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随机过程被定义为随机变量的集合，定义在一个共同的概率空间上。
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- Advanced Probability Theory 高等楖率论
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- (Generalized) Linear Models 广义线性模型
- Statistical Machine Learning 统计机器学习
- Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
- Foundations of Data Science 数据科学基础
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数学代写|随机过程作业代写Stochastic Processes代考|Projections in Hilbert spaces
3.1.1 Definition A linear space with the binary operation $X \times X \rightarrow \mathbb{R}$. mapping any pair in $X \times X$ into a scalar denoted $(x, y)$, is called a unitary space or an inner product space iff for all $x, y, z \in \mathbb{X}$, and $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$, the following conditions are satisfied:
(s1) $(x+y, z)=(x, z)+(y, z)$,
(s2) $(\alpha x, y)=\alpha(x, y)$,
(s3) $(x, x) \geq 0$,
(s4) $(x, x)=0$ iff $x=0$.
(s5) $(x, y)=(y, x)$.
The number $(x, y)$ is called the scalar product of $x$ and $y$. The vectors $x$ and $y$ in a unitary space are termed orthogonal iff their scalar product is 0 .
3.1.2 Example The space $l^{2}$ of square summable sequences with the scalar product $(x, y)=\sum_{n=1}^{\infty} \xi_{n} \eta_{n}$ is a unitary space; here $x=\left(\xi_{n}\right){n \geq 1}$, $y=\left(\eta{n}\right){n \geq 1}$. The space $C{[0,1]}$ of continuous functions on $[0,1]$ with
the scalar product $(x, y)=\int_{0}^{1} x(s) y(s) \mathrm{d} s$ is a unitary space. Another important example is the space $L^{2}(\Omega, \mathcal{F}, \mu)$ where $(\Omega, \mathcal{F}, \mu)$ is a measure space, with $(x, y)=\int_{\Omega} x y \mathrm{~d} \mu$. The reader is encouraged to check conditions (s1)-(s5) of the definition.
In particular, if $\mu$ is a probability space, we have $(X, Y)=E X Y$. Note that defining, as customary, the covariance of two square integrable random variables $X$ and $Y$ as $\operatorname{cov}(X, Y)=E\left(X-(E X) 1_{\Omega}\right)\left(Y-(E Y) 1_{\Omega}\right)$ we obtain $\operatorname{cov}(X, Y)=(X, Y)-E X E Y$.
3.1.3 Cauchy-Schwartz-Bunyakovski inequality For any $x$ and $y$ in a unitary space,
$$
(x, y)^{2} \leq(x, x)(y, y)
$$
Proof Define the real function $f(t)=(x+t y, x+t y)$; by (s3) it admits non-negative values. Using (s1)-(s2) and (s5):
$$
f(t)=(x, x)+2 t(x, y)+t^{2}(y, y) ;
$$
so $f(t)$ is a second order polynomial in $t$. Thus, its discriminant must be non-positive, i.e. $4(x, y)^{2}-4(x, x)(y, y) \leq 0$.
数学代写|随机过程作业代写Stochastic Processes代考|Banach spaces
As we have mentioned already, the notion of a Banach space is crucial in functional analysis and in this book. Having covered the algebraic aspects of Banach space in the previous section, we now turn to discussing topological aspects. A natural way of introducing topology in a linear space is by defining a norm. Hence, we begin this section with the definition of a normed space (which is a linear space with a norm) and continue with discussion of Cauchy sequences that leads to the definition of a Banach space, as a normed space “without holes”. Next, we give a number of examples of Banach spaces (mostly those that are important in probability theory) and introduce the notion of isomorphic Banach spaces. Then we show how to immerse a normed space in a Banach space and provide examples of dense algebraic subspaces of Banach spaces. We close by showing how the completeness of a Banach space may be used to prove existence of an element that satisfies some required property.
2.2.1 Normed linear spaces Let $X$ be a linear space. A function $|\cdot|$ : $\mathrm{X} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto|x|$ is called a norm, if for all $x, y \in \mathbb{X}$ and $\alpha \in \mathbb{R}$,
(n1) $|x| \geq 0$,
(n2) $|x|=0$, iff $x=\Theta$,
(n3) $|\alpha x|=|\alpha||x|$,
(n4) $|x+y| \leq|x|+|y|$.
