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- Foundations of Data Science 数据科学基础
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数学代写|随机过程作业代写Stochastic Processes代考|Construction and basic properties of Brownian motion
4.3.1 Construction: first step There exists a process $\left{w_{t}, t \geq 0\right}$ on a probability space $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ satisfying (a) -(b) of the definition 4.1.6.
Proof Let $\mathbb{H}=L^{2}\left(\mathbb{R}^{+}\right)$, and let $A$ be the operator described in 4.2.19. Let $w_{t}=A\left(1_{[0, t)}\right)$. Any vector $\left(w_{t_{1}}, \ldots, w_{t_{n}}\right)$ is Gaussian, because for any scalars $\alpha_{i}$, the random variable
$$
\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} w_{i}=A\left(\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} 1_{\left(0, t_{i}\right)}\right)
$$
is Gaussian. Moreover, $E w_{t}=0$, and $E w_{t} w_{s}=\left(1_{[0, t)}, 1_{[0, s)}\right){L^{2}(\mathbb{R}+)}=$ $\int{0}^{\infty} 1_{[0, t)} 1_{[0, s)} d l e b=s \wedge t .$
4.3.2 Existence of Brownian motion on $[0,1]$ In general it is hard, if possible at all, to check if the process constructed above has continuous paths. We may achieve our goal, however, if we consider a specific orthonormal system (other ways of dealing with this difficulty may be found in $[5,61,100,79] \uparrow)$. We will construct a Brownian motion on $[0,1]$ using the system $x_{n}$ from $4.2 .14$. As in $4.2 .19$, we define
$$
A x=\sum_{n=0}^{\infty}\left(x_{n}, x\right) Y_{n}
$$
where $Y_{n}$ is a sequence of standard independent random variables. Let
$$
w_{t}(\omega)=\left(A 1_{[0, t)}\right)(\omega)=\sum_{n=0}^{\infty}\left(x_{n}, 1_{[0, t)}\right) Y_{n}(\omega)=\sum_{n=0}^{\infty} y_{n}(t) Y_{n}(\omega), \quad t \in[0,1]
$$
The argument presented in $4.3 .1$ shows that $w_{t}$ satisfy the first two conditions of the definition of Brownian motion, and it is only the question of continuity of paths that has to be settled.
Note that $y_{n}(t)=\left(x_{n}, 1_{[0, t)}\right)=\int_{0}^{t} x_{n}(s) \mathrm{d} s$ is a continuous function, so that for any $\omega$, the partial sums of the series in (4.6) are (linear combinations of) continuous functions. We will prove that the series converges absolutely and uniformly in $t \in[0,1]$ for almost all $\omega \in \Omega$. To this end write
$$
w_{t}(\omega)=\sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{2^{n}-1} y_{2^{n}+k}(t) Y_{2^{n}+k}(\omega)
$$
数学代写|随机过程作业代写Stochastic Processes代考|Stochastic integrals
Let us consider the following hazard game related to a Brownian motion $w(t), t \geq 0$. Suppose that at time $t_{0}$ we place an amount $x\left(t_{0}\right)$ as a bet, to have $x\left(t_{0}\right)\left[w\left(t_{0}+h\right)-w\left(t_{0}\right)\right]$ at time $t_{0}+h$. More generally, suppose that we place amounts $x\left(t_{i}\right)$ at times $t_{i}$ to have
$$
\sum_{i=1}^{n-1} x\left(t_{i}\right)\left[w\left(t_{i+1}\right)-w\left(t_{i}\right)\right]
$$
at time $t_{\mathrm{n}}$ where $0 \leq a=t_{0}<t_{1}<\cdots<t_{n}=b<\infty$. If we imagine that we may change our bets in a continuous manner, we are led to considering the limit of such sums as partitions refine to infinitesimal level. Such a limit, a random variable, would be denoted $\int_{a}^{b} x(t) \mathrm{d} w(t)$. The problem is, however, whether such a limit exists and if it enjoys properties that we are used to associating with integrals. The problem is not a trivial one, for as we know from $4.3 .10, t \rightarrow w(t)$ is not of bounded variation in $[a, b]$, so that this integral may not be a Riemann-Stieltjes integral. This new type of integral was introduced and extensively studied by $\mathrm{K}$. Itô, and is now known as an Itô integral. The first thing the reader must keep in mind to understand this notion is that we will not try to define this integral for every path separately; instead we think of $w(t)$ as an element of the space of square integrable functions, and the integral is to be defined as an element of the same space. But the mere change of the point of view and the space where we are to operate does not suffice. As a function $t \mapsto w(t) \in$ $L^{2}(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ where $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ is the probability space where $w(t), t \geq 0$ are defined, the Brownian motion is not of bounded variation either. To see that consider a uniform partition $t_{i}=a+\frac{i}{n}(b-a), i=0, . ., n$ of $[a, b]$. Since $E\left[w\left(t_{i+1}\right)-w\left(t_{i}\right)\right]^{2}=\frac{1}{n}(b-a)$, the supremum of sums $\sum_{i=1}^{n-1}\left|w\left(t_{i+1}\right)-w\left(t_{i}\right)\right|_{L^{2}(\Omega, \mathcal{F}, P)}$ over partitions of the interval $[a, b]$ is at least $\sum_{i=1}^{n-1} \sqrt{\frac{b-a}{n}}=\sqrt{n} \sqrt{b-a}$, as claimed.
