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随机过程被定义为随机变量的集合，定义在一个共同的概率空间上。
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- Foundations of Data Science 数据科学基础
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数学代写|随机过程作业代写Stochastic Processes代考|Brownian motion and Hilbert spaces
The Wiener mathematical model of the phenomenon observed by an English botanist Robert Brown in 1828 has been and still is one of the most interesting stochastic processes. Kingman [66] writes that the deepest results in the theory of random processes are concerned with the interplay of the two most fundamental processes: Brownian motion and the Poisson process. Revuz and Yor [100] point out that the Wiener process “is a good topic to center a discussion around because Brownian motion is in the intersection of many fundamental classes of processes. It is a continuous martingale, a Gaussian process, a Markov process or more specifically a process with independent increments”. Moreover, it belongs to the important class of diffusion processes [58]. It is actually quite hard to find a book on probability and stochastic processes that does not describe this process at least in a heuristic way. Not a serious book, anyway.
Historically, Brown noted that pollen grains suspended in water perform a continuous swarming motion. Years (almost a century) later Bachelier and Einstein derived the probability distribution of a position of a particle performing such a motion (the Gaussian distribution) and pointed out its Markovian nature – lack of memory, roughly speaking. But it took another giant, notably Wiener, to provide a rigorous mathematical construction of a process that would satisfy the postulates of Einstein and Bachelier.
It is hard to overestimate the importance of this process. Even outside of mathematics, as Karatzas and Shreve [64] point out “the range of application of Brownian motion (…) goes far beyond a study of microscopic particles in suspension and includes modelling of stock prices, of thermal noise in electric circuits (…) and of random perturbations in a variety of other physical, biological, economic and management systems”. In
mathematics, Wiener’s argument involved a construction of a measure in the infinite-dimensional space of continuous functions on $\mathbb{R}^{+}$, and this construction was given even before establishing firm foundations for the mathematical measure theory.
To mention just the most elementary and yet so amazing properties of this measure let us note that it is concentrated on functions that are not differentiable at any point. Hence, from its perspective, functions that are differentiable at a point form a negligible set in the space of continuous functions. This should be contrasted with quite involved proofs of existence of a single function that is nowhere differentiable and a once quite common belief (even among the greatest mathematicians) that nowhere differentiable functions are not an interesting object for a mathematician to study and, even worse, that all continuous functions should be differentiable somewhere. On the other hand, if the reader expects this process to have only strange and even peculiar properties, he will be surprised to learn that, to the contrary, on the macroscopic level it has strong smoothing properties. For example, if we take any, say bounded, function $x: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ and for a given $t>0$ consider the function $x_{t}(\tau)=E x(\tau+w(t)), \tau \in \mathbb{R}$ where $w(t)$ is the value of a Wiener process at time $t$, this new function turns out to be infinitely differentiable! Moreover, $x(t, \tau)=x_{t}(\tau)$ is the solution of a famous heat equation $\frac{\partial u}{\partial t}=$ const. $\frac{\partial^{2} u}{\partial \tau^{2}}$ with the initial condition $u(0, \tau)=x(\tau)$. And this fact is just a peak of a huge iceberg of connections between stochastic processes and partial differential equations of second order.
数学代写|随机过程作业代写Stochastic Processes代考|Gaussian families & the definition of Brownian motion
4.1.1 Definition A family $\left{X_{t}, t \in \mathbb{T}\right}$ of random variables defined on a probability space $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ where $\mathbb{T}$ is an abstract set of indexes is called a stochastic process. The cases $\mathbb{T}=\mathbb{N}, \mathbb{R}, \mathbb{R}^{+},[a, b],[a, b),(a, b]$, $(a, b)$ are very important but do not exhaust all cases of importance. For example, in the theory of point processes, $T$ is a family of measurable sets in a measurable space $[24,66]$. If $\mathbb{T}=\mathbb{N}$ (or $\mathbb{Z}$ ), we say that our process is time-discrete (hence, a time-discrete process is a sequence of random variables). If $\mathbb{T}=\mathbb{R}, \mathbb{R}^{+}$etc. we speak of time-continuous processes. For any $\omega \in \Omega$, the function $t \rightarrow X_{t}(\omega)$ is referred to as realization/sample path/trajectory/path of the process.
