### 数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|STAT4061

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• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

## 数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Robert Brown’s new thing

Let us start with Brown’s observations to build a mathematical model of Brownian motion. To keep things simple, we consider a one-dimensional setting where each particle performs a random walk. We assume that each particle

• starts at the origin $x=0$,
• changes its position only at discrete times $k \Delta t$ where $\Delta t>0$ is fixed and for all $k=1,2, \ldots$
• moves $\Delta x$ units to the left or to the right with equal probability;
and that
• $\Delta x$ does not depend on any past positions nor the current position $x$ nor on time $t=k \Delta t$

Letting $\Delta t \rightarrow 0$ and $\Delta x \rightarrow 0$ in an appropriate way should give a random motion which is continuous in time and space.

Let us denote by $X_{t}$ the random position of the particle at time $t \in[0, T]$. During the time $[0, T]$, the particle has changed its position $N=\lfloor T / \Delta t\rfloor$ times. Since the decision to move left or right is random, we will model it by independent, identically distributed Bernoulli random variables, $\epsilon_{k}, k \geqslant 1$, where
$$\mathbb{P}\left(\epsilon_{1}=1\right)=\mathbb{P}\left(\epsilon_{1}=0\right)=\frac{1}{2}$$ so that
$$S_{N}=\epsilon_{1}+\cdots+\epsilon_{N} \quad \text { and } N-S_{N}$$
denote the number of right and left moves, respectively. Thus
$$X_{T}=S_{N} \Delta x-\left(N-S_{N}\right) \Delta x=\left(2 S_{N}-N\right) \Delta x=\sum_{k=1}^{N}\left(2 \epsilon_{k}-1\right) \Delta x$$
is the position of the particle at time $T=N \Delta t$. Since $X_{0}=0$ we find for any two times $t=n \Delta t$ and $T=N \Delta t$ that
$$X_{T}=\left(X_{T}-X_{t}\right)+\left(X_{t}-X_{0}\right)=\sum_{k=n+1}^{N}\left(2 \epsilon_{k}-1\right) \Delta x+\sum_{k=1}^{n}\left(2 \epsilon_{k}-1\right) \Delta x$$

## 数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Brownian motion as a Gaussian process

Recall that a one-dimensional random variable $\Gamma$ is Gaussian if it has the characteristic function
$$\mathbb{E} e^{i \xi \Gamma}=e^{i m \xi-\frac{1}{2} \sigma^{2} \xi^{2}}$$
for some real numbers $m \in \mathbb{R}$ and $\sigma \geqslant 0$. If we differentiate (2.1) two times with respect to $\xi$ and set $\xi=0$, we see that
$$m=\mathbb{E} \Gamma \quad \text { and } \quad \sigma^{2}=\mathbb{V} \Gamma$$
A random vector $\Gamma=\left(\Gamma_{1}, \ldots, \Gamma_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n}$ is Gaussian, if $\langle\ell, \Gamma\rangle$ is for every $\ell \in \mathbb{R}^{n}$ a one-dimensional Gaussian random variable. This is the same as to say that
$$\mathbb{E} e^{i\langle\xi, \Gamma\rangle}=e^{i \mathrm{E}(\xi, \Gamma\rangle-\frac{1}{2} \mathrm{~V}(\xi, \Gamma\rangle} .$$
Setting $m=\left(m_{1}, \ldots, m_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n}$ and $\Sigma=\left(\sigma_{j k}\right){j, k=1 \ldots, n} \in \mathbb{R}^{n \times n}$ where $$m{j}:=\mathbb{E} \Gamma_{j} \quad \text { and } \quad \sigma_{j k}:=\mathbb{E}\left(\Gamma_{j}-m_{j}\right)\left(\Gamma_{k}-m_{k}\right)=\operatorname{Cov}\left(\Gamma_{j}, \Gamma_{k}\right),$$
we can rewrite (2.3) in the following form
$$\mathbb{E} e^{i\langle\xi, \Gamma\rangle}=e^{i\langle\xi, m)-\frac{1}{2}(\xi, \Sigma \xi\rangle} .$$
We call $m$ the mean vector and $\Sigma$ the covariance matrix of $\Gamma$.

## 数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Robert Brown’s new thing

• 从原点开始 $x=0$ ，
• 仅在离散时间改变其位置 $k \Delta t$ 在哪里 $\Delta t>0$ 是固定的，适用于所有人 $k=1,2, \ldots$
• 移动 $\Delta x$ 以相等的概率向左或向右的单位；
然后
• $\Delta x$ 不依赖于任何过去的位置或当前位置 $x$ 也不淮时 $t=k \Delta t$
让 $\Delta t \rightarrow 0$ 和 $\Delta x \rightarrow 0$ 以适当的方式应该给出在时间和空间上连续的随机运动。
让我们用 $X_{t}$ 粒子在时间的随机位置 $t \in[0, T]$. 在那段时间里 $[0, T]$, 粒子改变了它的位置 $N=\lfloor T / \Delta t]$ 次。由 于向左或向右移动的决定是随机的，我们将通过独立的、同分布的伯努利随机变量对其进行建模， $\epsilon_{k}, k \geqslant 1$ ， 在哪里
$$\mathbb{P}\left(\epsilon_{1}=1\right)=\mathbb{P}\left(\epsilon_{1}=0\right)=\frac{1}{2}$$
以便
$$S_{N}=\epsilon_{1}+\cdots+\epsilon_{N} \quad \text { and } N-S_{N}$$
分别表示左右移动的次数。因此
$$X_{T}=S_{N} \Delta x-\left(N-S_{N}\right) \Delta x=\left(2 S_{N}-N\right) \Delta x=\sum_{k=1}^{N}\left(2 \epsilon_{k}-1\right) \Delta x$$
是粒子在时间的位置 $T=N \Delta t$. 自从 $X_{0}=0$ 我们找到任意两次 $t=n \Delta t$ 和 $T=N \Delta t$ 那
$$X_{T}=\left(X_{T}-X_{t}\right)+\left(X_{t}-X_{0}\right)=\sum_{k=n+1}^{N}\left(2 \epsilon_{k}-1\right) \Delta x+\sum_{k=1}^{n}\left(2 \epsilon_{k}-1\right) \Delta x$$

## 数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Brownian motion as a Gaussian process

$$\mathbb{E} e^{i \xi \Gamma}=e^{i m \xi-\frac{1}{2} \sigma^{2} \xi^{2}}$$

$$m=\mathbb{E} \Gamma \quad \text { and } \quad \sigma^{2}=\mathbb{V} \Gamma$$

$$\mathbb{E} e^{i\langle\xi, \Gamma\rangle}=e^{i \mathrm{E}(\xi, \Gamma\rangle-\frac{1}{2} \mathrm{~V}(\xi, \Gamma\rangle}$$

$$m j:=\mathbb{E} \Gamma_{j} \quad \text { and } \quad \sigma_{j k}:=\mathbb{E}\left(\Gamma_{j}-m_{j}\right)\left(\Gamma_{k}-m_{k}\right)=\operatorname{Cov}\left(\Gamma_{j}, \Gamma_{k}\right),$$

$$\mathbb{E} e^{i\langle\xi, \Gamma\rangle}=e^{i\langle\xi, m)-\frac{1}{2}(\xi, \Sigma \xi\rangle}$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。