数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|MTH7090

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  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|MTH7090

数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Classification of state

Let $f_{i j}^{(n)}=P\left[X_{n}=j, X_{n-1} \neq j, X_{n-2} \neq j, \ldots, X_{1} \neq j \mid X_{0}=i\right]$, i.e. probability of arriving at $j$ at time $n$ for the first time, given that the process starts at $i$.
Define $f_{i j}^{(0)}=0$. Note that $f_{i j}^{(n)}=P\left[T_{i j}=n\right]$, where
$$
T_{i j}=\min \left{n: X_{n}=j \mid X_{0}=i\right}
$$
$f_{i j}^{(n)}$ are called the first entrance probability at $n$th step if $i \neq j$ and recurrence probability at the $n$th step.

Note $f_{i j}^{(1)}=p_{j j}$ gives the diagonal of the transition matrix.
Theorem 2.4 $p_{i j}^{(n)}=\sum_{m=1}^{n} f_{i j}^{(m)} p_{j j}^{(n-m)}$ for all $m=1,2, \ldots n$.
Proof $p_{i j}^{(n)}=P\left[X_{n}=j \mid X_{0}=i\right]$
$$
\begin{aligned}
&\left.=\sum_{m=1}^{n} \frac{P\left[X_{n i} \equiv j\right.}{A}, \frac{X_{m}=j, X_{m-1} \neq j, \ldots, X_{1} \neq j}{B_{m}} \mid X_{0}=i\right] \
&=\sum_{m=1}^{n} P\left[A B_{m} \mid C\right]
\end{aligned}
$$
where $B_{m}$ are disjoint (mutually exclusive) and $\bigcup_{m-1}^{n} B_{m} \supset A$.
Hence
$$
\begin{aligned}
P_{i j}^{(n)} &=\sum_{m=1}^{n} \frac{P\left(A B_{m} C\right) P\left(B_{m} C\right)}{P(C) P\left(B_{m} C\right)} \
&=\sum_{m=1}^{n} P\left(A \mid B_{m} C\right) P\left(B_{m} \mid C\right) \
&=\sum_{m=1}^{n} P\left[X_{n}=j \mid X_{m}=j, X_{m-1} \neq j, \ldots, X_{1} \neq j, X_{0}=i\right] \
P\left[X_{m}\right.&\left.=j, X_{m-1} \neq j, \ldots, X_{1} \neq j \mid X_{0}=i\right] \
&=\sum_{m=1}^{n} P\left(X_{n}=j \mid X_{m}=j\right) f_{i j}^{(m)} \
&=\sum_{m=1}^{n} P_{j i}^{(n-m)} f_{i j}^{(m)}
\end{aligned}
$$

数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|A few important theorem

Let $\left{a_{n}\right}$ be a sequence of real numbers such that $0 \leq a_{n} \leq 1, n=0,1,2, \ldots$.
Let $A(z)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} z^{n}$ be the generating function of $\left{a_{n}\right}$

