数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|STAT7004

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  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|STAT7004

数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Waiting time for a gain

Let $\left{X_{i}\right}$ be sequence of i.i.d r.v.s with common distribution $P\left(X_{k}=1\right)=p, p\left(X_{k}=-1\right)=q, p+q=1$ and $S_{n}=X_{1}+\ldots+X_{n}, S_{0}=0$
In gambling terminology $S_{n}, n \geq 1$ is the Peter’s accumulated gain at the end of the $n^{\text {th }}$ trial if Peter and Paul play for unit stakes. Now consider the event $A_{n}=\left{S_{1} \leq 0, S_{2} \leq 0, \ldots, S_{n-1} \leq 0, S_{n}=1\right}$.

Thus, the $n^{\text {th }}$ trial is the first to render Peter’s accumulated gain positive. The event $A_{n}$ is called first visit to $+1$ or the index $n$ is the passage time through $l$ in random walk terminology.
Let $\phi_{n}=P\left(A_{n}\right)$. Define $\phi_{0}=0, \phi_{1}=p$.
If the event holds for $n>1$, then $S_{1}=-1$ and there exists a smallest integer $v$ $<n$ such that $S_{v}=0$. The outcome of the first $n$ trials may be described as follows: (1) At the first trial Peter looses an unit amount. (2) It takes $v-1$ further trials for Peter to reestablish the initial situation. (3) It takes exactly $n-v$ further trials for Peter to attain a positive net gain. These events depend on non-overlapping blocks of trials and are therefore mutually independent, $(2)$ and (3) have probabilities $\phi_{t-1}$ and $\phi_{n-v}$.

Now the event $A_{n}$ occurs iff the events (1) to (3) occcur for some $v<n$. Summing over all possible $1 \leq v \leq n-1$, we get
$$
\phi_{n}=q\left(\phi_{1} \phi_{n-2}+\ldots+\phi_{n-2} \phi_{1}\right)=q \sum_{v=2}^{n-1} \phi_{v-1} \phi_{n-v}
$$
Multiplying both sides by $s^{n}$ and summing $n=2,3, \ldots$, we get
$$
\begin{aligned}
\sum_{n=2}^{\infty} \phi_{n} s^{n} &=q s\left{\sum_{n=2}^{\infty} \phi_{n-1} s^{n-1}\right}^{2} \
&=q s\left{\sum_{n=0}^{\infty} \phi_{n} s^{n}\right}^{2}=q s \Phi^{2}(s)
\end{aligned}
$$
$\left(\right.$ since $\left.\phi_{0}=0\right)$
Also
$$
\sum_{n=2}^{\infty} \phi_{n} s^{n}=\Phi(s)-\phi_{0}-\phi_{1} s=\Phi(s)-p s
$$
where $\Phi(s)$ is the G.F. of $\left{\phi_{n}\right}$.
Equation (3.3) follows from the fact that
$$
\phi_{1} \phi_{n-2}+\ldots+\phi_{n-2} \phi_{1}=(n-1) \text { th term of }\left{\phi_{n}\right}^{*}\left{\phi_{n}\right} .
$$
and
$$
\begin{aligned}
& \sum_{n=2}^{\infty} q\left{\phi_{1} \phi_{n-2}+\ldots+\phi_{n-2} \phi_{1}\right} s^{n} \
=& q s \sum_{n=2}^{\infty}\left{\phi_{1} \phi_{n-2}+\ldots+\phi_{n-2} \phi_{1}\right} s^{n-1}
\end{aligned}
$$
Hence from (3.3) and (3.4), $\Phi(s)-p s=q s \Phi^{2}(s)$.

