数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|MTH 3016

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数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|MTH 3016

数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Limit Theorems for Markov Chain

Definition $2.10$ Let $d(\mathrm{i})$ be the greatest common divisor of those $n \geq 1$ for which $p_{i i}^{(n)}>0$. Then $d(i)$ is called the period of the state $i$. If $d(i)=1$, then the state $i$ is called aperiodic.
Note $i \leftrightarrow j$, then $d(i)=d(j)$
There exists $n_{1}$ and $n_{2}$ such that $p_{i j}^{\left(n_{1}\right)}>0$ and $p_{j i}^{\left(n_{2}\right)}>0$.
Now $p_{i i}^{\left(n_{1}+n_{2}\right)} \geq p_{i j}^{\left(n_{1}\right)} p_{j i}^{\left(n_{2}\right)}>0$ and hence $d(i)$ is a divisor of $n_{1}+n_{2}$.
If $p_{j j}^{(n)}>0$, then $p_{i i}^{\left(n_{1}+n+n_{2}\right)} \geq p_{i j}^{\left(n_{1}\right)} p_{j j}^{(n)} p_{j i}^{\left(n_{2}\right)}>0$ (by Chapman Kolmogorov equation).

Hence, $d(i)$ is a divisor of $n_{1}+n+n_{2}$. So $d(i)$ must be a divisor of $n$ if $p_{j i}^{(n)}>0$

Thus $d(i)$ is a divisor of $\left{n \geq 1: p_{j j}^{(n)}>0\right}$. Since $d(j)$ is the largest of such divisors, $d(i) \leq d(j)$. Hence, by symmetry $d(j) \leq d(i)$.
Hence $d(i)=d(j)$. Therefore having a period $d$ is a class property.
Note If $p_{i i}>0$, then $d(i)=1$ and this implies that a sufficient condition for an irreducible M.C. to be aperiodic is that $p_{i i}>0$ for some $i \in S$. Hence a queueing chain is aperiodic.
Theorem $2.7$ Limit Theorem (for diagonal elements)
Let $j$ be any state in a M.C. As $n \rightarrow \infty$.
(i) if $j$ is transient, then $p_{j j}^{(n)} \rightarrow 0$
(ii) if $j$ is null recurrent, then $p_{j j}^{(n)} \rightarrow 0$
(iii) if $j$ is positive (recurrent) and
(a) aperiodic, then $p_{j j}^{(n)} \rightarrow \frac{1}{\sum_{n=1}^{\infty} n f_{j j}^{(n)}}=\frac{1}{\mu_{j}}$ (mean recurrence time of $j$ )(b) periodic with period $d(j)$ then $p_{J \prime}^{(n d(j))} \rightarrow \frac{d(j)}{\mu_{j}}$. Write $d(j) / \mu_{j}=\pi_{j}$.

数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Special Chains and Foster Type Theorems

