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随机过程被定义为随机变量的集合，定义在一个共同的概率空间上。
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- Statistical Machine Learning 统计机器学习
- Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
- Foundations of Data Science 数据科学基础
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数学代写|随机过程作业代写Stochastic Processes代考|measures
Limit theorems of probability theory constitute an integral, and beautiful, part of this theory and of mathematics as a whole. They involve, of course, the notion of convergence of random variables and the reader has already noticed there are many modes of convergence, including almost sure convergence, convergence in $L^{1}$, and convergence in probability. By far the most important mode of convergence is so-called weak convergence. Strictly speaking, this is not a mode of convergence of random variables themselves but of their distributions, i.e. measures on $\mathbb{R}$. The famous Riesz Theorem, to be discussed in 5.2.9, says that the space $\mathbb{B M}(S)$ of Borel measures on a locally compact topological space $S$ is isometrically isomorphic to the dual of $C_{0}(S)$. This gives natural ways of defining new topologies in $\mathbb{B M}(S)$ (see Section $5.3$ ). It is almost magical, though in fact not accidental at all, that one of these topologies is exactly “what the doctor prescribes” and what is needed in probability. This particular topology is, furthermore, very interesting in itself. As one of the treats, the reader will probably enjoy looking at Helly’s principle, so important in probability, from the broader perspective of Alaoglu’s Theorem.
We start this chapter by learning more on linear functionals. An important step in this direction is the famous Hahn-Banach Theorem on extending linear functionals; as an application we will introduce the notion of a Banach limit. Then, in Section $5.2$ we will study examples of dual spaces, and in Section $5.3$ some topologies in the dual of a Banach space. Finally, we will study compact sets in the weak topology and approach the problem of existence of Brownian motion from this perspective.
数学代写|随机过程作业代写Stochastic Processes代考|The Hahn–Banach Theorem
5.1.1 Definition If $X$ is a linear normed space, then the space of linear maps from $X$ to $\mathbb{R}$ is called the space of linear functionals. Its algebraic subspace composed of bounded linear functionals is termed the dual space and denoted $X^{}$. The elements of $X^{}$ will be denoted $F, G$, etc. The value of a functional $F$ on a vector $x$ will be denoted $F x$ or $\langle F, x\rangle$. In some contexts, the letter notation is especially useful showing the duality between $x$ and $F$ (see below).
Let us recall that boundedness of a linear functional $F$ means that there exists an $M>0$ such that
$$
|F x| \leq M|x|, \quad x \in \mathbb{X}
$$
Note that $F x$ is a number, so that we write $|F x|$ and not $|F x|$.
$5.1 .2$ Theorem Let $F$ be a linear functional in a normed space $X$, and let $L={x \in X: F x=0}$. The following are equivalent:
(a) $F$ is bounded.
(b) $F$ is continuous,
(c) $L$ is closed,
(d) either $L=X$ or there exists a $y \in X$ and a number $r>0$ such that $F x \neq 0$ whenever $|x-y|<r$.
Proof Implications $(a) \Rightarrow(b) \Rightarrow(c)$ are immediate (see $2.3 .3$ ). If $L \neq \mathrm{X}$, then there exists a $y \in X \backslash L$, and if (c) holds then $X \backslash L$ is open, so that (d) holds also.
To prove that $(\mathrm{d})$ implies $(\mathrm{a})$, let $B(y, r)={x:|x-y|0$ for some $x, x^{\prime} \in B(y, r)$, then the convex combination $x_{c}=\frac{F x^{\prime}}{F x^{\prime}-F x} x+\frac{-F x}{F x^{\prime}-F x} x^{\prime}$ satisfies $F x_{c}=\frac{F x^{\prime} F x-F x F x^{\prime}}{F x^{\prime}-F x}=0$, contrary to our assumption (note that $B(y, r)$ is convex). Hence, without loss of generality we may assume that $F x>0$ for all $x \in B(y, r)$. Let $z \neq 0$ be an arbitrary element of $X$, and set $x_{+}=y+\frac{r}{| z} z \in B(y, r)$ and $x_{-}=y-\frac{r}{|z|} z \in B(y, r)$. Since $F x_{+}>0,-F z<\frac{F_{y}}{r}|z|$. Analogously, $F x_{-}>0$ implies $F z<\frac{F_{y}}{r}|z|$. Thus, (a) follows with $M=\frac{F_{y}}{r}$.
数学代写|随机过程作业代写Stochastic Processes代考|Form of linear functionals in specific Banach spaces
In 3.1.28 we saw that all bounded linear functionals on a Hilbert space $\mathbb{H}$ are of the form $F x=(x, y)$ where $y$ is an element of $\mathbb{H}$. In this section we will provide forms of linear functionals in some other Banach spaces. It will be convenient to agree that from now on the phrase “a linear functional” means “a bounded linear functional”, unless stated otherwise.