数学代写|随机过程作业代写Stochastic Processes代考|Definition
4.4.6 Definition By $4.4 .4$ and $4.4 .5$ there exists a linear isometry between $L_{p}^{2}$ and $L^{2}(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$. This isometry is called the Itô integral and denoted $I(x)=\int_{a}^{b} x \mathrm{~d} w$.
4.4.7 Itô integral as a martingale It is not hard to see that taking $a<b<c$ and $x \in L_{p}^{2}[a, c]$ we have $\int_{a}^{b} x \mathrm{~d} w=\int_{a}^{c} x 1_{[a, b] \times \Omega} \mathrm{d} w$. Hence, by linearity $\int_{a}^{c} x \mathrm{~d} w=\int_{a}^{b} x \mathrm{~d} w+\int_{b}^{c} x \mathrm{~d} w$. Also, we have $E \int_{a}^{c} x \mathrm{~d} w=0$ for simple, and hence all processes $x$ in $L_{p}^{2}[a, c]$, since $E$ is a bounded linear functional on $L^{2}(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$. Finally, $\mathbb{E}\left(\int_{b}^{c} x d w \mid \mathcal{\mathcal { F } _ { b }}\right)=0$ where as before $\mathcal{F}{b}=\sigma(w(s), 0 \leq s \leq b)$. Indeed, if $x$ is a simple process (4.17) (with $b$ replaced by $c$ and $a$ replaced by $b)$, then $\mathbb{E}\left(x{t_{i}} \delta_{i} \mid \mathcal{F}{t{i}}\right)=x_{t_{i}} \mathbb{E}\left(\delta_{i} \mid \mathcal{F}{t{i}}\right)=0$, for all $0 \leq i \leq n-1$, whence by the tower property $\mathbb{E}\left(x_{t_{i}} \delta_{i} \mid \mathcal{F}_{b}\right)=0$ as well, and our formula follows.
Now, assume that $x \in L_{p}^{2}[0, t]$ for all $t>0$. Then we may define $y(t)=$ $\int_{0}^{t} x \mathrm{~d} w$. The process $y(t), t \geq 0$, is a time-continuous martingale with respect to the filtration $\mathcal{F}{t}, t \geq 0$, inherited from the Brownian motion. Indeed, $\mathbb{E}\left(y(t) \mid \mathcal{F}{s}\right)=\mathbb{E}\left(\int_{0}^{s} x \mathrm{~d} w \mid \mathcal{F}{s}\right)+\mathbb{E}\left(\int{s}^{t} x \mathrm{~d} w \mid \mathcal{F}{s}\right)=\int{0}^{s} x \mathrm{~d} w+0=$ $y(s)$, because $\int_{0}^{s} x \mathrm{~d} w$ is $\mathcal{F}{s}$ measurable as a limit of $\mathcal{F}{s}$ measurable functions.
4.4.8 Information about stochastic integrals with respect to square integrable martingales There are a number of ways to generalize the notion of Itô integral. For example, one may relax measurability and integrability conditions and obtain limits of integrals of simple processes in a weaker sense (e.g. in probability and not in $L^{2}$ ). The most important fact, however, seems to be that one may define integrals with respect to processes other than Brownian motion. The most general and yet plausible integrators are so-called continuous local martingales, but in this note we restrict ourselves to continuous square integrable martingales. These are time-continuous martingales $y(t), t \geq 0$ with $E y^{2}(t)<\infty, t \geq 0$, and almost all trajectories continuous. Certainly, Brownian motion is an example of such a process. It may be proven that for any such martingale there exists an adapted, non-decreasing process $a(t)$ such that $y^{2}(t)-a(t)$ is a martingale. A non-decreasing process is one such that almost all paths are non-decreasing. For a Brownian motion, $a(t)$ does not depend on $\omega$ and equals $t$. Now, the point is again that one may prove that the space $L_{p}^{2}[a, b]=L_{p}^{2}[a, b, y]$ of progressively measurable processes $x$ such that $E \int_{a}^{b} x^{2}(s) \mathrm{d} a(s)$ is finite is isometrically isomorphic to $L^{2}(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$. To establish this fact one needs to show that simple processes form a linearly dense set in $L_{p}^{2}[a, b, y]$ and define the Itô integral for simple processes as $I(x)=\sum_{i=0}^{n-1} x_{t_{i}}\left[y\left(t_{i+1}\right)-y\left(t_{i}\right)\right]$. Again, the crucial step is establishing Itô isometry, and the reader now appreciates the way we established it in 4.4.5.
