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数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Continuity and Convexity
For multivariable optimization, two important concepts are continuity and convexity. The functions to be optimized are desired to have those properties, although, even if they are neither continuous nor convex, the functions can be optimized with certain limitations. In this section, continuity and convexity of functions are described, and the importance of such properties on optimization is stressed.
A given function $\mathrm{f}(\bar{x})$ is continuous in a point $\bar{x}{0}$ if the following equality is true: $$ \mathrm{f}\left(\bar{x}{0}\right)=\lim {\bar{x} \rightarrow \bar{x}{0}} \mathrm{f}(\bar{x})
$$
If Equation $2.7$ is true for any value of $\bar{x}$ in the domain of the function, where $\bar{x} \in R^{n}$, then the function is continuous in the entire domain. An example of a continuous function is shown in Figure 2.4. It can be observed that the function is defined for any value of $\bar{x}$, and it does not exhibit any disruption. The limits for the function can be evaluated for any $\bar{x}$, and they are equal to the value of the function. Thus, it is continuous.
A noncontinuous function is presented in Figure 2.5. The function is defined for almost any value of $\bar{x}$. Nevertheless, when $\bar{x}$ is close to the point
$\bar{x}{0}=\left[\begin{array}{ll}0 & 0\end{array}\right]^{T}$, the function grows, and it will reach infinity at the point $\bar{x}{0}$. Thus, the function is not defined at $\bar{x}_{0}$, and it is noncontinuous.
Because most of the deterministic optimization methods are based on the calculation of derivatives, dealing with continuous functions ensures that the derivatives exist for all feasible regions. For noncontinuous functions, if the solution is close to a discontinuity point, the derivative will not exist and problems will arise with the optimization algorithm. Nevertheless, through a proper analysis of the functions and a good selection of the limits of the variables, it is possible to avoid the discontinuities in several cases.
数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Unconstrained Optimization
The simplest case of deterministic, nonlinear optimization occurs when the problem has no constraints, i.e., the objective function must be optimized for any $\bar{x} \in R^{n}$ on its domain. For linear programming, constraints must always exist, because a linear function continues increasing (or decreasing) its value when the decision variables change; thus, no optimal solution can be obtained for a linear objective function without constraints. For nonlinear optimization, most of the solution methods are based on the calculation of derivatives to perform a search for stationary points. A given point $\bar{x}^{}$ is a stationary point of the function $\mathrm{f}(\bar{x})$ if it complies with the following condition: $$ \nabla f\left(\bar{x}^{}\right)=0
$$
Equation $2.15$ is known as the first-order necessary condition for optimality. A point $\vec{x}$ complying this condition could be at optimum, but not necessarily, because it could also be a saddle point. To ensure that $\bar{x}^{}$ is at least a local minimum, $\bar{H}\left(\bar{x}^{}\right)$ must be positive definite or positive semidefinite. On the other hand, to ensure that $\bar{x}^{}$ is at least a local maximum, $\bar{H}\left(\bar{x}^{}\right)$ must be negative definite or negative semidefinite.
To solve an unconstrained optimization problem, a gradient-based approach can be used. Such methods basically take an initial solution and start a search for regions where the gradient is reduced. To do that, a search direction and the step size must be determined. The first one indicates in which direction the movement will be performed, and the second one indicates how large the movement will be. The objective is to find a solution for which the gradient is zero, which represents a stationary point, which can be a minimum or a maximum if it complies with the conditions mentioned in the previous paragraph. The general algorithm for a gradient-based method is as follows:
- Select an initial solution, $\bar{x}{0}=\left[\begin{array}{llll}x{1}^{0} & x_{2}^{0} & \ldots & x_{n}^{0}\end{array}\right]^{\mathrm{T}}$, and evaluate the objective function at $\bar{x}_{0}$.
- Determine the gradient of the objective function, $\nabla f(\bar{x})=\left[\frac{\partial f}{\partial x_{1}} \frac{\partial f}{\partial x_{2}}\right.$ $\left.\frac{\partial \mathrm{f}}{\partial x_{\mathrm{n}}}\right]^{\mathrm{T}}$, and, if necessary, the Hessian matrix for the objective function.
数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Equality-Constrained Optimization
Most of the process engineering optimization problems are, indeed, constrained. Thus, it is important to understand how to deal with such situations. In this section, a couple of methods for equality-constrained optimization are discussed. A general way to represent an equality-constrained optimization problem can be obtained by simplifying Equation $1.8$ : Here,the main concern is to obtain an optimal solution for $z(\bar{x})$, which also complies with the set of equality constraints. Two strategies to ensure that are presented here: the method of Lagrange multipliers and the generalized reduced gradient method.
