数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|MXB334

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数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|MXB334

数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Software for Deterministic Optimization

In this chapter, some of the basic concepts of deterministic optimization have been presented. In particular, methods for the solution of nonlinear optimization problems are presented. Nevertheless, deterministic optimization embraces several other types of problems, such as the mixed-integer optimization problems or the general disjunctive optimization problems. Furthermore, process engineering models usually involve a great number of constraints, which make finding solutions for the models difficult. Because of that, the use of software for the solution of such models, and the associated optimization problems, is mandatory. Deterministic optimization software, such as GAMS and LINDO, are available in the market. These software use an equation-based approach. They are based on the use of solvers to determine optimal solutions for the objective function subject to a set of constraints. Solvers are basically routines to optimize, and most of them are based on gradient methods. Both GAMS and LINDO have the capacity to deal with different optimization problems, such as linear programming (LP), nonlinear programming (NLP), mixed-integer linear programming (MILP), and mixed-integer nonlinear programming (MINLP), using local or global solvers. The user is required to write the model to be solved, and the software uses a given method to optimize it in terms of the objective function. In fact, although the software uses default solvers for each type of optimization problem, the user must be careful to properly select the solver.

Deterministic optimization software can be used to solve process engineering problems when the model is available. Additional strategies can be required to make easier finding an optimum for nonconvex solution spaces and/or avoiding falling into local optimum. Nevertheless, those strategies, along with the guidelines for the use of deterministic optimization software, are beyond the scope of this book. For a deeper knowledge of GAMS, the reader is referred to the user’s manuals (Brooke et al., 1998; McCarl, 2004).

数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Stochastic Optimization vs. Deterministic Optimization

Stochastic and deterministic methods are usually considered as opposite approaches for optimization because of the differences on the basis from which the method is developed. First, the deterministic methods are based on rigorous mathematical principles, mainly on the concepts of calculus. As seen in Chapter 2, most of the methods rely on obtaining solutions for which the gradient is zero, and the evaluation of a given solution to determine if it is indeed an optimum is based on the calculation of the second derivatives, in the form of the Hessian matrix. However, stochastic optimization is based on the evaluation of the objective function in the entire feasible region and the comparison of different solutions to select the best solution for each iteration. Nevertheless, occasionally some bad solutions can be selected in a given iteration, depending on some selection probabilities. For convex functions, deterministic methods always ensure finding a global optimum because they are formulated to search for solutions that comply with the optimality conditions. A stochastic optimization method may reach the global optimum or, at least, solutions close to it, even for highly nonconvex functions. This will depend on proper tuning of the parameters of the algorithm. Another difference between both the methods relies on the importance of initial solutions. Local deterministic methods have a strong dependence on initial values, because the selection of that point at the initial iteration may take the solution to a local optimum, depending, once more, on the convexity (or nonconvexity) of the function. On the contrary, the dependence on the initial solution for a stochastic method is not that strong. The main issue is that, if the initial values are not good, the method will require a higher number of iterations to reach a region close to the global optimum. Finally, the computational time and capacity required for the solution of an optimization problem through deterministic methods are relatively low, whereas these are higher for a stochastic method because a wide range of potential solutions are evaluated. Nonetheless, stochastic methods are a good alternative when dealing with highly nonconvex problems with a high number of degrees of freedom, reducing the difficulties on finding feasible initial solutions, and avoiding the necessity of computing the derivatives, which can be a difficult task for complex functions. Moreover, the stochastic methods can deal with problems for unknown models considering only the input-output data, following a gray-box approach.

数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Stochastic Optimization with Constraints

The aforementioned generalities about stochastic optimization are valid for the solution of unconstrained problems. Nevertheless, most of the engineering problems have a set of constraints associated with the objective functions, given by the model of the studied system, and must be considered to obtain feasible solutions. The basic stochastic optimization methods cannot deal with constrained problems; thus, strategies have been developed to allow solving such problems. The strategies used to handle constraints in stochastic optimizations can be classified as follows: penalty functions, special representations and operators, repair algorithms, separation of objectives and

constraints, and hybrid methods (Coello Coello, 2002). One of the most used constraints-handling methods comprises the use of penalty functions. This strategy is explained in this section.