If the Markov Chain is infinite, the number of equations given by $\pi(P-I)=0$ will be infinite involving an infinite number of unknowns. In some particular cases we can solve these equations. The following examples will illustrate this point.
Example $2.5$ Birth and.Death Chain (Non-Homogeneous Random Walk) Consider a birth and death chain on ${0,1,2, \ldots, d}$ or a set of non-negative integers i.e. where $d=\infty$. Assume that the chain is irreducible i.e. $p_{j}>0$ and $q_{j}>0$ in case $0 \leq j \leq d$ (i.e. when $d$ is finite) $p_{j}>0$ for $0 \leq j<\infty$ and $q_{j}>0$ for $0<j<\infty$ if $d$ is infinite. Consider the transition matrix
$$
\left(\begin{array}{cccccc}
r_{0} & p_{0} & 0 & \cdots & \cdot & \
q_{1} & r_{1} & p_{1} & 0 & \cdots & \
0 & q_{2} & r_{2} & p_{2} & 0 & . \
0 & 0 & q_{3} & r_{3} & p_{3} & 0 \
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdots &
\end{array}\right)
$$
when $d<\infty$ we assume that $r_{i}=0$ for $i \geq 0$ and $p_{0}=1$.
Particular Case: First consider that $d$ is still infinite and $r_{1}=0$ for $i \geq 0$, $p_{0}=1$. The stationary distribution is given by or $X=X P$. Let $x_{0} \neq 0$. Then
$$
\begin{aligned}
&x_{0}=x_{1} q_{1}, \
&x_{1}=x_{0}+x_{2} q_{2}, \
&x_{3}=x_{2} p_{2}+x_{4} q_{4}, \
&x_{4}=\ldots \
&\ldots
\end{aligned}
$$
Define
$$
y_{i}=\frac{x_{i}}{x_{0}}, y_{0}=1, i=1,2,3, \ldots
$$
Then
$$
\begin{aligned}
&y_{1}=1 / q_{1}, y_{1}=1+y_{2} q_{2} \text { or } y_{2}=\frac{y_{1}-1}{q_{2}}=\frac{1-q_{1}}{q_{1} q_{2}}=\frac{p_{1}}{q_{1} q_{2}} \
&y_{3}=\frac{p_{1} p_{2}}{q_{1} q_{2} q_{3}}, \ldots, y_{n}=\frac{p_{1} p_{2} \ldots p_{n-1}}{q_{1} q_{2} \ldots q_{n}}>0 \quad \text { for all } n=1,2, \ldots
\end{aligned}
$$
(by assumption that all $p, q$ ‘s are $>0$ ).

数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Foster type theorems

The following theorems, associated with Foster, give criteria for transient and recurrent chains in terms of solution of certain equations. Assume that the M.C. is irreducible.

Theorem 2.11 (Foster, 1953) Let the Markov chain be irreducible. Assume that there exists $x_{k} . k \in S$ such that $x_{k}=\sum_{k \in S} x_{i} p_{i k}$ and $0<\sum_{k \in S}\left|x_{k}\right|<\infty$. Then the Markóv Chain is positive recurrent (this is a soort of converse of Theoremem $2.9$ ). Proof Since $y_{k}=\frac{1}{\sum_{k \in S}\left|x_{k}\right|}>0, \sum_{k \in S} y_{k}=1$.

Without loss of generality $\left{x_{k}, k \in S\right}$ is a stationary distribution of a M.C. Then

$$
x_{k}=\sum_{k \in S} x_{i} p_{i k}^{(n)} \text { for all } n=1,2, \ldots
$$
Suppose that there is no positive state.
Since the M.C. is irreducible, then all the states are either transient or null. In that case $p_{i k}^{(n)} \rightarrow 0$ as $n \rightarrow \infty$ for all $i, k \in S$. By Lebesgue Dominated Convergence Theorem, taking $n \rightarrow \infty$ in (2.19)
$$
x_{k}=\sum_{i \in S}\left(x_{i}\right), 0=0 \text { for all } k \in S
$$
But $0<\sum_{k \in S} x_{k}<\infty$ is a contradiction to $(2.20)$.
Hence, there is at least one positive recurrent state. Since M.C. is irreducible, by Solidarity Theorem the M.C. must be positive recurrent.

Conclusion An ireducible aperiodic M.C. has a stationary distribution iff all states are positive recurrent.

数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|MTH 3016

随机过程统计代考

数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Limit Theorems for Markov Chain

定义2.10让d(一世)成为那些的最大公约数n≥1为此p一世一世(n)>0. 然后d(一世)称为状态周期一世. 如果d(一世)=1,那么状态一世称为非周期性。
笔记一世↔j, 然后d(一世)=d(j)
那里存在n1和n2这样p一世j(n1)>0和pj一世(n2)>0.
现在p一世一世(n1+n2)≥p一世j(n1)pj一世(n2)>0因此d(一世)是一个除数n1+n2.
如果pjj(n)>0, 然后p一世一世(n1+n+n2)≥p一世j(n1)pjj(n)pj一世(n2)>0(通过查普曼科尔莫哥洛夫方程)。

