数学代写|随机过程作业代写Stochastic Processes代考|The Central Limit Theorem

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随机过程被定义为随机变量的集合,定义在一个共同的概率空间上。

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  • (Generalized) Linear Models 广义线性模型
  • Statistical Machine Learning 统计机器学习
  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
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数学代写|随机过程作业代写Stochastic Processes代考|The Central Limit Theorem

数学代写|随机过程作业代写Stochastic Processes代考|The Central Limit Theorem

By far the most important example of weak convergence is the Central Limit Theorem. For its proof we need the following lemma, in which the lack on dependence of the limit on $X$ is of greatest interest; the fact that the second derivative in the limit points out to the normal distribution will become clear in Chapters 7 and 8 (see 8.4.18 in particular).
5.5.1 Lemma Let $X$ be square integrable with $E X=0$ and $E X^{2}=$ 1. Also, let $a_{n}, n \geq 1$ be a sequence of positive numbers such that $\lim {n \rightarrow \infty} a{n}=0$. Then, for any $x \in \mathcal{D}$, the set of twice differentiable functions $x \in C[-\infty, \infty]$ with $x^{\prime \prime} \in C[-\infty, \infty]$, the limit of $\frac{1}{a_{n}^{2}}\left(T_{a_{n}} X x-x\right)$ exists and does not depend on $X$. In fact it equals $\frac{1}{2} x^{\prime \prime}$.

Proof By the Taylor formula, for a twice differentiable $x$, and numbers $\tau$ and $\varsigma$,
$$
x(\tau+\varsigma)=x(\tau)+\varsigma x^{\prime}(\tau)+\frac{\varsigma^{2}}{2} x^{\prime \prime}(\tau+\theta \varsigma)
$$

where $0 \leq \theta \leq 1$ depends on $\tau$ and $\varsigma$ (and $x$ ). Thus,
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{a_{n}^{2}}\left[T_{a_{n} X} x(\tau)-x(\tau)\right] &=\frac{1}{a_{n}^{2}} E\left[x\left(\tau+a_{n} X\right)-x(\tau)\right] \
&=\frac{1}{a_{n}} x^{\prime}(\tau) E X+\frac{1}{2} E\left[X^{2} x^{\prime \prime}\left(\tau+\theta a_{n} X\right)\right] \
&=\frac{1}{2} E\left[X^{2} x^{\prime \prime}\left(\tau+\theta a_{n} X\right)\right]
\end{aligned}
$$
for $E X=0 . \dagger$ Since $E X^{2}=1$,
$$
\left|\frac{1}{a_{n}^{2}}\left(T_{a_{n} X} x-x\right)(\tau)-\frac{1}{2} x^{\prime \prime}(\tau)\right|=\left|\frac{1}{2} E X^{2}\left(x^{\prime \prime}\left(\tau+\theta a_{n} X\right)-x^{\prime \prime}(\tau)\right)\right| .
$$
For $x \in \mathcal{D}$, and $\epsilon>0$, one may choose a $\delta$ such that $\left|x^{\prime \prime}(\tau+\varsigma)-x^{\prime \prime}(\tau)\right|<$ $\epsilon$, provided $|\varsigma|<\delta$. Calculating the last expectation on the set where $|X| \geq \frac{\delta}{a_{n}}$ and its complement separately we get the estimate $$ \left|\frac{1}{a_{n}^{2}}\left(T_{a_{n}} X x-x\right)-\frac{1}{2} x^{\prime \prime}\right| \leq \frac{1}{2}\left|x^{\prime \prime}\right| E X^{2} 1_{\left{|X| \geq \frac{\delta}{a_{n}}\right}}+\frac{1}{2} \epsilon . $$ Since $\mathbb{P}\left{|X| \geq \frac{\delta}{a_{n}}\right} \rightarrow 0$ as $n \rightarrow \infty$ we are done by the Lebesgue Dominated Convergence Theorem. 5.5.2 The Central Limit Theorem The Central Limit Theorem in its classical form says that if $X_{n}, n \geq 1$ is a sequence of i.i.d. (independent, identically distributed) random variables with expected value $m$ and variance $\sigma^{2}>0$, then
$$
\frac{1}{\sqrt{n \sigma^{2}}} \sum_{k=1}^{n}\left(X_{k}-m\right)
$$
converges weakly to the standard normal distribution.