4.1.2 Gaussian random variables An n-dimensional random vector
$$
X=\left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right)
$$
is said to be normal or Gaussian iff for any $\alpha=\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right) \in R^{n}$ the random variable $\sum_{j=1}^{n} \alpha_{j} X_{j}$ is normal. It is said to be standard normal if $X_{i}$ are independent and normal $N(0,1)$. A straightforward calculation (see 1.4.7) shows that convolution of normal densities is normal, so that the standard normal vector is indeed normal. In general, however, for a vector to be normal it is not enough for its coordinates to be normal. For instance, let us consider a $0<p<1$ and a vector $\left(X_{1}, X_{2}\right)$ with the density
$$
f\left(x_{1}, x_{2}\right)=p \frac{1}{\pi} \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}+x_{2}^{2}}{2}}+(1-p) \frac{1}{\pi} \frac{2 \sqrt{3}}{3} \mathrm{e}^{-\frac{4}{3} \frac{x_{1}^{2}+x_{1} x_{2}+x_{2}^{2}}{2}} .
$$
Then $X_{1}$ and $X_{2}$ are normal but $\left(X_{1}, X_{2}\right)$ is not. To see that one checks for example that $X_{1}-\frac{1}{2} X_{2}$ is not normal.
数学代写|随机过程作业代写Stochastic Processes代考|Complete orthonormal sequences in a Hilbert space
4.2.1 Linear independence Vectors $x_{1}, \ldots, x_{n}$ in a linear space $\mathrm{X}$ are said to be linearly independent iff the relation
where $\alpha_{i} \in \mathbb{R}$ implies $\alpha_{1}=\alpha_{2}=\cdots=\alpha_{n}=0$. In other words, $x_{1}, \ldots, x_{n}$ are independent iff none of them belongs to the subspace spanned by the remaining vectors. In particular, none of them may be zero.
We say that elements of an infinite subset $\mathbb{Z}$ of a linear space are linearly independent if any finite subset of $\mathbb{Z}$ is composed of linearly independent vectors.
4.2.2 Orthogonality and independence A subset $\mathrm{Y}$ of a Hilbert space is said to be composed of orthogonal vectors, or to be an orthogonal set, if for any distinct $x$ and $y$ from $Y,(x, y)=0$, and if $0 \notin \bar{Y}$. If, additionally $|x|=1$ for any $x \in \mathbb{Y}$, the set is said to be composed of orthonormal vectors, or to be an orthonormal set. By a usual abuse of language, we will also say that a sequence is orthonormal (orthogonal) if its values form an orthonormal (orthogonal) set.
Orthogonal vectors are linearly independent, for if (4.2) holds, then $0=\left(\sum_{i=1}^{n} \alpha x_{i}, \sum_{i=1}^{n} \alpha x_{i}\right)=\sum_{i=1}^{n} \alpha^{2}\left|x_{i}\right|^{2}$, which implies $\alpha_{i}=0$, for $i=1, \ldots, n$. On the other hand, if $x_{1}, \ldots, x_{n}$ are linearly independent then one may find a sequence $y_{1}, \ldots, y_{n}$, of orthonormal vectors such that $\operatorname{span}\left{x_{1}, \ldots, x_{n}\right}=\operatorname{span}\left{y_{1}, \ldots, y_{n}\right}$. The proof may be carried by induction. If $n=1$ there is nothing to prove; all we have to do is take $y_{1}=\frac{x_{1}}{\left|x_{1}\right|}$ to make sure that $\left|y_{1}\right|=1$. Suppose now that vectors $x_{1}, \ldots, x_{n+1}$ are linearly independent; certainly $x_{1}, \ldots, x_{n}$ are independent also. Let $y_{1}, \ldots, y_{n}$ be orthonormal vectors such that $\mathrm{Y}:=\operatorname{span}\left{x_{1}, \ldots, x_{n}\right}=\operatorname{span}\left{y_{1}, \ldots, y_{n}\right}$. The vector $x_{n+1}$ does not belong to $\mathrm{Y}$ and so we may take $y_{n+1}=\frac{x_{n+1}-P_{x_{n+1}}}{\left|x_{n+1}-P x_{n+1}\right|}$ where $P$ denotes projection on $\mathbb{Y}$. (The reader will check that $\mathbb{Y}$ is a subspace of $\mathbb{H}$; consult $5.1 .5$ if needed.) Certainly, $y_{1}, \ldots, y_{n+1}$ are orthonormal. Moreover, since $y_{n+1} \in \operatorname{span}\left{x_{1}, \ldots, x_{n+1}\right}$ (since $P x_{n+1} \in \operatorname{span}\left{x_{1}, \ldots, x_{n}\right}$ ), $\operatorname{span}\left{y_{1}, \ldots, y_{n+1}\right} \subset \operatorname{span}\left{x_{1}, \ldots, x_{n+1}\right}$; analogously we prove the converse inclusion. The above procedure of constructing orthonormal vectors from linearly independent vectors is called the Gram-Schmidt orthonormalization procedure. There are a number of examples of sequences of orthogonal polynomials that can be obtained via the GramSchmidt orthonormalization procedure, including (scalar multiples) of Legendre, Hermite and Laguerre polynomials that are of importance both in mathematics and in physics (see [83], [53], [75] Section 40).