随机过程代写
数学代写|随机过程作业代写Stochastic Processes代考|Construction and basic properties of Brownian motion
4.3.1 构建：第一步 存在流程\left{w_{t}, t \geq 0\right}\left{w_{t}, t \geq 0\right}在概率空间上(Ω,F,磷)满足定义 4.1.6 的 (a) -(b)。
证明让H=大号2(R+)， 然后让一种是 4.2.19 中描述的运算符。让在吨=一种(1[0,吨)). 任何向量(在吨1,…,在吨n)是高斯的，因为对于任何标量一种一世, 随机变量
∑一世=1n一种一世在一世=一种(∑一世=1n一种一世1(0,吨一世))
是高斯的。而且，和在吨=0, 和 $E w_{t} w_{s}=\left(1_{[0, t)}, 1_{[0, s)}\right) {L^{2}(\mathbb{R}+) }=\int {0}^{\infty} 1_{[0, t)} 1_{[0, s)} dleb=s \wedge t 。4.3.2和X一世s吨和nC和这F乙r这在n一世一种n米这吨一世这n这n[0,1]一世nG和n和r一种l一世吨一世sH一种rd,一世Fp这ss一世bl和一种吨一种ll,吨这CH和Cķ一世F吨H和pr这C和ssC这ns吨r在C吨和d一种b这在和H一种sC这n吨一世n在这在sp一种吨Hs.在和米一种是一种CH一世和在和这在rG这一种l,H这在和在和r,一世F在和C这ns一世d和r一种sp和C一世F一世C这r吨H这n这r米一种ls是s吨和米(这吨H和r在一种是s这Fd和一种l一世nG在一世吨H吨H一世sd一世FF一世C在l吨是米一种是b和F这在nd一世n[5,61,100,79] \uparrow).在和在一世llC这ns吨r在C吨一种乙r这在n一世一种n米这吨一世这n这n[0,1]在s一世nG吨H和s是s吨和米x_{n}Fr这米4.2 .14.一种s一世n4.2 .19,在和d和F一世n和一种X=∑n=0∞(Xn,X)是n在H和r和Y_ {n}一世s一种s和q在和nC和这Fs吨一种nd一种rd一世nd和p和nd和n吨r一种nd这米在一种r一世一种bl和s.大号和吨在吨(ω)=(一种1[0,吨))(ω)=∑n=0∞(Xn,1[0,吨))是n(ω)=∑n=0∞是n(吨)是n(ω),吨∈[0,1]吨H和一种rG在米和n吨pr和s和n吨和d一世n4.3 .1sH这在s吨H一种吨w_{t}$满足布朗运动定义的前两个条件，只需要解决路径的连续性问题。
注意是n(吨)=(Xn,1[0,吨))=∫0吨Xn(s)ds是一个连续函数，因此对于任何ω, (4.6) 中级数的部分和是连续函数的（线性组合）。我们将证明级数绝对一致地收敛于吨∈[0,1]几乎所有ω∈Ω. 为此写
在吨(ω)=∑n=0∞∑ķ=02n−1是2n+ķ(吨)是2n+ķ(ω)
数学代写|随机过程作业代写Stochastic Processes代考|Stochastic integrals
让我们考虑以下与布朗运动相关的危险博弈在(吨),吨≥0. 假设当时吨0我们放置一个金额X(吨0)作为一个赌注，拥有X(吨0)[在(吨0+H)−在(吨0)]有时吨0+H. 更一般地说，假设我们放置金额X(吨一世)有时吨一世具有
∑一世=1n−1X(吨一世)[在(吨一世+1)−在(吨一世)]