数学代写|随机过程作业代写Stochastic Processes代考|Weak convergence in metric spaces

The assumption that the space $S$ where our probability measures are defined is compact (or locally compact) is quite restrictive and is not fulfilled in many important cases of interest. On the other hand, assuming just that $S$ is a topological space leads to an unnecessarily general class. The golden mean for probability seems to lie in separable metric spaces, or perhaps, Polish spaces. A Polish space is by definition a separable, complete metric space. We start with general metric spaces to specialize to Polish spaces later when needed. As an application of the theory developed here, in the next section we will give another proof of the existence of Brownian motion.

5.6.1 Definition Let $(S, d)$ be a metric space, and let $B C(S)$ be the space of continuous (with respect to the metric $d$, of course) functions on $S$. A sequence $\mathbb{P}{n}$ of Borel probability measures on $S$ is said to converge weakly to a Borel probability measure $\mathbb{P}$ on $S$ iff, for all $x \in B C(S)$, $$ \lim {n \rightarrow \infty} \int_{S} x \mathrm{dP}{n}=\int{S} x \mathrm{dP} .
$$
It is clear that this definition agrees with the one introduced in the previous section, as in the case where $S$ is both metric and compact, $B C(S)$ coincides with $C(S)$.
We will sometimes write $E_{n} x$ for $\int_{S} x \mathbb{d P}{n}$ and $E x$ for $\int{S} x \mathrm{dP}$.
5.6.2 Corollary Suppose $\mathbb{P}{n}, n \geq 1$ is a sequence of Borel probability measures on $(S, d)$ and $f: S \rightarrow S^{\prime}$, where $\left(S^{\prime}, d^{\prime}\right)$ is another metric space, is a continuous map. Then the transport measures $\left(\mathbb{P}{n}\right){f}, n \geq 1$ on $S^{\prime}$ converge weakly. The proof is immediate by the change of variables formula $(1.6)$. 5.6.3 Portmanteau Theorem Let $\mathbb{P}$ and $\mathbb{P}{n}, n \geq 1$ be probability measures on a metric space $(S, d)$. The following are equivalent:
(a) $\mathbb{P}{n}$ converge weakly to $\mathbb{P}$, (b) condition (5.25) holds for Lipschitz continuous $x$ with values in $[0,1]$, (c) limsup $\operatorname{sun}{n \rightarrow \infty} \mathbb{P}{n}(F) \leq \mathbb{P}(F)$, for closed $F \subset S$, (d) $\liminf {n \rightarrow \infty} \mathbb{P}{n}(G) \geq \mathbb{P}(G)$, for open $G \subset S$, (e) $\lim {n \rightarrow \infty} \mathbb{P}_{n}(B)=\mathbb{P}(B)$, for Borel $B$ with $\mu(\partial B)=0$.

数学代写|随机过程作业代写Stochastic Processes代考|Compactness everywhere

I believe saying that the notion of compactness is one of the most important ones in topology and the whole of mathematics is not an exaggeration. Therefore, it is not surprising that it comes into play in a crucial way in a number of theorems of probability theory as well (see e.g. $5.4 .18$ or $6.6 .12$ ). To be sure, Helly’s principle, so familiar to all students of probability, is simply saying that any sequence of probability measures on $\mathbb{R}$ is relatively compact; in functional analysis this theorem finds its important generalization in Alaoglu’s Theorem. We will discuss compactness of probability measures on separable metric spaces, as well (Prohorov’s Theorem), and apply the results to give another proof of existence of Brownian motion (Donsker’s Theorem). On our way to Brownian motion we will prove the Arzela-Ascoli Theorem, too.