$5.2 .1$ Theorem Let $X=c_{0}$ be the space of sequences $x=\left(\xi_{n}\right){n \geq 1}$ such that $\lim {n \rightarrow \infty} \xi_{n}=0$, equipped with the supremum norm. $F$ is a functional on $X$ if and only if there exists a unique sequence $\left(\alpha_{n}\right){n \geq 1} \in l^{1}$ such that $$ F x=\sum{n=1}^{\infty} \xi_{n} \alpha_{n}
$$
where the last series converges uniformly. Also, $|F|_{c_{0}^{}}=\left|\left(\alpha_{n}\right){n \geq 1}\right|{l^{11}}$ In words: $c_{0}^{}$ is isometrically isomorphic to $l^{1}$.
Proof Define $e_{i}=\left(\delta_{i, n}\right){n \geq 1}$. Since $\left|\sum{i=1}^{n} \xi_{i} e_{i}-x\right|=\sup {i \geq n+1}\left|\xi{i}\right|$ which tends to zero as $n \rightarrow \infty$, we may write $x=\lim {n \rightarrow \infty} \sum{i=1}^{n} \xi_{i} e_{i}=$ $\sum_{i=1}^{\infty} \xi_{i} e_{i}$. In particular, $\left(e_{n}\right){n \geq 1}$ is linearly dense in $c{0}$. This is crucial for the proof.
If $\left(\alpha_{n}\right){n \geq 1}$ belongs to $l^{1}$, then $$ \sum{n=1}^{\infty}\left|\xi_{n} \alpha_{n}\right| \leq|x|_{c_{0}} \sum_{n=1}^{\infty}\left|\alpha_{n}\right|=|x|_{c_{0}}\left|\left(\alpha_{n}\right){n \geq 1}\right|{l^{1}}
$$
and the formula $(5.7)$ defines a bounded linear functional on $c_{0}$.
Conversely, suppose that $F$ is a linear functional on $c_{0}$. Define $\alpha_{n}=$ $F e_{n}$, and $x_{n}=\sum_{i=1}^{n}\left(\operatorname{sgn} \alpha_{i}\right) e_{i} \in c_{0}$. We have $\left|x_{n}\right|_{c_{0}} \leq 1$, and $F x_{n}=$ $\sum_{i=1}^{n}\left|\alpha_{i}\right|$. Since $|F x| \leq|F|$, if $|x| \leq 1,\left(\alpha_{n}\right){n \geq 1}$ belongs to $l^{1}$ and its norm in this space is does not exceed $|F|$. Using continuity and linearity of $F$, for any $x \in c{0}$,
$$
\begin{aligned}
F x &=F \lim {n \rightarrow \infty} \sum{i=1}^{n} \xi_{i} e_{i}=\lim {n \rightarrow \infty} F \sum{i=1}^{n} \xi_{i} e_{i} \
&=\lim {n \rightarrow \infty} \sum{i=1}^{n} \xi_{i} F e_{i}=\lim {n \rightarrow \infty} \sum{i=1}^{n} \xi_{i} \alpha_{i}=\sum_{n=1}^{\infty} \xi_{i} \alpha_{i}
\end{aligned}
$$
Estimate (5.8) proves that the last series converges absolutely and that $|F| \leq\left|\left(\alpha_{n}\right){n \geq 1}\right|{l^{2}}$. Combining this with (5.8) we obtain $|F|_{c_{0}^{*}}=$ $\left|\left(\alpha_{n}\right){n \geq 1}\right|{l^{1}}$
随机过程代写
数学代写|随机过程作业代写Stochastic Processes代考|measures
概率论的极限定理构成了该理论和整个数学的一个完整而优美的部分。当然，它们涉及随机变量收敛的概念，读者已经注意到有许多收敛模式，包括几乎肯定收敛，大号1, 和概率收敛。到目前为止，最重要的收敛模式是所谓的弱收敛。严格来说，这不是随机变量本身的收敛模式，而是它们分布的收敛模式，即R. 将在 5.2.9 中讨论的著名的 Riesz 定理说，空间乙米(小号)局部紧致拓扑空间上的 Borel 测度小号等距同构于对偶C0(小号). 这提供了定义新拓扑的自然方法乙米(小号)（见第5.3）。这几乎是神奇的，尽管事实上根本不是偶然的，其中一种拓扑正是“医生所开的”和概率所需要的。此外，这种特殊的拓扑结构本身就非常有趣。作为其中的一种，读者可能会喜欢从 Alaoglu 定理的更广泛的角度来看待在概率上如此重要的 Helly 原理。
我们从学习更多关于线性泛函开始本章。朝着这个方向迈出的重要一步是著名的关于扩展线性泛函的 Hahn-Banach 定理。作为一个应用程序，我们将介绍 Banach 限制的概念。然后，在部分5.2我们将研究对偶空间的例子，并在第5.3Banach 空间的对偶中的一些拓扑。最后，我们将研究弱拓扑中的紧集，并从这个角度解决布朗运动的存在性问题。
数学代写|随机过程作业代写Stochastic Processes代考|The Hahn–Banach Theorem
5.1.1 定义如果X是一个线性范数空间，那么线性映射的空间来自X到R称为线性泛函空间。它由有界线性泛函组成的代数子空间称为对偶空间，记为$X^{ }.吨H和和l和米和n吨s这FX^{ }在一世llb和d和n这吨和dF, G,和吨C.吨H和在一种l在和这F一种F在nC吨一世这n一种lF这n一种在和C吨这rX在一世llb和d和n这吨和dFx这r\角度 F, x\角度.一世ns这米和C这n吨和X吨s,吨H和l和吨吨和rn这吨一种吨一世这n一世s和sp和C一世一种ll是在s和F在lsH这在一世nG吨H和d在一种l一世吨是b和吨在和和nX一种ndF$（见下文）。
让我们回顾一下线性泛函的有界性F意味着存在一个米>0这样
|FX|≤米|X|,X∈X
注意FX是一个数字，所以我们写|FX|并不是|FX|.
