数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|STAT3921

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  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|STAT3921

数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Ergodicity

The behavior in which sample averages formed from a process converge to some underlying parameter of the process is termed ergodic. To make inference about the underlying laws governing an ergodic process, one need not observe separate independent replications of entire processes or sample paths. Instead, one need only observe a single realization of the process, but over a sufficiently long span of time. Thus, it is an important practical problem to determine conditions that lead to a stationary process being ergodic. The theory of stationary processes has a prime goal the clarification of ergodic behavior and the prediction problem for processes falling in the wide range of extremeties.

In covariance stationary process usually the added condition that $E\left(X_{t}\right)$ does not depend on $t$ is imposed. But it should be noted that in order for a stochastic process with $E\left(X_{1}^{2}\right)<\infty$ to be covariance stationary it is not necessary that its mean function $m(t)=E\left(X_{t}\right)$ be a constant. Consider the example: $X(t)=$ $\cos \left(\frac{2 \pi t}{L}\right)+Y(t)$, where $Y(t)=N(t+L)-N(t),{N(t), t \geq 0}$ be a Poisson process with intensity parameter $\lambda$ (to be defined in Chapter 7 ) and $L$ is a positive constant. Its mean function $m(t)=E\left(X_{t}\right)=\lambda(t+L)-\lambda(t)+\cos \left(\frac{2 \pi t}{L}\right)$ is functionally dependent on $t$. But $$ \begin{aligned} \operatorname{Cov}(X(t), X(s)) &=\operatorname{Cov}(Y(t), Y(s)) \ &=\left{\begin{array}{rr} \lambda(L-|t-s|) & \text { if }|t-s| \leq L \ 0 & \text { if }|t-s|>L
\end{array}\right.
\end{aligned}
$$
depends on $t-s$ only.

数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Exercises and Complements

Exercise 1.1 Let $a, b, c$ be independent r.v.’s uniformly distributed on $[0,1]$. What is the probability that $a x^{2}+b x+c$ has real roots?

Exercise $1.2$ Let $X$ be a Poisson r.v. with parameter $\lambda>0$. Suppose $\lambda$ itself is a r.v. following a gamma distribution with density $f(\lambda)=\frac{1}{\sqrt{n}} \lambda^{n-1} e^{-\lambda} \cdot \lambda \geq 0$. Show that $P(X=k)=\frac{\sqrt{k+n}}{\sqrt{n} \sqrt{k+1}}(1 / 2)^{k+n}, k \geq 0$ (note that when $n$ is a positive integer $X$ is negative binomial with $p=1 / 2)$.

Exercise 1.3 The following experiment is performed. An observation is made of a Poisson r.v. $X$ with parameter $\lambda$. Then a binomial event $Y$ with probability $p$ of success is repeated $X$ number of times and $Y$ successes are observed. What is the distribution of $Y$ ?

Exercise 1.4 Let $\left{X_{t}, t \geq 0\right}$ be a continuous time stochastic process with independent increments. Also $P\left(X_{0}=0\right)=1$. If $\phi(\theta, t-u)$ is the characteristic function of a single increment i.e.
$$
\phi(\theta, t-u)=E\left[\exp \left(i \theta\left(X_{t}-X_{u}\right)\right)\right],
$$
prove that the joint characteristic function of $X_{t_{1}}, X_{t_{2}}, \ldots, X_{t_{n}}$ where $t_{1}<t_{2}<\ldots<t_{n}$ is
$$
\phi\left(\sum_{j=1}^{n} \theta_{j}, t_{1}\right) \phi\left(\sum_{j=2}^{n} \theta_{j}, t_{2}-t_{1}\right) \ldots \phi\left(\theta_{n}, t_{n}-t_{n-1}\right) .
$$

Exercise 1.5 Prove that every continuous parameter Stochastic process with independent increments is a Markov process.

Exercise 1.6 Let $T$ be a nonnegative discrete random variable. Prove that $T$ has a geometric distribution iff
$$
P[T>x+y \mid T>x]=P[T>y] \text { for all integers } x, y \geq 0 \text {. }
$$
Exercise $1.7$ Let $T$ be a non-negative continuous random variable. Prove that $T$ has an exponential distribution iff $P[7>x+y \mid T>x]=P[T>y]$.

Exercise $1.8$ Let $T$ he a nonnegative random variable such that $X(T)$ is a stochastic process and for a fixed valuc of $T$, say $t, X(t)$ has a gamma density
$$
f_{x(t)}(u)=\frac{1}{\sqrt{\alpha t}}(\lambda u)^{\alpha t-1} e^{-\lambda u}, \alpha>0, \lambda>0 .
$$
Assume that the distribution of $T$ is $F(t)=P[T \leq t]$.
(a) Derive an expression for $E\left[e^{-r X(T)}\right]$
(b) Prove that $T$ has a negative binomial distribution, i.e.
$$
P\left[T=\frac{\beta+k}{\alpha}\right]=\left(\begin{array}{c}
\beta+k-1 \
k
\end{array}\right) p^{\beta}(1-p)^{k}, \beta>0
$$
$$
1>p=1-q>0 . k=0.1 .2, \ldots
$$
then $X(T)$ also has a gamma density. Derive its parameters.
(c) Prove that if $X(T)$ has a gamma distribution, i.e.
$E\left|e^{-w(T)}\right|=\left(\frac{\mu}{\mu+s}\right)^{\beta}$ where $\beta>0, \lambda>\mu \geq 0$, then conversely, $T$ has a negative binomial distribution. Determine its parameters.