随机过程代写
数学代写|随机过程作业代写Stochastic Processes代考|Brownian motion and Hilbert spaces
英国植物学家罗伯特布朗在 1828 年观察到的现象的维纳数学模型一直是并且仍然是最有趣的随机过程之一。Kingman [66] 写道，随机过程理论中最深刻的结果与两个最基本过程的相互作用有关：布朗运动和泊松过程。Revuz 和 Yor [100] 指出，维纳过程“是一个很好的话题，可以集中讨论，因为布朗运动是许多基本过程类别的交集。它是一个连续鞅、一个高斯过程、一个马尔可夫过程，或者更具体地说是一个具有独立增量的过程”。此外，它属于重要的一类扩散过程[58]。实际上很难找到一本关于概率和随机过程的书不至少以启发式的方式描述这个过程。反正不是一本正经的书。
从历史上看，布朗注意到悬浮在水中的花粉粒会进行连续的蜂拥运动。几年（将近一个世纪）之后，巴切利埃和爱因斯坦推导出了执行这种运动的粒子位置的概率分布（高斯分布），并指出了它的马尔可夫性质——粗略地说，缺乏记忆。但是，另一个巨人，尤其是维纳，提供了一个满足爱因斯坦和巴舍利埃假设的过程的严格数学结构。
很难高估这个过程的重要性。即使在数学之外，正如 Karatzas 和 Shreve [64] 所指出的那样，“布朗运动的应用范围（……）远远超出了对悬浮微观粒子的研究，包括股票价格建模、电路中的热噪声（…… ) 以及各种其他物理、生物、经济和管理系统中的随机扰动”。在
在数学上，维纳的论点涉及在连续函数的无限维空间中构建测度R+，而且这种结构甚至在为数学测度理论建立牢固的基础之前就已经给出了。
仅提及该度量的最基本但又如此惊人的属性，让我们注意它集中在任何时候都不可微分的函数上。因此，从它的角度来看，在一点可微的函数在连续函数空间中形成一个可忽略的集合。这应该与一个无处可微的单一函数存在的相当复杂的证明和曾经相当普遍的信念（即使在最伟大的数学家之间）形成对比，即无处可微的函数不是数学家研究的有趣对象，更糟糕的是，所有连续函数都应该在某处可微。另一方面，如果读者期望这个过程只有奇怪甚至奇特的性质，他会惊讶地发现，相反，在宏观层面上，它具有很强的平滑性。例如，如果我们采用任何有界函数X:R→R并且对于给定的吨>0考虑函数X吨(τ)=和X(τ+在(吨)),τ∈R在哪里在(吨)是维纳过程在时间的值吨，这个新函数原来是无限可微的！而且，X(吨,τ)=X吨(τ)是一个著名的热方程的解∂在∂吨=常量。∂2在∂τ2与初始条件在(0,τ)=X(τ). 而这个事实只是随机过程和二阶偏微分方程之间联系的巨大冰山的一个高峰。
数学代写|随机过程作业代写Stochastic Processes代考|Gaussian families & the definition of Brownian motion
4.1.1 定义A族\left{X_{t}, t \in \mathbb{T}\right}\left{X_{t}, t \in \mathbb{T}\right}在概率空间上定义的随机变量(Ω,F,磷)在哪里吨是一组抽象的索引，称为随机过程。案例吨=ñ,R,R+,[一种,b],[一种,b),(一种,b], (一种,b)非常重要，但不要穷尽所有重要的案例。例如，在点过程理论中，吨是可测空间中的可测集族[24,66]. 如果吨=ñ（或者从)，我们说我们的过程是时间离散的（因此，时间离散的过程是一系列随机变量）。如果吨=R,R+等等，我们谈到时间连续的过程。对于任何ω∈Ω， 功能吨→X吨(ω)被称为过程的实现/样本路径/轨迹/路径。
4.1.2 高斯随机变量 n 维随机向量
$$
X =\left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right)
$$
被称为对任意 $ \alpha = \left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right) \in R^{n}吨H和r一种nd这米在一种r一世一种bl和\sum_{j=1}^{n} \alpha_{j} X_{j}一世sn这r米一种l.一世吨一世ss一种一世d吨这b和s吨一种nd一种rdn这r米一种l一世FX_{i}一种r和一世nd和p和nd和n吨一种ndn这r米一种lN(0,1).一种s吨r一种一世GH吨F这r在一种rdC一种lC在l一种吨一世这n(s和和1.4.7)sH这在s吨H一种吨C这n在这l在吨一世这n这Fn这r米一种ld和ns一世吨一世和s一世sn这r米一种l,s这吨H一种吨吨H和s吨一种nd一种rdn这r米一种l在和C吨这r一世s一世nd和和dn这r米一种l.一世nG和n和r一种l,H这在和在和r,F这r一种在和C吨这r吨这b和n这r米一种l一世吨一世sn这吨和n这在GHF这r一世吨sC这这rd一世n一种吨和s吨这b和n这r米一种l.F这r一世ns吨一种nC和,l和吨在sC这ns一世d和r一种0<p<1一种nd一种在和C吨这r\left(X_{1}, X_{2}\right)在一世吨H吨H和d和ns一世吨是F(X1,X2)=p1圆周率和−X2+X222+(1−p)1圆周率233和−43X12+X1X2+X222.吨H和nX_{1}一种ndX_{2}一种r和n这r米一种lb在吨\left(X_{1}, X_{2}\right)一世sn这吨.吨这s和和吨H一种吨这n和CH和CķsF这r和X一种米pl和吨H一种吨X_{1}-\frac{1}{2} X_{2}$ 不正常。