5.1.2定理让F是范数空间中的线性泛函X， 然后让大号=X∈X:FX=0. 以下是等效的：
(a)F是有界的。
(二)F是连续的，
(c)大号已关闭，
(d) 要么大号=X或者存在一个是∈X和一个数字r>0这样FX≠0每当|X−是|<r.
证明含义(一种)⇒(b)⇒(C)是即时的（见2.3.3）。如果大号≠X, 那么存在一个是∈X∖大号, 如果 (c) 成立，那么X∖大号是开放的，所以 (d) 也成立。
为了证明(d)暗示(一种), 令 $B(y, r)={x:|xy|0F这rs这米和x, x^{\prime} \in B(y, r),吨H和n吨H和C这n在和XC这米b一世n一种吨一世这nx_{c}=\frac{F x^{\prime}}{F x^{\prime}-F x} x+\frac{-F x}{F x^{\prime}-F x} x^ {\主要}s一种吨一世sF一世和sF x_{c}=\frac{F x^{\prime} F xF x F x^{\prime}}{F x^{\prime}-F x}=0,C这n吨r一种r是吨这这在r一种ss在米p吨一世这n(n这吨和吨H一种吨B(y, r)一世sC这n在和X).H和nC和,在一世吨H这在吨l这ss这FG和n和r一种l一世吨是在和米一种是一种ss在米和吨H一种吨Fx>0F这r一种llx \in B(y, r).大号和吨z\neq 0b和一种n一种rb一世吨r一种r是和l和米和n吨这FX,一种nds和吨x_{+}=y+\frac{r}{| z} z \in B(y, r)一种ndx_{-}=y-\frac{r}{|z|} z \in B(y, r).小号一世nC和F x_{+}>0,-F z<\frac{F_{y}}{r}|z|.一种n一种l这G这在sl是,F x_{-}>0一世米pl一世和sF z<\frac{F_{y}}{r}|z|.吨H在s,(一种)F这ll这在s在一世吨HM=\frac{F_{y}}{r}$。
数学代写|随机过程作业代写Stochastic Processes代考|Form of linear functionals in specific Banach spaces
在 3.1.28 中，我们看到希尔伯特空间上的所有有界线性泛函H是形式FX=(X,是)在哪里是是一个元素H. 在本节中，我们将提供一些其他 Banach 空间中的线性泛函形式。除非另有说明，否则同意从现在开始，短语“线性泛函”意味着“有界线性泛函”是很方便的。
5.2.1定理让X=C0是序列的空间X=(Xn)n≥1这样林n→∞Xn=0，配备最高范数。F是一个功能上X当且仅当存在唯一序列(一种n)n≥1∈l1这样FX=∑n=1∞Xn一种n
最后一个系列均匀收敛。还，|F|C0=|(一种n)n≥1|l11用一句话来说：C0等距同构于l1.
证明定义和一世=(d一世,n)n≥1. 自从|∑一世=1nX一世和一世−X|=支持一世≥n+1|X一世|趋向于零n→∞，我们可以写X=林n→∞∑一世=1nX一世和一世= ∑一世=1∞X一世和一世. 尤其，(和n)n≥1是线性稠密的C0. 这对于证明是至关重要的。
如果(一种n)n≥1属于l1， 然后∑n=1∞|Xn一种n|≤|X|C0∑n=1∞|一种n|=|X|C0|(一种n)n≥1|l1
和公式(5.7)定义了一个有界线性泛函C0.
相反，假设F是一个线性泛函C0. 定义一种n= F和n， 和Xn=∑一世=1n(sgn一种一世)和一世∈C0. 我们有|Xn|C0≤1， 和FXn= ∑一世=1n|一种一世|. 自从|FX|≤|F|， 如果|X|≤1,(一种n)n≥1属于l1并且它在这个空间的范数是不超过|F|. 使用连续性和线性F, 对于任何X∈C0,
FX=F林n→∞∑一世=1nX一世和一世=林n→∞F∑一世=1nX一世和一世 =林n→∞∑一世=1nX一世F和一世=林n→∞∑一世=1nX一世一种一世=∑n=1∞X一世一种一世
估计（5.8）证明了最后一个级数绝对收敛并且|F|≤|(一种n)n≥1|l2. 将其与（5.8）结合，我们得到|F|C0∗= |(一种n)n≥1|l1
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。