数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|STAT4061

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  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Introduction to Optimization

数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Mathematical Modeling and Optimization

Although optimization may occur by trial-and-error procedures, such strategy can be quite expensive or even dangerous. In other cases, the number of possible solutions is considerably high; therefore, it is unpractical

to test each of them. When those situations occur, rigorous optimization techniques are necessary. Moreover, such methods require, in several cases, counting with a mathematical model, which properly represents the phenomena or system of interest. A mathematical model is an abstract representation of the system under study, and it relates the important variables through mathematical expressions. Such mathematical equations can be expressed as equalities $(A=B)$, inequalities $(A \leq B$ or $A \geq B)$, or logical expressions $(A \rightarrow B)$. Furthermore, relationships between the variables can be merely algebraic, which happens for static systems, or can be differential or integro-differential, which is observed in dynamic systems. Despite the type of mathematical equations and relationships conforms to the model, it should be used for better understanding the system under study, and obtaining information about the relationship between the different components of the system. Furthermore, the model will be beneficial for examining the effects of manipulating the input variables on the entire performance of the case of study. Moreover, it allows avoiding the high costs of multiple experiments and the risks of manipulating a not well understood system. Certainly, experimentation is necessary to obtain the unknown information required for the model or to validate the results obtained, but the required number of tests will be small.

An important concept, which is the first link between mathematical modeling and optimization, is the number of degrees of freedom. Let us assume a mathematical model with $M$ independent equations and $N$ variables. The number of degrees of freedom, $F$, is then defined as follows:
$$
F=N-M
$$
Thus, the degrees of freedom can be defined as a set of variables in excess, which avoids the model to be solved in a direct way. To solve the model, an $\mathbf{M} \times \mathbf{M}$ matrix should be obtained. Consequently, additional equations are required, which can be obtained by fixing $F$ variables in a given value. Three situations can be observed when analyzing the number of degrees of freedom:
Case I. The number of equations is greater than the number of variables $(M>N)$, and thus, the number of degrees of freedom is negative. This situation commonly implies that there are some errors in the model, and it is said that the problem is overspecified. Another possibility for the existence of this situation is that there are some dependent equations in the model, which should not be considered for computing $M$.

数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Classification of Optimization Problems

When a mathematical model is used for solving an optimization problem, it can be classified into different categories in terms of the number of degrees of freedom, including the type of mathematical relationships, equations, and variables. Depending on the type of optimization problem, the solution strategy will be different. In terms of the number of degrees of freedom, there are univariate problems, when there is only one degree of freedom; and multivariable problem, when there exist two or more degrees of freedom. For the univariate optimization problems, there are search methods, such as the golden section or the Fibonacci methods, which are considerably beneficial for solving that ty pe of problems (Jiménez Gutiérrez, 2003). For multivariable optimization, more robust methods are required.

Optimization problems can also be classified in terms of the type of mathematical relationships on the model, which can be algebraic or differential/ integro-differential. For both cases, uncertainties may or may not occur for the model components. If the model has only algebraic equations and there are no uncertainties, we discuss about a classical mathematical programming problem. If there are uncertainties, the case is known as a stochastic programming problem. When the model consists of differential/integro-differential relationships, but there are no uncertainties, we discuss about an optimal control problem. Finally, if there are uncertainties, a stochastic optimal control problem arises. Figure $1.1$ shows this classification in a graphical way.

数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Objective Function

We have mentioned that optimizing implies selecting the best alternative among a set of possibilities. Nevertheless, the term “the best” is quite relative, and the selection of the best alternative strongly depends on the personal opinion of the decision maker. Thus, to avoid taking subjective decisions, a more trustworthy, numeric criteria should be established, which allows selecting the solution independent to the personal criteria of the one responsible of taking the decision. That criteria is called the objective function.

The objective function can be defined as a way for measuring the effectiveness of the system (Sarker and Newton, 2008), or a way for measuring the performance of the system (Pierre, 1986). In other words, it indicates whether a given solution is good in comparison to others, or if it can be considered as the best solution. In Figure $1.3 a$, a one-variable objective function is shown. In Figure 1.3a, the optimal solution is the one marked as $x^{}$. For that solution, the objective function takes a value of $f\left(x^{}\right)$. It can be observed that there is no other value of $f(x)$ smaller than $f\left(x^{}\right)$ for any other $x$. Thus, it is said that the solution is a global minimum. In the case of the objective function in Figure 1.3a, finding the optimal solution is quite simple, implying the use of the first derivative criteria. Nevertheless, when the number of decision variables is higher, the solution of the optimization problem is not that easy. Figure $1.3 \mathrm{~b}$ shows an objective function with two independent variables. It can be observed that there are two points, which can be classified as minimums, $\bar{x}{1}^{}$ and $\bar{x}{2}^{}$. For both solutions, the gradient is equal to zero; thus, they are both optimal solutions. Nevertheless, the value of the function evaluated for $\bar{x}{2}^{}$ is lower than the value of the function for $\bar{x}{1}^{}$. Moreover, $f\left(\bar{x}{2}^{}\right)$ is the lowest value the function can consider, and it is a global minimum. The solution given by $f\left(\vec{x}{1}\right)$ is a minimum, but it is the lowest value of the function only for the surroundings of $\bar{x}_{1}^{*}$. Thus, it is known as a local minimum.