If (n2) does not necessarily hold, $|\cdot|$ is called a semi-norm. Note that if $|\cdot|$ is a semi-norm, then $|\Theta|=0$ by (n3) and 2.1.4. A pair (X, $|\cdot|)$, where $X$ is a linear space and $|\cdot|$ is a norm in $X$ called a normed linear space, and for simplicity we say that $X$ itself is a normed linear space (or just normed space).
2.2.2 Exercise $(n 3)-(n 4)$ imply that for $x, y \in \mathbb{X}$,
$$
||x|-|y|| \leq|x \pm y| .
$$
数学代写|随机过程作业代写Stochastic Processes代考|Definition and existence of conditional expectation
3.2.1 Motivation Let $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ be a probability space. If $B \in \mathcal{F}$ is such that $\mathbb{P}(B)>0$ then for any $A \in \mathcal{F}$ we define conditional probability $\mathbb{P}(A \mid B)$ (probability of $A$ given $B$ ) as
$$
\mathbb{P}(A \mid B)=\frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(B)} .
$$
As all basic courses in probability explain, this quantity expresses the fact that a partial knowledge of a random experiment (” $B$ happened”) influences probabilities we assign to events. To take a simple example, in tossing a die, the knowledge that an even number turned up excludes three events, so that we assign to them conditional probability zero, and makes the probabilities of getting 2,4 or 6 twice as big. Or, if three balls are chosen at random from a box containing four red, four white and four blue balls, then the probability of the event $A$ that all three of them are of the same color is $3\left(\begin{array}{l}4 \ 3\end{array}\right) /\left(\begin{array}{c}12 \ 3\end{array}\right)=\frac{3}{55}$. However, if we know that at least one of the balls that were chosen is red, the probability of $A$ decreases and becomes $\left(\begin{array}{l}4 \ 3\end{array}\right)\left[\left(\begin{array}{c}12 \ 3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{l}8 \ 3\end{array}\right)\right]^{-1}=\frac{3}{130}$. By the way, if this result does not agree with the reader’s intuition, it may be helpful to remark that the knowledge that there is no red ball among the chosen ones increases the probability of $A$, and that it is precisely the reason why the knowledge that at least one red ball was chosen decreases the probability of $A$.
An almost obvious property of $\mathbb{P}(A \mid B)$ is that, as a function of $A$, it constitutes a new probability measure on the measurable space $(\Omega, \mathcal{F})$. It enjoys also other, less obvious, and maybe even somewhat surprising properties. To see that, let $B_{i}, i=1, \ldots, n, n \in \mathbb{N}$ be a collection of mutually disjoint measurable subsets of $\Omega$ such that $\bigcup_{i=1}^{n} B_{i}=\Omega$ and $\mathbb{P}\left(B_{i}\right)>0$. Such collections, not necessarily finite, are often called dissections, or decompositions, of $\Omega$. Also, let $A \in \mathcal{F}$. Consider all
functions $Y$ of the form
$$
Y=\sum_{i=1}^{n} b_{i} 1_{B_{i}}
$$
where $b_{i}$ are arbitrary constants. How should the constants $b_{i}, i=1, \ldots, n$ be chosen for $Y$ to be the closest to $X=1_{A}$ ? The answer depends, of course, on the way “closeness” is defined. We consider the distance
$$
d(Y, X)=\sqrt{\int_{\Omega}(Y-X)^{2} d \mathbb{P}}=|Y-X|_{L^{2}(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})}
$$
In other words, we are looking for constants $b_{i}$ such that the distance $|Y-X|_{L^{2}(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})}$ is minimal; in terms of $3.1 .12$ we want to find a projection of $X$ onto the linear span of $\left{1_{B_{i}}, i=1, \ldots, n\right}$. Calculations are easy; the expression under the square-root sign in $(3.6)$ is
$$
\begin{aligned}
\sum_{i=1}^{n} \int_{B_{i}}\left(Y-1_{A}\right)^{2} \mathrm{dP} &=\sum_{i=1}^{n} \int_{B_{i}}\left(b_{i}-1_{A}\right)^{2} \mathrm{dP} \
&=\sum_{i=1}^{n}\left[b_{i}^{2} \mathbb{P}\left(B_{i}\right)-2 b_{i} \mathbb{P}\left(B_{i} \cap A\right)+\mathbb{P}(A)\right],
\end{aligned}
$$
and its minimum is attained when $b_{i}$ are chosen to be the minima of the binomials $b_{i}^{2} \mathbb{P}\left(B_{i}\right)-2 b_{i} \mathbb{P}\left(B_{i} \cap A\right)+\mathbb{P}(A)$, i.e. if
$$
b_{i}=\frac{\mathbb{P}\left(A \cap B_{i}\right)}{\mathbb{P}\left(B_{i}\right)}=\mathbb{P}\left(A \mid B_{i}\right) .