数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Returns to equilibrium

Let $A_{k}$ be the event of equalization of the accumulated number of successes and failures occurs at the $k$ th trial if $S_{k}=0$. Let $u_{k}=P\left(S_{k}=0\right)$. The number of trials is necessarily even and the probability of a return to the origin at the $2 n$th trial is given by
$$
U_{2 n}=\left(\begin{array}{c}
2 n \
n
\end{array}\right) p^{n} q^{n}=(-1)^{n}\left(\begin{array}{c}
-\frac{1}{2} \
n
\end{array}\right)(4 p q)^{n}
$$
The G.F. of $\left{U_{2 n}\right}$ is $U(s)=\sum_{n=0}^{\infty} U_{2 n} s^{2 n}$
$$
=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\left(\begin{array}{c}
-\frac{1}{2} \
n
\end{array}\right)\left(4 p q s^{2}\right)^{n}=\left(1-4 p q s^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}
$$
The first return to (origin) equilibrium,
$$
B_{2 n}=\left[S_{k} \neq 0, \text { for } k=1, \ldots, 2 n-1, S_{2 n}=0\right] .
$$
Let $P\left(B_{2 n}\right)=f_{2 n}$.
Consider two sub-events with $X_{1}=1, X_{1}=-1$ and denote their probabilities by $f_{2 n}^{+}$and $f_{2 n}^{-}$, i.e.
$$
f_{2 n}^{+}=P\left(B_{n} \cap\left(X_{1}=1\right)\right) \text { and } f_{2 n}^{-}=P\left(B_{n} \cap\left(X_{1}=-1\right)\right) \text {. }
$$
Now $f_{2 n}^{-}=q \phi_{2 n-1}$ (because first $2 n-2$ partial sums $X_{2}+X_{3}+\ldots+X_{n} \leq 0$, but the next one is positive)
As before let $\phi_{n}=P\left[S_{1} \leq 0, S_{2} \leq 0, \ldots, S_{n}=1\right]$
Then the G.F. of $\left{f_{2 n}^{-}\right}$is
$$
\begin{aligned}
F^{-}(s) &=\sum_{n=1}^{\infty} f_{2 n}^{-} s^{2 n}=s q \sum_{n=1}^{\infty} \phi_{2 n-1} s^{2 n-1} \
&=q s \Phi(s)=q s \frac{1-\left(1-4 p q s^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{2 q s}
\end{aligned}
$$
By symmetry, $F^{+}(s)=F^{-}(s)$ and hence
$$
\begin{aligned}
\sum_{n=1}^{\infty} f_{2 n} s^{2 n} &=F(s)=F^{+}(s)=F^{-}(s)=1-\left(1-4 p q s^{2}\right)^{\frac{1}{2}} \
(&\left.=1-\frac{1}{U(S)} \text { in general }\right)
\end{aligned}
$$
Hence probability that a return to equilibrium occurs sooner or later will be $$
\begin{aligned}
F(1) &=\sum_{n=1}^{\infty} f_{2 n} \
&=1-(1-4 p q)^{\frac{1}{2}}=1-|p-q| \
&= \begin{cases}2 q & \text { if } p>q \
2 p & \text { if } p<q \
1 & \text { if } p=q=\frac{1}{2}\end{cases}
\end{aligned}
$$
Hence, if $p=q=\frac{1}{2}$ a return to equilibrium is certain.

数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Sequential Analysis

An important problem arising in Wald’s sequential analysis is concerned with the random variable $N=N(a, b)$, where $N=\min \left{n \mid S_{n} \leq-b\right.$ or $\left.S_{n} \geq a\right}$ is the first exist time from the interval $(-b, a)$.
We ignore the trivial case $P\left(X_{i}=0\right)=1$.
Let $X_{i}$ are i.i.d. r.v.s and $S_{n}=X_{1}+\ldots+X_{n}$.
Theorem $3.1$ (C. Stein 1947)
$N$ is a proper random variable with finite moments of all order, i.e.
(i) $P(N<\infty)=1$ and (ii) $E(N)^{k}<\infty$ for all $k=1,2, \ldots$ Proof (i) We shall show, more specifically that there exists $A>0$ and
$$
0<\delta<1 \text { independent of } n \text { and } P[N \geq n] \leq A \delta^{n}
$$
Let $C=a+b$ and $r$ be a positive integer.
$$
\text { Let } \begin{aligned}
S_{1}^{}=X_{1}+\ldots+X_{r}, S_{2}^{} &=X_{r+1}+X_{r+2}+\ldots+X_{2 r}, \ldots, \
S_{k}^{*} &=X_{(k-1) r+1}+\ldots+X_{k r}
\end{aligned}
$$