  1. Pringsheim : $A(z)$ converges in a circle $|z|<r$, where $r \leq 1 . Z=r$ is a singularity of $A(z)$.
  2. Abel : If $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}=a<\infty$, then $\lim _{: \rightarrow 1-} A(Z)=a$.
  3. Tauber: If $\lim {z \rightarrow 1-} A(Z)=a \leq \infty$, then $\sum{n=0}^{\infty} a_{n}=a$.
  4. Cesaro-Abel: If $\lim {n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum{k=1}^{\infty} a_{k}=L<\infty$, then
    $$
    \lim {z \rightarrow 1{-}}(1-z) A(z)=L .
    $$
  5. Cesaro-Tauber: If $\lim _{z \rightarrow 1-}(1-z) A(z)=L<\infty$, then
  6. $$
  7. \lim {z \rightarrow 1–} \frac{1}{n} \sum{k=0}^{n} a_{k}=L .
  8. $$
  9. For proofs of 2 and 3 see the book of Karlin (page 46 , Introduction of Stochastic process) and proofs of 1,4 and 5 see the book of Tichmarsh-Theory of Functions.
  10. Let $n=0,1,2, \ldots$
  1. (Lebesgue) Dominated Convergence Theorem
    If (i) $\lim {n \rightarrow \infty} a{n, m}$ exists for every $m$
    (ii) $\left|a_{n m}\right| \leq b_{m}$ (independent of $n$ ) for all $m \geq 0$
    (iii) $\sum_{m=0}^{\infty} b_{m}<\infty$
    then $\lim {n \rightarrow \infty} \sum{m=0}^{\infty} a_{n m}=\sum_{m=0}^{\infty} \lim {n \rightarrow \infty} b{n m}$.
  2. Fatou’s Lemma
    If (i) $a_{n m} \geq 0$ for all $m, n$,
    (ii) $\lim {n \rightarrow \infty} a{n m}$ exists for all $m$,
    then $\quad \lim {n \rightarrow \infty}\left[\sum{m=0}^{\infty} a_{n m}\right] \geq \sum_{m=0}^{\infty}\left[\lim {n \rightarrow \infty} a{n m}\right]$.
  3. Fubini’s Theorem
    In order that
    $$
    \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{m=0}^{\infty} a_{n m}=\sum_{m=0}^{\infty} \sum_{n=0}^{\infty} a_{n m}
    $$
    it is sufficient that at least one of the following conditions is satisfied:
    (i) $a_{n m} \geq 0$ for all $n . m$
    (ii) $\sum_{n=0}^{\infty} \sum_{m=0}^{\infty}\left|a_{n m}\right|<\infty$
    (iii) $\sum_{m=0}^{\infty} \sum_{n=0}^{\infty}\left|a_{n m}\right|<\infty$

数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Homogeneous Random Walk

Here state space is given by
$$
\begin{aligned}
&S={\ldots,-2,-1,0,1,2 \ldots} \
&p_{i}=p, q_{i}=q \text { for all } i \geq 1 .
\end{aligned}
$$
This is an irreducible M.C. Hence by solidarity theorem it is enough to consider the state ${0}$ only. The $n$-step recurrence probability is ${0}$ is transient iff $\sum_{n=0}^{\infty} P_{00}^{(n)}<\infty$ and recurrent iff $\sum_{n=0}^{\infty} P_{00}^{(n)}=\infty$ (by Theorem 2.5) $$ \begin{aligned} \sum_{m=1}^{\infty}\left(\begin{array}{c} 2 m \ m \end{array}\right) p^{m} q^{m} & \cong \sum_{m=1}^{\infty} \frac{(4 p q)^{m}}{(\pi m)^{1 / 2}}<\infty \text { if } 4 p q<1 \\ &=\infty \text { if } 4 p q \geq 1 \end{aligned} $$ (using Stirling’s approximation for $m$ ! $\cong \sqrt{2 \pi} e^{-m} m^{m+1 / 2}$ ) $4 p q>1$ is impossible for if $4 p q>(p+q)^{2}$ then $0>(p-q)^{2}$.
Hence
$4 p q<1$ if $p \neq q$
$$
=1 \text { if } p=q=\frac{1}{2} \text {. }
$$
Therefore $\sum_{m=0}^{\infty} p_{00}^{(2 m)}$ converges faster than the geometric series $\sum_{m}(4 p q)^{m}$ if $p \neq 1 / 2$.
Hence Random walk is recurrent iff $p=\frac{1}{2}$ and transient iff $p \neq \frac{1}{2}$.
We have shown in Exercise $2.1$ that a symmetric Random walk in one dimension is recurrent. Similarly it can be proved that in 2-dimensions a symmetric Random walk is recurrent. But Polya proved that in $k \geq 3$ dimensions a symmetric Random walk is transient.

数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|MTH7090

随机过程统计代考

数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Classification of state

让F一世j(n)=磷[Xn=j,Xn−1≠j,Xn−2≠j,…,X1≠j∣X0=一世],即到达的概率j有时n第一次,鉴于该过程开始于一世.
定义F一世j(0)=0. 注意F一世j(n)=磷[吨一世j=n], 在哪里

T_{i j}=\min \left{n: X_{n}=j \mid X_{0}=i\right}T_{i j}=\min \left{n: X_{n}=j \mid X_{0}=i\right}
F一世j(n)被称为第一次进入概率n如果一世≠j和复发概率n第一步。

笔记F一世j(1)=pjj给出转移矩阵的对角线.
定理 2.4p一世j(n)=∑米=1nF一世j(米)pjj(n−米)对所有人米=1,2,…n.
证明p一世j(n)=磷[Xn=j∣X0=一世]