An unconstrained optimization problem can be stated in a general form as follows:
optimize $Z=z(\bar{x})$
where the term “optimize” is replaced by “min” for minimization and “max” for maximization, depending on what type of solution is desired.

数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Introduction to Optimization

随机过程统计代考

数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Mathematical Modeling and Optimization

尽管可以通过试错过程进行优化,但这种策略可能非常昂贵甚至危险。在其他情况下,可能的解决方案数量相当多;因此,这是不切实际的

测试它们中的每一个。当这些情况发生时,严格的优化技术是必要的。此外,在某些情况下,此类方法需要使用数学模型进行计数,该模型可以正确表示感兴趣的现象或系统。数学模型是所研究系统的抽象表示,它通过数学表达式将重要变量联系起来。这样的数学方程可以表示为等式(一个=乙), 不等式(一个≤乙或者一个≥乙), 或逻辑表达式(一个→乙). 此外,变量之间的关系可以仅仅是代数的,这发生在静态系统中,或者可以是微分的或积分微分的,这在动态系统中观察到。尽管数学方程的类型和关系符合模型,但它应该用于更好地理解所研究的系统,并获得有关系统不同组件之间关系的信息。此外,该模型将有利于检查操纵输入变量对研究案例整体表现的影响。此外,它可以避免多次实验的高成本和操纵一个不太了解的系统的风险。当然,为了获得模型所需的未知信息或验证所获得的结果,实验是必要的,

一个重要的概念,它是数学建模和优化之间的第一个环节,是自由度的数量。让我们假设一个数学模型米独立方程和ñ变量。自由度数,F, 则定义如下:

F=ñ−米
因此,自由度可以定义为一组多余的变量,从而避免了直接求解模型。为了求解模型,一个米×米应该得到矩阵。因此,需要额外的方程,可以通过固定来获得F给定值中的变量。分析自由度个数时可以观察到三种情况:
情况一,方程个数大于变量个数(米>ñ),因此,自由度数为负数。这种情况通常意味着模型中存在一些错误,并且说问题被过度指定。这种情况存在的另一种可能是模型中存在一些依赖方程,计算时不应该考虑米.

数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Classification of Optimization Problems

当一个数学模型用于解决优化问题时,它可以根据自由度的数量分为不同的类别,包括数学关系、方程和变量的类型。根据优化问题的类型,解决策略会有所不同。就自由度的数量而言,存在单变量问题,当只有一个自由度时;和多变量问题,当存在两个或多个自由度时。对于单变量优化问题,有一些搜索方法,例如黄金分割法或斐波那契方法,它们对于解决这类问题非常有益(Jiménez Gutiérrez,2003)。对于多变量优化,需要更稳健的方法。

优化问题也可以根据模型上的数学关系类型进行分类,可以是代数或微分/积分-微分。对于这两种情况,模型组件可能会或可能不会出现不确定性。如果模型只有代数方程并且没有不确定性,我们讨论一个经典的数学规划问题。如果存在不确定性,这种情况称为随机规划问题。当模型由微分/积分-微分关系组成,但没有不确定性时,我们讨论一个最优控制问题。最后,如果存在不确定性,就会出现随机最优控制问题。数字1.1以图形方式显示此分类。

数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Objective Function

我们已经提到,优化意味着在一组可能性中选择最佳替代方案。然而,“最佳”一词是相对而言的,最佳替代方案的选择很大程度上取决于决策者的个人意见。因此,为了避免做出主观决定,应该建立一个更值得信赖的数字标准,它允许选择独立于负责做出决定的人的个人标准的解决方案。该标准称为目标函数。

目标函数可以定义为一种衡量系统有效性的方法(Sarker 和 Newton,2008),或一种衡量系统性能的方法(Pierre,1986)。换句话说,它表明给定的解决方案与其他解决方案相比是否更好,或者它是否可以被视为最佳解决方案。如图1.3一个,显示了一个单变量目标函数。在图 1.3a 中,最优解是标记为X. 对于该解决方案,目标函数取值为F(X). 可以看出没有其他值F(X)小于F(X)对于任何其他X. 因此,据说该解决方案是全局最小值。对于图 1.3a 中的目标函数,找到最优解非常简单,这意味着使用一阶导数标准。然而,当决策变量的数量较多时,优化问题的求解就不是那么容易了。数字1.3 b显示具有两个自变量的目标函数。可以观察到有两点,可以归类为最小值,X¯1和X¯2. 对于这两种解决方案,梯度均为零;因此,它们都是最优解。然而,函数的值评估为X¯2低于函数的值X¯1. 而且,F(X¯2)是函数可以考虑的最小值,是全局最小值。给出的解决方案F(X→1)是最小值,但它是仅针对周围环境的函数的最小值X¯1∗. 因此,它被称为局部最小值。

一个无约束的优化问题可以用如下一般形式表示:
优化从=和(X¯)
其中术语“优化”由“min”代替,表示最小化,“max”表示最大化,具体取决于所需的解决方案类型。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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