有时吨n在哪里0≤一种=吨0<吨1<⋯<吨n=b<∞. 如果我们想象我们可能会以连续的方式改变我们的赌注，我们就会考虑在分区细化到无穷小的水平时这种总和的限制。这样一个限制，一个随机变量，将被表示∫一种bX(吨)d在(吨). 然而，问题是这样的限制是否存在，以及它是否具有我们习惯于与积分相关联的属性。这个问题不是一个小问题，因为我们从4.3.10,吨→在(吨)不是有界变化的[一种,b], 所以这个积分可能不是黎曼-斯蒂尔切斯积分。这种新型积分是由ķ. 伊藤，现在被称为伊藤积分。要理解这个概念，读者必须记住的第一件事是，我们不会尝试分别为每条路径定义这个积分。相反，我们认为在(吨)作为平方可积函数空间的一个元素，并且积分被定义为同一空间的一个元素。但仅仅改变观点和我们将要运作的空间是不够的。作为一个函数吨↦在(吨)∈ 大号2(Ω,F,磷)在哪里(Ω,F,磷)是概率空间，其中在(吨),吨≥0被定义，布朗运动也不是有界变化的。要看到，考虑一个统一的分区吨一世=一种+一世n(b−一种),一世=0,..,n的[一种,b]. 自从和[在(吨一世+1)−在(吨一世)]2=1n(b−一种), 总和的上限∑一世=1n−1|在(吨一世+1)−在(吨一世)|大号2(Ω,F,磷)在区间的分区上[一种,b]至少是∑一世=1n−1b−一种n=nb−一种，如声称的那样。
数学代写|随机过程作业代写Stochastic Processes代考|Definition
4.4.6 定义依据4.4.4和4.4.5之间存在线性等距大号p2和大号2(Ω,F,磷). 这种等距称为伊藤积分并表示为一世(X)=∫一种bX d在.
4.4.7 作为鞅的伊藤积分 不难看出，取一种<b<C和X∈大号p2[一种,C]我们有∫一种bX d在=∫一种CX1[一种,b]×Ωd在. 因此，通过线性∫一种CX d在=∫一种bX d在+∫bCX d在. 另外，我们有和∫一种CX d在=0简单，因此所有过程X在大号p2[一种,C]， 自从和是一个有界线性泛函大号2(Ω,F,磷). 最后，和(∫bCXd在∣Fb)=0和以前一样Fb=σ(在(s),0≤s≤b). 确实，如果X是一个简单的过程（4.17）（与b取而代之C和一种取而代之b)， 然后和(X吨一世d一世∣F吨一世)=X吨一世和(d一世∣F吨一世)=0， 对全部0≤一世≤n−1, 由塔属性从何而来和(X吨一世d一世∣Fb)=0同样，我们的公式如下。
现在，假设X∈大号p2[0,吨]对全部吨>0. 那么我们可以定义是(吨)= ∫0吨X d在. 过程是(吨),吨≥0, 是关于过滤的时间连续鞅F吨,吨≥0，继承自布朗运动。确实，和(是(吨)∣Fs)=和(∫0sX d在∣Fs)+和(∫s吨X d在∣Fs)=∫0sX d在+0= 是(s)， 因为∫0sX d在是Fs可测量的极限Fs可测量的函数。
4.4.8 关于平方可积鞅的随机积分的信息 有多种方法可以推广伊藤积分的概念。例如，人们可以放宽可测性和可积性条件，并在较弱的意义上获得简单过程的积分极限（例如在概率上而不是在大号2）。然而，最重要的事实似乎是人们可以定义与布朗运动以外的过程有关的积分。最一般但最合理的积分器是所谓的连续局部鞅，但在本说明中，我们将自己限制为连续平方可积鞅。这些是时间连续的鞅是(吨),吨≥0和和是2(吨)<∞,吨≥0，并且几乎所有的轨迹都是连续的。当然，布朗运动就是这种过程的一个例子。可以证明，对于任何这样的鞅，都存在一个适应的、非递减的过程一种(吨)这样是2(吨)−一种(吨)是鞅。非递减过程是几乎所有路径都非递减的过程。对于布朗运动，一种(吨)不依赖于ω和等于吨. 现在，重点是人们可以证明空间大号p2[一种,b]=大号p2[一种,b,是]逐渐可测量的过程X这样和∫一种bX2(s)d一种(s)是有限的 是等距同构的大号2(Ω,F,磷). 为了确定这一事实，我们需要证明简单的过程在大号p2[一种,b,是]并将简单过程的 Itô 积分定义为一世(X)=∑一世=0n−1X吨一世[是(吨一世+1)−是(吨一世)]. 同样，关键步骤是建立 Itô 等距，现在读者很欣赏我们在 4.4.5 中建立它的方式。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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