大号(X,是)来自的连续线性算子X到是是一个代数子空间大号(X,是).大号(X,是)称为有界（或连续）线性算子的空间X与值是. 这些名称中的第一个是由以下事实证明的：线性算子是有界的，如果它是连续的，如下所示。如果X=是我们写大号(X)代替大号(X,是)并将这个空间称为有界线性算子的空间X. 如果是=R， 我们写X∗代替大号(X,是)并将其称为有界线性泛函空间X.
2.3.3 定理让大号属于大号(X,是)（见 2.1.7）。以下条件是等效的：
(a)大号是连续的(大号∈大号(X,是)),
(b)大号在某些地方是连续的X∈X,
(c)大号在零处连续，
(d) $\sup {|x| x=1}|长 x| {\mathrm{y}}一世sF一世n一世吨和,(和)大号一世sb这在nd和d.米这r和这在和r,\sup {|x| {x}=1}|L x|_{Y}=\min {M \in \mathcal{M}}在H和r和\数学{M}一世s吨H和s和吨这FC这ns吨一种n吨ss在CH吨H一种吨|L x|_{\mathrm{Y}} \leq M|x|_{\mathrm{X}}H这ldsF这r一种llx \in \mathrm{X}$。
证明 含义(一种)⇒(b)是微不足道的。如果一个序列Xn收敛到零，然后Xn+X收敛到X. 因此，如果 (b) 成立，那么大号(Xn+X), 等于大号Xn+大号X, 收敛到大号X， IE大号Xn收敛到 0 ，显示 (c)。为了证明 (c) 蕴涵 (d)，假设 (d) 不成立，即存在一个序列Xn的元素X这样|Xn|X=1和|大号Xn|>n. 然后是序列是n=1nXn收敛到零，但是|大号是n|是>n不能收敛到零，所以 (c) 不成立。(d) 蕴含 (e) 可以通过将 $M=\sup {|x| {\mathrm{x}}}|L x|_{\mathrm{Y}};一世nd和和d,吨H和一世n和q在一种l一世吨是一世n吨H和d和F一世n一世吨一世这n2.3.1一世s吨r一世在一世一种lF这rx=0,一种ndF这r一种n这n−和和r这在和C吨这rX,吨H和n这r米这F\frac{1}{|x|} x和q在一种ls这n和,s这吨H一种吨\left|L \frac{1}{|x|} x\right|_{\mathrm{y}} \leq M,Fr这米在H一世CH(和)F这ll这在sb是米在l吨一世pl是一世nGb这吨Hs一世d和sb是|x|.F一世n一种ll是,(一种)F这ll这在sFr这米(和),s一世nC和\left|L x_{n}-L x\right| \leq\left|L\left(x_{n}-x\right)\right| \leq M\left|x_{n}-x\right| .$
为了证明定理的第二部分，请注意在蕴涵的证明中(d)⇒(和)我们证明了 $M_{1}=\sup {|x| \mathrm{x}=1}|L x| {\mathrm{Y}}b和l这nGs吨这\数学{M}.这n吨H和这吨H和rH一种nd,一世F|L x|_{\mathrm{Y}} \leq M|x|_{\mathrm{X}}H这ldsF这r一种llx \in X,吨H和nC这ns一世d和r一世nG这nl是X在一世吨H|x|_{\mathrm{x}}=1在和s和和吨H一种吨M_{1} \leq Ms这吨H一种吨M_{1}一世s吨H和米一世n一世米在米这F\mathcal{M}$。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。