In this method, the optimization problem presented in Equation $2.19$ is reformulated to obtain an objective function that involves the original objective, $z(\bar{x})$, and the entire set of equality constraints, $h_{i}(\bar{x})=0$, where $i=1,2, \ldots, n$. The resultant expression is known as the Lagrangian function and is expressed as follows:
$$
\text { optimize } L=z(\bar{x})+\sum_{i=1}^{m} \lambda_{i} h_{i}(\bar{x})
$$
where the variables $\lambda_{i}$ are known as the Lagrange multipliers. Solutions of the optimization problem expressed by Equation $2.20$ can be obtained through the necessary conditions for the Lagrangian function:
$$
\frac{\partial L}{\partial \bar{x}}=\nabla z(\bar{x})+\sum_{i=1}^{m} \lambda_{i} \nabla h_{i}(\bar{x})=0
$$
From the necessary conditions, a system of equations of $\mathbf{M} \times \mathbf{M}$ is obtained. If a solution for the system can be obtained, that solution will represent a stationary point. To ensure the obtained solution is at least a local minimum, $H\left[L^{}\right]$ should be positive definite or positive semidefinite. On the other hand, if $H\left[L^{}\right]$ is negative definite or negative semidefinite, the solution is at least a local maximum. If the Hessian matrix is indefinite, the solution is a saddle point.
随机过程统计代考
数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Continuity and Convexity
对于多变量优化，两个重要的概念是连续性和凸性。要优化的函数希望具有这些属性，尽管即使它们既不是连续的也不是凸的，这些函数也可以在一定的限制下进行优化。在本节中，描述了函数的连续性和凸性，并强调了这些性质对优化的重要性。
给定函数F(X¯)在一点上是连续的X¯0如果以下等式成立：
F(X¯0)=林X¯→X¯0F(X¯)
如果方程2.7对任何值都为真X¯在函数的域中，其中X¯∈Rn，则该函数在整个域中是连续的。图 2.4 显示了一个连续函数的例子。可以观察到，该函数是为任何值定义的X¯，并且它没有表现出任何中断。函数的极限可以评估为任何X¯，并且它们等于函数的值。因此，它是连续的。
图 2.5 给出了一个非连续函数。该函数被定义为几乎任何值X¯. 尽管如此，当X¯接近点
X¯0=[00]吨，函数增长，在该点达到无穷大X¯0. 因此，该函数未定义在X¯0, 并且是不连续的。
因为大多数确定性优化方法都是基于导数的计算，所以处理连续函数可以确保导数对于所有可行区域都存在。对于非连续函数，如果解接近不连续点，则导数将不存在，优化算法就会出现问题。然而，通过对函数的适当分析和对变量限制的良好选择，可以避免在几种情况下的不连续性。
数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Unconstrained Optimization
确定性非线性优化的最简单情况发生在问题没有约束时，即目标函数必须针对任何X¯∈Rn在它的域上。对于线性规划，约束必须始终存在，因为当决策变量发生变化时，线性函数会继续增加（或减少）其值；因此，对于没有约束的线性目标函数，无法获得最优解。对于非线性优化，大多数求解方法都是基于导数的计算来执行对驻点的搜索。给定点X¯是函数的驻点F(X¯)如果它符合以下条件：
∇F(X¯)=0
方程2.15被称为最优性的一阶必要条件。一个点X→遵守这个条件可能是最佳的，但不一定，因为它也可能是一个鞍点。为了保证X¯至少是局部最小值，H¯(X¯)必须是正定或半正定。另一方面，为确保X¯至少是一个局部最大值，H¯(X¯)必须是负定或半负定。
为了解决无约束的优化问题，可以使用基于梯度的方法。这些方法基本上采用初始解决方案并开始搜索梯度减小的区域。为此，必须确定搜索方向和步长。第一个指示将在哪个方向执行移动，第二个指示移动将有多大。目标是找到一个梯度为零的解，它表示一个静止点，如果它符合上一段中提到的条件，它可以是最小值或最大值。基于梯度的方法的一般算法如下：
- 选择一个初始解决方案，X¯0=[X10X20…Xn0]吨，并评估目标函数X¯0.
- 确定目标函数的梯度，∇F(X¯)=[∂F∂X1∂F∂X2 ∂F∂Xn]吨，以及，如果需要，目标函数的 Hessian 矩阵。
数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Equality-Constrained Optimization
事实上，大多数过程工程优化问题都受到约束。因此，了解如何处理此类情况非常重要。在本节中，讨论了几种用于等式约束优化的方法。表示等式约束优化问题的一般方法可以通过简化方程来获得1.8：这里，主要关注的是获得最优解和(X¯)，这也符合一组等式约束。这里介绍了两种确保这一点的策略：拉格朗日乘数法和广义缩减梯度法。
在这种方法中，方程中提出的优化问题2.19被重新制定以获得涉及原始目标的目标函数，和(X¯)，以及整组等式约束，H一世(X¯)=0， 在哪里一世=1,2,…,n. 结果表达式称为拉格朗日函数，表示如下：
优化 大号=和(X¯)+∑一世=1米λ一世H一世(X¯)
变量在哪里λ一世被称为拉格朗日乘数。方程表示的优化问题的解2.20可以通过拉格朗日函数的必要条件得到：
∂大号∂X¯=∇和(X¯)+∑一世=1米λ一世∇H一世(X¯)=0
从必要条件，方程组米×米获得。如果可以获得系统的解，则该解将代表一个驻点。为了确保获得的解至少是局部最小值，H[大号]应该是正定或半正定。另一方面，如果H[大号]是负定或半负定，解至少是一个局部最大值。如果 Hessian 矩阵不定，则解为鞍点。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。