数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Definition and Transition Probabilities

Here $S=$ a countable set, $T={0,1,2, \ldots},\left{X_{n}, n \geq 0\right}$ is a stochastic process satisfying $P\left[X_{n+1}=j \mid X_{0}=i_{0}, X_{1}=i_{1}, \ldots, X_{n}=i_{n}\right]=P\left[X_{n+1}=j \mid X_{n}=i_{n}\right]$, the Markov property. Then the stochastic process $\left{X_{n}, n \geq 0\right}$ is called a Markov chain (M.C.). We shall assume that the M.C. is stationary i.e. $P\left[X_{n+1}=j \mid X_{n}=\right.$ $i]=p_{i j}$ is independent of $n$ for all $i, j \in, S$. Let $P=\left(P_{i j}\right) ; i, j \in S$ be a finite or countably infinite dimensional matrix with elements $p_{i j}$.

The matrix $P$ is called the one step transition matrix of the M.C. or simply the Transition matrix or the Probability matrix of the M.C.

Example (Random Walk) A random walk on the (real) line is a Markov chain such that
$$
p_{j k}=0 \text { if } k \neq j-1 \text { or } j+1 .
$$
Transition is possible only to neighbouring states (from $j$ to $j-1$ and $j+1$ ). Here state space is
$$
S={\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3, \ldots} .
$$
Theorem 2.1 The Markov chain $\left{X_{n}, n \geq 0\right}$ is completely determined by the transition matrix $P$ and the initial distribution $\left{p_{k}\right}$, defined as $P\left[X_{0}=k\right]=p_{k} \geq 0$, $\sum_{k \in s} p_{k}=1$
Proof
$$
\begin{aligned}
P\left[X_{0}\right.&\left.=i_{0}, X_{1}=i_{i}, \ldots, X_{n}=i_{n}\right] \
&=P\left[X_{n}=i_{n} \mid X_{n-1}=i_{n-1}, X_{n-2}=i_{n-2}, \ldots, X_{1}=i_{1} \ldots X_{0}=i_{0}\right] \
P\left[X_{n-1}\right.&\left.=i_{n-1}, X_{n-2}=i_{n-2}, \ldots, X_{1}=i_{1}, X_{0}=i_{0}\right] \
&=P\left[X_{n}=i_{n} \mid X_{n-1}=i_{n-1}\right] P\left[X_{n-1}=i_{n-1}, \ldots, X_{0}=i_{0}\right] \
&=p_{i_{n-1} i_{n}} p_{i_{n-2} i_{n-1}} P\left[X_{n-2}=i_{n-2}, \ldots, X_{0}=i_{0}\right] \
&=p_{i_{n-1} i_{n}} p_{i_{n-2} i_{n-1}} \ldots p_{i_{i} i_{2}} p_{i_{0} i_{1}} p_{i_{0}} \text { (by induction). }
\end{aligned}
$$
Definition 2.1 A vector $u=\left(u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{n}\right)$ is called a probability vector if the components are non-negative and their sum is one.

数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|STAT3921

随机过程统计代考

数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Ergodicity

由一个过程形成的样本平均值收敛到该过程的某个基本参数的行为称为遍历。要推断支配遍历过程的基本规律,不需要观察整个过程或样本路径的单独独立复制。取而代之的是,人们只需要观察该过程的一次实现,但要经过足够长的时间跨度。因此,确定导致平稳过程遍历的条件是一个重要的实际问题。平稳过程理论的主要目标是阐明遍历行为和对处于广泛极端范围内的过程的预测问题。

在协方差平稳过程中,通常添加的条件是和(X吨)不依赖于吨被强加。但应该注意的是,为了使随机过程具有和(X12)<∞是协方差平稳的,它的平均函数没有必要米(吨)=和(X吨)成为一个常数。考虑这个例子:X(吨)= 因⁡(2圆周率吨大号)+是(吨), 在哪里是(吨)=ñ(吨+大号)−ñ(吨),ñ(吨),吨≥0是具有强度参数的泊松过程λ(将在第 7 章中定义)和大号是一个正常数。它的平均函数米(吨)=和(X吨)=λ(吨+大号)−λ(吨)+因⁡(2圆周率吨大号)在功能上取决于吨. 但是 $$ \begin{aligned} \operatorname{Cov}(X(t), X(s)) &=\operatorname{Cov}(Y(t), Y(s)) \ &=\left{

λ(大号−|吨−s|) 如果 |吨−s|≤大号 0 如果 |吨−s|>大号\正确的。
\end{aligned}
$$
取决于吨−s只要。

数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Exercises and Complements

练习 1.1 让一个,b,C是独立的 rv 均匀分布在[0,1]. 发生的概率是多少一个X2+bX+C有真正的根源吗?