数学代写|随机过程作业代写Stochastic Processes代考|Complete orthonormal sequences in a Hilbert space
4.2.1 线性独立向量X1,…,Xn在线性空间X据说是线性独立的，当且仅
当关系一种一世∈R暗示一种1=一种2=⋯=一种n=0. 换句话说，X1,…,Xn是独立的，当且仅当它们都不属于剩余向量所跨越的子空间。特别是，它们都不可能是零。
我们说无限子集的元素从的线性空间是线性独立的，如果任何有限的子集从由线性独立的向量组成。
4.2.2 正交性和独立性子集是的希尔伯特空间被称为由正交向量组成，或者是一个正交集，如果对于任何不同的X和是从是,(X,是)=0， 而如果0∉是¯. 如果，另外|X|=1对于任何X∈是，该集合被称为由正交向量组成，或者是一个正交集合。通过通常的语言滥用，如果序列的值形成正交（正交）集合，我们也会说序列是正交的（正交）。
正交向量是线性独立的，如果 (4.2) 成立，则0=(∑一世=1n一种X一世,∑一世=1n一种X一世)=∑一世=1n一种2|X一世|2，这意味着一种一世=0， 为了一世=1,…,n. 另一方面，如果X1,…,Xn是线性独立的，那么可以找到一个序列是1,…,是n, 的正交向量使得\operatorname{span}\left{x_{1}, \ldots, x_{n}\right}=\operatorname{span}\left{y_{1}, \ldots, y_{n}\right}\operatorname{span}\left{x_{1}, \ldots, x_{n}\right}=\operatorname{span}\left{y_{1}, \ldots, y_{n}\right}. 证明可以通过归纳来进行。如果n=1没有什么可以证明的；我们所要做的就是采取是1=X1|X1|以确保|是1|=1. 现在假设向量X1,…,Xn+1是线性独立的；当然X1,…,Xn也是独立的。让是1,…,是n是正交向量，使得\mathrm{Y}:=\operatorname{span}\left{x_{1}, \ldots, x_{n}\right}=\operatorname{span}\left{y_{1}, \ldots, y_{n }\对}\mathrm{Y}:=\operatorname{span}\left{x_{1}, \ldots, x_{n}\right}=\operatorname{span}\left{y_{1}, \ldots, y_{n }\对}. 向量Xn+1不属于是所以我们可以采取是n+1=Xn+1−磷Xn+1|Xn+1−磷Xn+1|在哪里磷表示投影在是. （读者会检查是是一个子空间H; 咨询5.1.5如果需要。）当然，是1,…,是n+1是正交的。此外，由于y_{n+1} \in \operatorname{span}\left{x_{1}, \ldots, x_{n+1}\right}y_{n+1} \in \operatorname{span}\left{x_{1}, \ldots, x_{n+1}\right}（自从P x_{n+1} \in \operatorname{span}\left{x_{1}, \ldots, x_{n}\right}P x_{n+1} \in \operatorname{span}\left{x_{1}, \ldots, x_{n}\right} ), \operatorname{span}\left{y_{1}, \ldots, y_{n+1}\right} \subset \operatorname{span}\left{x_{1}, \ldots, x_{n+1}\对}\operatorname{span}\left{y_{1}, \ldots, y_{n+1}\right} \subset \operatorname{span}\left{x_{1}, \ldots, x_{n+1}\对}; 类似地，我们证明了相反的包含。上述从线性无关向量构造正交向量的过程称为 Gram-Schmidt 正交化过程。有许多正交多项式序列的示例可以通过 GramSchmidt 正交归一化程序获得，包括勒让德、埃尔米特和拉盖尔多项式的（标量倍数），它们在数学和物理学中都很重要（参见 [83]，[ 53]，[75] 第 40 节）。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。