One of the first reports on the use of penalty functions to deal with constrained optimization problems was presented by Carroll (1961). In general, the method involves adding or subtracting a certain quantity to the objective function, depending on how big is the violation to the constraints. Thus, the constrained problem is converted into an unconstrained one. Because most of the meta-heuristic optimization methods involve the selection of the best solution for each iteration, if the objective function of a given solution is worsened because it violates one or more constraints, the probability of selecting such solution as a good one is reduced, and the solutions satisfying all the constraints are more likely to be chosen.

One of the basic approaches to implement the penalty function involves the use of exterior penalties. Such methods can start out of the feasible region, and then move into it. This is one of their main advantages because no feasible initial solution is required. According to Coello Coello (2002), the formulation for an exterior penalty function is given as follows:
$$
\phi(\bar{x})=\mathrm{f}(\bar{x}) \pm\left[\sum_{i=1}^{n} r_{i} \cdot G_{i}+\sum_{j=1}^{p} c_{j} \cdot L_{j}\right]
$$
where $\mathrm{f}(\bar{x})$ is the original objective function and $\phi(\bar{x})$ is the expanded objective function; $G_{i}$ is the function of the inequality constraints, $g_{i}(\bar{x})$, whereas $L_{j}$ is the function of the equality constraints, $h_{i}(\bar{x})$; and finally, $r_{i}$ and $c_{j}$ are known as penalty factors and are positive constants. The penalty functions $G_{i}$ and $L_{j}$ must be selected to avoid too low or too high penalizations to the objective function $\mathrm{f}(\bar{x})$. In general, the penalty functions can be stated as follows (Yeniay, 2005):
$$
\begin{gathered}
G_{i}=\max \left[0, g_{i}(\bar{x})\right]^{\beta} \
L_{j}=\left|h_{j}(\bar{x})\right|^{\gamma}
\end{gathered}
$$
where $\beta$ and $\gamma$ are usually set as 1 or 2 . The penalty factors can be calculated in several ways: keeping them constant in all the optimization procedure (static penalties), computing them in terms of the number of iterations (dynamic penalties), using annealing approaches, among others. For a detailed description of the particular penalty methodologies, the reader is referred to the work of Coello Coello (2002).

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随机过程统计代考

数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Software for Deterministic Optimization

本章介绍了确定性优化的一些基本概念。特别是,提出了解决非线性优化问题的方法。然而,确定性优化包含其他几种类型的问题,例如混合整数优化问题或一般析取优化问题。此外,过程工程模型通常涉及大量约束,这使得为模型寻找解决方案变得困难。因此,必须使用软件来解决此类模型以及相关的优化问题。市场上有确定性优化软件,例如 GAMS 和 LINDO。这些软件使用基于方程的方法。它们基于使用求解器来确定受一组约束的目标函数的最优解。求解器基本上是要优化的例程,其中大多数是基于梯度方法的。GAMS 和 LINDO 都具有处理不同优化问题的能力,例如线性规划 (LP)、非线性规划 (NLP)、混合整数线性规划 (MILP) 和混合整数非线性规划 (MINLP),使用局部或全局求解器。用户需要编写要求解的模型,软件使用给定的方法根据目标函数对其进行优化。事实上,虽然软件对每种优化问题都使用默认求解器,但用户必须小心选择合适的求解器。其中大多数是基于梯度方法的。GAMS 和 LINDO 都具有处理不同优化问题的能力,例如线性规划 (LP)、非线性规划 (NLP)、混合整数线性规划 (MILP) 和混合整数非线性规划 (MINLP),使用局部或全局求解器。用户需要编写要求解的模型,软件使用给定的方法根据目标函数对其进行优化。事实上,虽然软件对每种优化问题都使用默认求解器,但用户必须小心选择合适的求解器。其中大多数是基于梯度方法的。GAMS 和 LINDO 都具有处理不同优化问题的能力,例如线性规划 (LP)、非线性规划 (NLP)、混合整数线性规划 (MILP) 和混合整数非线性规划 (MINLP),使用局部或全局求解器。用户需要编写要求解的模型,软件使用给定的方法根据目标函数对其进行优化。事实上,虽然软件对每种优化问题都使用默认求解器,但用户必须小心选择合适的求解器。和混合整数非线性规划 (MINLP),使用局部或全局求解器。用户需要编写要求解的模型,软件使用给定的方法根据目标函数对其进行优化。事实上,虽然软件对每种优化问题都使用默认求解器,但用户必须小心选择合适的求解器。和混合整数非线性规划 (MINLP),使用局部或全局求解器。用户需要编写要求解的模型,软件使用给定的方法根据目标函数对其进行优化。事实上,虽然软件对每种优化问题都使用默认求解器,但用户必须小心选择合适的求解器。