锻炼1.2让X是带参数的泊松 rvλ>0. 认为λ本身是一个 rv 遵循具有密度的伽马分布F(λ)=1nλn−1和−λ⋅λ≥0. 显示磷(X=ķ)=ķ+nnķ+1(1/2)ķ+n,ķ≥0(请注意,当n是一个正整数X是负二项式p=1/2).

练习 1.3 进行以下实验。观察泊松 rvX带参数λ. 然后是二项式事件是有概率p成功的重复X次数和是观察到成功。什么是分布是 ?

练习 1.4 让\left{X_{t}, t \geq 0\right}\left{X_{t}, t \geq 0\right}是一个具有独立增量的连续时间随机过程。还磷(X0=0)=1. 如果φ(θ,吨−在)是单个增量的特征函数,即

φ(θ,吨−在)=和[经验⁡(一世θ(X吨−X在))],
证明联合特征函数X吨1,X吨2,…,X吨n在哪里吨1<吨2<…<吨n是

φ(∑j=1nθj,吨1)φ(∑j=2nθj,吨2−吨1)…φ(θn,吨n−吨n−1).

练习 1.5 证明每个具有独立增量的连续参数随机过程都是马尔可夫过程。

练习 1.6 让吨是一个非负离散随机变量。证明吨有一个几何分布iff

磷[吨>X+是∣吨>X]=磷[吨>是] 对于所有整数 X,是≥0. 
锻炼1.7让吨为非负连续随机变量。证明吨具有指数分布 iff磷[7>X+是∣吨>X]=磷[吨>是].

锻炼1.8让吨他是一个非负随机变量,使得X(吨)是一个随机过程,对于固定值吨, 说吨,X(吨)有一个伽马密度

FX(吨)(在)=1一个吨(λ在)一个吨−1和−λ在,一个>0,λ>0.
假设分布吨是F(吨)=磷[吨≤吨].
(a) 导出表达式和[和−rX(吨)]
(b) 证明吨具有负二项分布,即

磷[吨=b+ķ一个]=(b+ķ−1 ķ)pb(1−p)ķ,b>0

1>p=1−q>0.ķ=0.1.2,…
然后X(吨)也有伽马密度。导出其参数。
(c) 证明如果X(吨)具有伽马分布,即
和|和−在(吨)|=(μμ+s)b在哪里b>0,λ>μ≥0,然后反过来,吨具有负二项分布。确定其参数。

数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Definition and Transition Probabilities

这里小号=可数集,T={0,1,2, \ldots},\left{X_{n}, n \geq 0\right}T={0,1,2, \ldots},\left{X_{n}, n \geq 0\right}是一个满足的随机过程磷[Xn+1=j∣X0=一世0,X1=一世1,…,Xn=一世n]=磷[Xn+1=j∣Xn=一世n],马尔可夫性质。然后是随机过程\left{X_{n}, n \geq 0\right}\left{X_{n}, n \geq 0\right}称为马尔可夫链(MC)。我们将假设 MC 是静止的,即磷[Xn+1=j∣Xn= 一世]=p一世j独立于n对所有人一世,j∈,小号. 让磷=(磷一世j);一世,j∈小号是具有元素的有限或可数无限维矩阵p一世j.

矩阵磷称为 MC 的一步转移矩阵或简称为 MC 的转移矩阵或概率矩阵

示例(随机游走)(真实)线上的随机游走是马尔可夫链,使得

pjķ=0 如果 ķ≠j−1 或者 j+1.
只能向邻国过渡(从j至j−1和j+1)。这里的状态空间是

小号=…,−3,−2,−1,0,1,2,3,….
定理 2.1 马尔可夫链\left{X_{n}, n \geq 0\right}\left{X_{n}, n \geq 0\right}完全由转移矩阵决定磷和初始分布\左{p_{k}\右}\左{p_{k}\右}, 定义为磷[X0=ķ]=pķ≥0, ∑ķ∈spķ=1
证明

磷[X0=一世0,X1=一世一世,…,Xn=一世n] =磷[Xn=一世n∣Xn−1=一世n−1,Xn−2=一世n−2,…,X1=一世1…X0=一世0] 磷[Xn−1=一世n−1,Xn−2=一世n−2,…,X1=一世1,X0=一世0] =磷[Xn=一世n∣Xn−1=一世n−1]磷[Xn−1=一世n−1,…,X0=一世0] =p一世n−1一世np一世n−2一世n−1磷[Xn−2=一世n−2,…,X0=一世0] =p一世n−1一世np一世n−2一世n−1…p一世一世一世2p一世0一世1p一世0 (通过感应)。 
定义 2.1 向量在=(在1,在2,…,在n)如果分量是非负的并且它们的和为 1,则称为概率向量。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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