$$
Now, this is very interesting! Our simple reasoning shows that in order to minimize the distance (3.6), we have to choose $b_{i}$ in (3.5) to be conditional probabilities of $A$ given $B_{i}$. Or: the conditional probabilities $\mathbb{P}\left(A \mid B_{i}\right)$ are the coefficients in the projection of $X$ onto the linear span of $\left{1_{B_{i}}, i=1, \ldots, n\right}$. This is not obvious from the original definition at all.
随机过程代写
数学代写|随机过程作业代写Stochastic Processes代考|Projections in Hilbert spaces
3.1.1 定义二元运算的线性空间X×X→R. 映射任何对X×X成一个标量表示(X,是), 称为酉空间或内积空间 iffX,是,和∈X， 和一种,b∈R，满足以下条件：
(s1)(X+是,和)=(X,和)+(是,和),
(s2)(一种X,是)=一种(X,是),
(s3)(X,X)≥0,
(s4)(X,X)=0当且当X=0.
(s5)(X,是)=(是,X).
数字(X,是)被称为标量积X和是. 向量X和是如果它们的标量积为 0，则在酉空间中称为正交。
3.1.2 示例空间l2具有标量积的平方和序列(X,是)=∑n=1∞Xn这n是一个单一的空间；这里X=(Xn)n≥1, 是=(这n)n≥1. 空间C[0,1]上的连续函数[0,1]和
标量积(X,是)=∫01X(s)是(s)ds是一个单位空间。另一个重要的例子是空间大号2(Ω,F,μ)在哪里(Ω,F,μ)是一个测度空间，有(X,是)=∫ΩX是 dμ. 鼓励读者检查定义的条件（s1）-（s5）。
特别是，如果μ是一个概率空间，我们有(X,是)=和X是. 请注意，按照惯例，定义两个平方可积随机变量的协方差X和是作为这(X,是)=和(X−(和X)1Ω)(是−(和是)1Ω)我们获得这(X,是)=(X,是)−和X和是.
3.1.3 Cauchy-Schwartz-Bunyakovski 不等式 对于任意X和是在一个单一的空间里，
(X,是)2≤(X,X)(是,是)
证明 定义实函数F(吨)=(X+吨是,X+吨是); 通过 (s3) 它承认非负值。使用 (s1)-(s2) 和 (s5)：
F(吨)=(X,X)+2吨(X,是)+吨2(是,是);
所以F(吨)是二阶多项式吨. 因此，它的判别式必须是非正的，即4(X,是)2−4(X,X)(是,是)≤0.
数学代写|随机过程作业代写Stochastic Processes代考|Banach spaces
正如我们已经提到的，Banach 空间的概念在泛函分析和本书中都至关重要。在上一节介绍了 Banach 空间的代数方面之后，我们现在转向讨论拓扑方面。在线性空间中引入拓扑的一种自然方式是定义一个范数。因此，我们从定义范数空间（这是一个有范数的线性空间）开始这一节，然后继续讨论柯西序列，从而将巴拿赫空间定义为“无孔”的范数空间。接下来，我们给出了一些巴拿赫空间的例子（主要是那些在概率论中很重要的例子），并介绍了同构巴拿赫空间的概念。然后我们展示了如何将范数空间浸入到 Banach 空间中，并提供了 Banach 空间的稠密代数子空间的示例。
2.2.1 范数线性空间 LetX是一个线性空间。一个函数|⋅| : X→R,X↦|X|被称为规范，如果对所有人X,是∈X和一种∈R,
(n1)|X|≥0,
(n2)|X|=0, 当且X=θ,
(n3)|一种X|=|一种||X|,
(n4)|X+是|≤|X|+|是|.