当模型可用时,确定性优化软件可用于解决过程工程问题。可能需要额外的策略来更容易地找到非凸解空间的最优值和/或避免陷入局部最优值。然而,这些策略以及确定性优化软件的使用指南超出了本书的范围。为了更深入地了解 GAMS,读者可以参考用户手册(Brooke et al., 1998; McCarl, 2004)。

数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Stochastic Optimization vs. Deterministic Optimization

由于开发方法的基础不同,随机方法和确定性方法通常被认为是相反的优化方法。首先,确定性方法基于严格的数学原理,主要基于微积分的概念。如第 2 章所述,大多数方法依赖于获得梯度为零的解,而对给定解的评估以确定它是否确实是最优解是基于二阶导数的计算,形式为黑森矩阵。然而,随机优化是基于对整个可行区域内的目标函数的评估以及不同解的比较来为每次迭代选择最佳解。然而,有时可以在给定的迭代中选择一些不好的解决方案,取决于一些选择概率。对于凸函数,确定性方法始终确保找到全局最优值,因为它们被制定为搜索符合最优性条件的解。随机优化方法可以达到全局最优,或者至少可以达到接近它的解,即使对于高度非凸函数也是如此。这将取决于算法参数的适当调整。两种方法之间的另一个区别取决于初始解决方案的重要性。局部确定性方法对初始值有很强的依赖性,因为在初始迭代中选择该点可能会使解决方案达到局部最优,这再次取决于函数的凸性(或非凸性)。相反,随机方法对初始解的依赖性不是很强。主要问题是,如果初始值不好,该方法将需要更多的迭代次数才能达到接近全局最优的区域。最后,通过确定性方法解决优化问题所需的计算时间和容量相对较低,而随机方法所需的计算时间和容量较高,因为评估了广泛的潜在解决方案。尽管如此,在处理具有大量自由度的高度非凸问题时,随机方法是一个很好的选择,减少了寻找可行初始解的难度,并且避免了计算导数的必要性,这对于复杂函数来说可能是一项艰巨的任务. 而且,

数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Stochastic Optimization with Constraints

上述关于随机优化的一般性对于无约束问题的解决是有效的。然而,大多数工程问题都有一组与目标函数相关的约束,由所研究系统的模型给出,并且必须考虑以获得可行的解决方案。基本的随机优化方法不能处理有约束的问题;因此,已经制定了策略来解决这些问题。随机优化中用于处理约束的策略可以分类如下:惩罚函数、特殊表示和算子、修复算法、目标分离和

约束和混合方法(Coello Coello,2002)。最常用的约束处理方法之一包括使用惩罚函数。本节将解释此策略。

Carroll (1961) 提出了使用惩罚函数处理约束优化问题的首批报告之一。通常,该方法涉及向目标函数添加或减去某个量,具体取决于违反约束的程度。这样,有约束的问题就转化为无约束的问题。因为大多数元启发式优化方法都涉及为每次迭代选择最佳解决方案,如果给定解决方案的目标函数因为违反一个或多个约束而恶化,则选择这样的解决方案作为好的解决方案的概率会降低,并且满足所有约束的解决方案更有可能被选择。

实现惩罚功能的基本方法之一是使用外部惩罚。这种方法可以从可行区域开始,然后进入可行区域。这是它们的主要优点之一,因为不需要可行的初始解决方案。根据 Coello Coello (2002),外部惩罚函数的公式如下:

φ(X¯)=F(X¯)±[∑一世=1nr一世⋅G一世+∑j=1pCj⋅大号j]
在哪里F(X¯)是原始目标函数和φ(X¯)是扩展的目标函数;G一世是不等式约束的函数,G一世(X¯), 然而大号j是等式约束的函数,H一世(X¯); 最后,r一世和Cj被称为惩罚因子并且是正常数。惩罚函数G一世和大号j必须选择避免对目标函数的惩罚太低或太高F(X¯). 一般来说,惩罚函数可以表述如下(Yeniay,2005):

G一世=最大限度[0,G一世(X¯)]b 大号j=|Hj(X¯)|C
在哪里b和C通常设置为 1 或 2 。惩罚因子可以通过多种方式计算:在所有优化过程中保持不变(静态惩罚),根据迭代次数计算它们(动态惩罚),使用退火方法等。有关特定惩罚方法的详细描述,请参阅 Coello Coello (2002) 的工作。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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