因此,d(一世)是一个除数n1+n+n2. 所以d(一世)必须是的除数n如果pj一世(n)>0

因此d(一世)是一个除数\left{n \geq 1: p_{j j}^{(n)}>0\right}\left{n \geq 1: p_{j j}^{(n)}>0\right}. 自从d(j)是此类除数中最大的,d(一世)≤d(j). 因此,通过对称d(j)≤d(一世).
因此d(一世)=d(j). 因此有一个时期d是类属性。
注意如果p一世一世>0, 然后d(一世)=1这意味着不可约 MC 是非周期性的充分条件是p一世一世>0对于一些一世∈小号. 因此,排队链是非周期性的。
定理2.7极限定理(对角元素)
让j成为 MC As 中的任何状态n→∞.
(i) 如果j是瞬态的,那么pjj(n)→0
(ii) 如果j是零循环的,那么pjj(n)→0
(iii) 如果j是正的(经常性的)和
(a) 非周期性的,那么pjj(n)→1∑n=1∞nFjj(n)=1μj(平均复发时间j)(b) 有周期的周期性d(j)然后pĴ′(nd(j))→d(j)μj. 写d(j)/μj=圆周率j.

数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Special Chains and Foster Type Theorems

如果马尔可夫链是无限的,则方程数由下式给出圆周率(磷−我)=0将是无限的,涉及无限数量的未知数。在某些特定情况下,我们可以求解这些方程。下面的例子将说明这一点。
例子2.5Birth and.Death Chain (Non-Homogeneous Random Walk) 考虑一个出生和死亡链0,1,2,…,d或一组非负整数,即其中d=∞. 假设链是不可约的,即pj>0和qj>0如果0≤j≤d(即当d是有限的)pj>0为了0≤j<∞和qj>0为了0<j<∞如果d是无限的。考虑转移矩阵

(r0p00⋯⋅ q1r1p10⋯ 0q2r2p20. 00q3r3p30 ⋅⋅⋅⋅⋯)
什么时候d<∞我们假设r一世=0为了一世≥0和p0=1.
特殊情况:首先考虑d仍然是无限的并且r1=0为了一世≥0, p0=1. 平稳分布由下式给出X=X磷. 让X0≠0. 然后

X0=X1q1, X1=X0+X2q2, X3=X2p2+X4q4, X4=… …
定义

是一世=X一世X0,是0=1,一世=1,2,3,…
然后

是1=1/q1,是1=1+是2q2 或者 是2=是1−1q2=1−q1q1q2=p1q1q2 是3=p1p2q1q2q3,…,是n=p1p2…pn−1q1q2…qn>0 对所有人 n=1,2,…
(假设所有p,q是>0 ).

数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Foster type theorems

以下与 Foster 相关的定理根据某些方程的解给出了瞬态链和循环链的标准。假设 MC 是不可约的。

定理 2.11 (Foster, 1953) 设马尔可夫链不可约。假设存在Xķ.ķ∈小号这样Xķ=∑ķ∈小号X一世p一世ķ和0<∑ķ∈小号|Xķ|<∞. 那么马尔科夫链是正循环的(这是定理的一种逆2.9)。证明自是ķ=1∑ķ∈小号|Xķ|>0,∑ķ∈小号是ķ=1.

不失一般性\left{x_{k}, k \in S\right}\left{x_{k}, k \in S\right}是一个 MC 的平稳分布

Xķ=∑ķ∈小号X一世p一世ķ(n) 对所有人 n=1,2,…
假设没有积极的状态。
由于 MC 是不可约的,那么所有状态要么是瞬态的,要么是空的。在这种情况下p一世ķ(n)→0作为n→∞对所有人一世,ķ∈小号. 由勒贝格支配收敛定理,取n→∞在 (2.19)

Xķ=∑一世∈小号(X一世),0=0 对所有人 ķ∈小号
但0<∑ķ∈小号Xķ<∞是矛盾的(2.20).
因此,至少存在一种积极的复发状态。由于 MC 是不可约的,根据团结定理,MC 必须是正循环的。

结论当所有状态都为正循环时,一个不可约非周期MC具有平稳分布。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

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多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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