We start by looking once again at the results of Section 3.7, to continue with Alexandrov’s Lemma and Tichonov’s Theorem that will lead directly to Alaoglu’s Theorem mentioned above.
5.7.1 Compactness and convergence of martingales As we have seen in 3.7.7, a martingale converges in $L^{1}$ iff it is uniformly integrable. Moreover, in $3.7 .15$ we proved that a martingale converges in $L^{p}, p>1$ iff it is bounded. Consulting [32] p. 294 we see that uniform integrability is necessary and sufficient for a sequence to be relatively compact in the weak topology of $L^{1}$. Similarly, in [32] p. 289 it is shown that a sequence in $L^{p}, p>1$ is weakly relatively compact iff it is bounded. Hence, the results of $3.7 .7$ and $3.7 .15$ may be summarized by saying that a martingale in $L^{p}, p \geq 1$, converges iff it is weakly relatively compact. However, my attempts to give a universal proof that would work in both cases covered in $3.7 .7$ and $3.7 .15$ have failed. I was not able to find such a proof in the literature, either.

How is it that a limit of a sequence in partial metric space is not unique?  - Quora
数学代写|随机过程作业代写Stochastic Processes代考|The Central Limit Theorem

随机过程代写

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到目前为止,弱收敛最重要的例子是中心极限定理。对于它的证明,我们需要以下引理,其中缺乏对极限的依赖性X是最感兴趣的;极限中的二阶导数指向正态分布这一事实将在第 7 章和第 8 章中变得清楚(具体参见 8.4.18)。
5.5.1 引理让X平方可积和X=0和和X2=1.另外,让一种n,n≥1是一个正数序列,使得 $\lim {n \rightarrow \infty} a {n}=0.吨H和n,F这r一种n是x \in \mathcal{D},吨H和s和吨这F吨在一世C和d一世FF和r和n吨一世一种bl和F在nC吨一世这nsx \in C[-\infty, \infty]在一世吨Hx^{\prime \prime} \in C[-\infty, \infty],吨H和l一世米一世吨这F\frac{1}{a_{n}^{2}}\left(T_{a_{n}} X xx\right)和X一世s吨s一种ndd这和sn这吨d和p和nd这nX.一世nF一种C吨一世吨和q在一种ls\frac{1}{2} x^{\prime \prime}$。

泰勒公式证明,对于二次可微X, 和数字τ和ε,
X(τ+ε)=X(τ)+εX′(τ)+ε22X′′(τ+θε)

在哪里0≤θ≤1取决于τ和ε(和X)。因此,
1一种n2[吨一种nXX(τ)−X(τ)]=1一种n2和[X(τ+一种nX)−X(τ)] =1一种nX′(τ)和X+12和[X2X′′(τ+θ一种nX)] =12和[X2X′′(τ+θ一种nX)]
为了和X=0.†自从和X2=1,
|1一种n2(吨一种nXX−X)(τ)−12X′′(τ)|=|12和X2(X′′(τ+θ一种nX)−X′′(τ))|.
为了X∈D, 和ε>0, 可以选择一个d这样|X′′(τ+ε)−X′′(τ)|< ε, 假如|ε|<d. 计算集合的最后一个期望 where|X|≥d一种n及其补码我们分别得到估计\left|\frac{1}{a_{n}^{2}}\left(T_{a_{n}} X xx\right)-\frac{1}{2} x^{\prime \prime} \对| \leq \frac{1}{2}\left|x^{\prime \prime}\right| E X^{2} 1_{\左{|X| \geq \frac{\delta}{a_{n}}\right}}+\frac{1}{2} \epsilon 。\left|\frac{1}{a_{n}^{2}}\left(T_{a_{n}} X xx\right)-\frac{1}{2} x^{\prime \prime} \对| \leq \frac{1}{2}\left|x^{\prime \prime}\right| E X^{2} 1_{\左{|X| \geq \frac{\delta}{a_{n}}\right}}+\frac{1}{2} \epsilon 。自从\mathbb{P}\左{|X| \geq \frac{\delta}{a_{n}}\right} \rightarrow 0\mathbb{P}\左{|X| \geq \frac{\delta}{a_{n}}\right} \rightarrow 0作为n→∞我们是由勒贝格支配收敛定理完成的。5.5.2 中心极限定理 经典形式的中心极限定理说,如果Xn,n≥1是具有期望值的 iid(独立同分布)随机变量序列米和方差σ2>0, 然后
1nσ2∑ķ=1n(Xķ−米)
弱收敛于标准正态分布。