如果 (n2) 不一定成立，|⋅|称为半范数。请注意，如果|⋅|是一个半范数，那么|θ|=0通过 (n3) 和 2.1.4。一对 (X,|⋅|)， 在哪里X是一个线性空间并且|⋅|是一个规范X称为规范线性空间，为简单起见，我们说X本身是一个范数线性空间（或只是范数空间）。
2.2.2 练习(n3)−(n4)暗示对于X,是∈X,
||X|−|是||≤|X±是|.
数学代写|随机过程作业代写Stochastic Processes代考|Definition and existence of conditional expectation
3.2.1 动机让(Ω,F,磷)是一个概率空间。如果乙∈F是这样的磷(乙)>0那么对于任何一种∈F我们定义条件概率磷(一种∣乙)（概率一种给定乙） 作为
磷(一种∣乙)=磷(一种∩乙)磷(乙).
正如概率的所有基础课程所解释的那样，这个量表达了这样一个事实，即随机实验的部分知识（”乙发生”）影响我们分配给事件的概率。举一个简单的例子，在掷骰子时，出现偶数的知识排除了三个事件，因此我们将条件概率分配给它们为零，并使获得 2,4 或 6 的概率增加一倍。或者，如果从一个包含四个红球、四个白球和四个蓝球的盒子中随机选择三个球，则该事件的概率一种他们三个都是相同的颜色是3(4 3)/(12 3)=355. 然而，如果我们知道至少有一个被选中的球是红色的，那么一种减少并变成(4 3)[(12 3)−(8 3)]−1=3130. 顺便说一句，如果这个结果与读者的直觉不符，可能会有助于说明，知道所选中没有红球会增加一种，而这正是为什么知道至少选择了一个红球会降低发生概率的原因一种.
一个几乎显而易见的属性磷(一种∣乙)是，作为一个函数一种，它构成了可测空间上的一种新的概率测度(Ω,F). 它还具有其他不那么明显，甚至可能有些令人惊讶的特性。要看到这一点，让乙一世,一世=1,…,n,n∈ñ是相互不相交的可测量子集的集合Ω这样⋃一世=1n乙一世=Ω和磷(乙一世)>0. 这样的集合，不一定是有限的，通常被称为解剖或分解，Ω. 另外，让一种∈F. 考虑所有
职能是形式的
是=∑一世=1nb一世1乙一世
在哪里b一世是任意常数。常量应该如何b一世,一世=1,…,n被选为是最接近X=1一种? 当然，答案取决于“亲近”的定义方式。我们考虑距离
d(是,X)=∫Ω(是−X)2d磷=|是−X|大号2(Ω,F,磷)
换句话说，我们正在寻找常数b一世使得距离|是−X|大号2(Ω,F,磷)是最小的；按照3.1.12我们想找到一个投影X上的线性跨度\left{1_{B_{i}}, i=1, \ldots, n\right}\left{1_{B_{i}}, i=1, \ldots, n\right}. 计算很容易；平方根下的表达式(3.6)是
∑一世=1n∫乙一世(是−1一种)2d磷=∑一世=1n∫乙一世(b一世−1一种)2d磷 =∑一世=1n[b一世2磷(乙一世)−2b一世磷(乙一世∩一种)+磷(一种)],
并且达到最小值时b一世被选为二项式的最小值b一世2磷(乙一世)−2b一世磷(乙一世∩一种)+磷(一种)，即如果
b一世=磷(一种∩乙一世)磷(乙一世)=磷(一种∣乙一世).
现在，这很有趣！我们的简单推理表明，为了最小化距离（3.6），我们必须选择b一世在（3.5）中是条件概率一种给定乙一世. 或者：条件概率磷(一种∣乙一世)是投影中的系数X上的线性跨度\left{1_{B_{i}}, i=1, \ldots, n\right}\left{1_{B_{i}}, i=1, \ldots, n\right}. 从最初的定义来看，这根本不明显。
统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。
金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。