=∑米=1n磷[Xn一世≡j一个,X米=j,X米−1≠j,…,X1≠j乙米∣X0=一世] =∑米=1n磷[一个乙米∣C]
在哪里乙米是不相交的(互斥的)并且⋃米−1n乙米⊃一个.
因此

磷一世j(n)=∑米=1n磷(一个乙米C)磷(乙米C)磷(C)磷(乙米C) =∑米=1n磷(一个∣乙米C)磷(乙米∣C) =∑米=1n磷[Xn=j∣X米=j,X米−1≠j,…,X1≠j,X0=一世] 磷[X米=j,X米−1≠j,…,X1≠j∣X0=一世] =∑米=1n磷(Xn=j∣X米=j)F一世j(米) =∑米=1n磷j一世(n−米)F一世j(米)

数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|A few important theorem

让\left{a_{n}\right}\left{a_{n}\right}是一个实数序列,使得0≤一个n≤1,n=0,1,2,….
让一个(和)=∑n=0∞一个n和n是的生成函数\left{a_{n}\right}\left{a_{n}\right}

  1. 普林斯海姆:一个(和)汇聚成一个圆圈|和|<r, 在哪里r≤1.从=r是一个奇点一个(和).
  2. 阿贝尔:如果∑n=0∞一个n=一个<∞, 然后林:→1−一个(从)=一个.
  3. 陶伯:如果林和→1−一个(从)=一个≤∞, 然后∑n=0∞一个n=一个.
  4. 塞萨罗-阿贝尔:如果林n→∞1n∑ķ=1∞一个ķ=大号<∞, 然后
    林和→1−(1−和)一个(和)=大号.
  5. 塞萨罗-陶伯:如果林和→1−(1−和)一个(和)=大号<∞, 然后
  6. $$
  7. \lim {z \rightarrow 1–} \frac{1}{n} \sum{k=0}^{n} a_{k}=L 。
  8. $$
  9. 对于 2 和 3 的证明,请参阅 Karlin 的书(第 46 页,随机过程的介绍)和 1,4 和 5 的证明,请参阅 Tichmarsh-Theory of Functions 的书。
  10. 让n=0,1,2,…
  1. (Lebesgue) 支配收敛定理
    If (i)林n→∞一个n,米存在于每个米
    (二)|一个n米|≤b米(独立于n) 对所有人米≥0
    ㈢∑米=0∞b米<∞
    然后林n→∞∑米=0∞一个n米=∑米=0∞林n→∞bn米.
  2. Fatou 引理
    If (i)一个n米≥0对所有人米,n,
    (ii)林n→∞一个n米为所有人而存在米,
    那么林n→∞[∑米=0∞一个n米]≥∑米=0∞[林n→∞一个n米].

  3. Fubini定理
    ∑n=0∞∑米=0∞一个n米=∑米=0∞∑n=0∞一个n米
    至少满足以下条件之一即可:
    (i)一个n米≥0对所有人n.米
    (二)∑n=0∞∑米=0∞|一个n米|<∞
    ㈢∑米=0∞∑n=0∞|一个n米|<∞

数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Homogeneous Random Walk

这里状态空间由下式给出

小号=…,−2,−1,0,1,2… p一世=p,q一世=q 对所有人 一世≥1.
这是一个不可约的 MC 因此,根据团结定理,考虑状态就足够了0只要。这n- 步复发概率是0是瞬态的∑n=0∞磷00(n)<∞和复发当先∑n=0∞磷00(n)=∞(由定理 2.5)

∑米=1∞(2米 米)p米q米≅∑米=1∞(4pq)米(圆周率米)1/2<∞ 如果 4pq<1=∞ 如果 4pq≥1(使用斯特林的近似为米 ! ≅2圆周率和−米米米+1/2 ) 4pq>1如果是不可能的4pq>(p+q)2然后0>(p−q)2.
因此
4pq<1如果p≠q

=1 如果 p=q=12. 
所以∑米=0∞p00(2米)收敛速度比几何级数快∑米(4pq)米如果p≠1/2.
因此随机游走是递归的p=12和瞬态当先p≠12.
我们在练习中展示了2.1一维的对称随机游走是循环的。类似地,可以证明在二维中对称随机游走是循环的。但是波利亚证明了ķ≥3尺寸对称随机游走是瞬态的。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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