数学代写|随机过程作业代写Stochastic Processes代考|Weak convergence in metric spaces

假设空间小号我们的概率度量被定义为紧凑(或局部紧凑)的地方是非常严格的,并且在许多重要的感兴趣的情况下都没有实现。另一方面,假设只是小号是一个拓扑空间导致一个不必要的一般类。概率的黄金均值似乎存在于可分离的度量空间中,或者也许是波兰空间。根据定义,波兰空间是可分离的、完整的度量空间。我们从一般度量空间开始,稍后在需要时专门研究波兰空间。作为此处发展的理论的应用,在下一节中,我们将给出布朗运动存在的另一个证明。

5.6.1 定义让(小号,d)为度量空间,令乙C(小号)是连续的空间(关于度量d, 当然) 函数小号. 一个序列磷n的 Borel 概率测度小号据说弱收敛到 Borel 概率测度磷在小号如果,对所有人X∈乙C(小号),林n→∞∫小号Xd磷n=∫小号Xd磷.
很明显,该定义与上一节中介绍的定义一致,例如小号既是公制又是紧凑的,乙C(小号)恰逢C(小号).
我们有时会写和nX为了∫小号Xd磷n和和X为了∫小号Xd磷.
5.6.2 推论假设磷n,n≥1是一系列 Borel 概率测度(小号,d)和F:小号→小号′, 在哪里(小号′,d′)是另一个度量空间,是一个连续映射。然后运输措施(磷n)F,n≥1在小号′弱收敛。通过变量公式的变化立即证明(1.6). 5.6.3 Portmanteau 定理让磷和磷n,n≥1是度量空间上的概率测度(小号,d). 以下是等效的:
(a)磷n弱收敛到磷, (b) 条件 (5.25) 适用于 Lipschitz 连续X与值[0,1], (c) 限制太阳⁡n→∞磷n(F)≤磷(F), 对于封闭F⊂小号, (d)林infn→∞磷n(G)≥磷(G), 对于开G⊂小号, (和)林n→∞磷n(乙)=磷(乙), 对于博雷尔乙和μ(∂乙)=0.

数学代写|随机过程作业代写Stochastic Processes代考|Compactness everywhere

我相信说紧致性概念是拓扑学中最重要的概念之一,整个数学并不夸张。因此,它在概率论的许多定理中也以关键的方式发挥作用也就不足为奇了(参见例如5.4.18或者6.6.12)。可以肯定的是,所有概率学学生都熟悉的 Helly 原理只是说,任何概率序列都可以测量R比较紧凑;在泛函分析中,该定理在 Alaoglu 定理中得到了重要的推广。我们还将讨论可分离度量空间上概率测度的紧致性(Prohorov 定理),并将结果应用到另一个证明布朗运动存在的证明(Donsker 定理)。在通往布朗运动的路上,我们也将证明 Arzela-Ascoli 定理。

我们首先再次查看第 3.7 节的结果,继续研究 Alexandrov 引理和 Tichonov 定理,这将直接导致上述 Alaoglu 定理。
5.7.1 鞅的紧致性和收敛性 正如我们在 3.7.7 中看到的,鞅收敛于大号1当且仅当它是一致可积的​​。此外,在3.7.15我们证明了鞅收敛于大号p,p>1当且仅当它是有界的。咨询 [32] 页。294 我们看到一致可积性对于序列在弱拓扑中相对紧凑是必要和充分的大号1. 同样,在 [32] p。第289章大号p,p>1当它是有界的时,它是弱相对紧致的。因此,结果3.7.7和3.7.15可以概括为一个鞅大号p,p≥1, 收敛当它是弱相对紧凑。然而,我试图给出一个普遍的证明,在这两种情况下都适用3.7.7和3.7.15失败了。我也无法在文献中找到这样的证据。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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