We have, $P[N \geq k r] \leq P\left[\left|S_{1}^{}\right|}\right|}\right|}\right|0$.
If $p=1$, then $E\left(S_{k}^{}\right)^{2}=r E X_{i}^{2}+r(r-1)\left(E X_{i}\right)^{2}$ (since $X_{i}$ ‘s are i.i.d.) Since $E\left(X_{i}^{2}\right)>0, E\left(S_{k}^{}\right)^{2}>C^{2}$ by choosing $r$ large enough. But $p=1 \Rightarrow$ $E\left(S_{k}^{*}\right)^{2} \leq C^{2}$, which is a contradiction. Therefore $p \neq 1$ and $P(N<\infty)=1$. (ii) For $t>0$ and positive integer $k, n^{k}<e^{t n}$ for large $n$,
$$
\sum_{n=m}^{\infty} n^{k} P[N=n] \leq \sum_{n=m}^{\infty} e^{i n} P[N \geq n] \leq A \sum_{n=m}^{\infty}\left(\delta e^{t}\right)^{n}<\infty \text { if } \delta e^{t}<1
$$
Hence
$$
\begin{aligned}
E\left(N^{k}\right) &=\sum_{n=1}^{\infty} n^{k} P[N=n] \
&=\sum_{n=1}^{m-1} n^{k} P[N=n]+\sum_{n=m}^{\infty} n^{k} P[N=n]
\end{aligned}
$$
Definition $3.1 \quad N$ is called a stopping rule if $N$ is a non-negative integer-valued random variable and the event $[N \geq n]$ depends on $X_{1}, X_{2}, \ldots X_{n-1}$ only, i.e. $\lfloor N=n]$ is measurable with respect to $S D\left(X_{1}, \ldots, X_{n-1}\right)\left(X_{1}, \ldots, X_{n-1}\right.$, need not be i.i.d. r.v.s).

数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|STAT7004

随机过程统计代考

数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Waiting time for a gain

让\left{X_{i}\right}\left{X_{i}\right}是具有共同分布的独立同分布 rvs 序列磷(Xķ=1)=p,p(Xķ=−1)=q,p+q=1和小号n=X1+…+Xn,小号0=0
在赌博术语中小号n,n≥1是彼得在结束时的累积收益nth 如果彼得和保罗参加单位赌注,则进行审判。现在考虑事件A_{n}=\left{S_{1} \leq 0, S_{2} \leq 0, \ldots, S_{n-1} \leq 0, S_{n}=1\right}A_{n}=\left{S_{1} \leq 0, S_{2} \leq 0, \ldots, S_{n-1} \leq 0, S_{n}=1\right}.

就这样nth 试验是第一个使彼得的累积收益为正的。事件一个n被称为首次访问+1或索引n是通过时间l在随机游走术语中。
让φn=磷(一个n). 定义φ0=0,φ1=p.
如果活动持续n>1, 然后小号1=−1并且存在一个最小整数在 <n这样小号在=0. 第一场的结果n试验可以描述如下: (1) 在第一次试验中,彼得损失了一个单位金额。(2) 需要在−1进一步的试验让彼得重新建立最初的情况。(3) 精确到n−在进一步的试验让彼得获得正的净收益。这些事件依赖于不重叠的试验块,因此是相互独立的,(2)(3) 有概率φ吨−1和φn−在.

现在事件一个n如果事件 (1) 到 (3) 发生了一些在<n. 总结所有可能的1≤在≤n−1,我们得到

φn=q(φ1φn−2+…+φn−2φ1)=q∑在=2n−1φ在−1φn−在
两边乘以sn和求和n=2,3,…,我们得到

\begin{对齐} \sum_{n=2}^{\infty} \phi_{n} s^{n} &=q s\left{\sum_{n=2}^{\infty} \phi_{n- 1} s^{n-1}\right}^{2} \ &=q s\left{\sum_{n=0}^{\infty} \phi_{n} s^{n}\right}^{ 2}=q s \Phi^{2}(s) \end{对齐}\begin{对齐} \sum_{n=2}^{\infty} \phi_{n} s^{n} &=q s\left{\sum_{n=2}^{\infty} \phi_{n- 1} s^{n-1}\right}^{2} \ &=q s\left{\sum_{n=0}^{\infty} \phi_{n} s^{n}\right}^{ 2}=q s \Phi^{2}(s) \end{对齐}
(自从φ0=0)

∑n=2∞φnsn=披(s)−φ0−φ1s=披(s)−ps
在哪里披(s)是 GF\左{\phi_{n}\右}\左{\phi_{n}\右}.
方程 (3.3) 由以下事实得出:

\phi_{1} \phi_{n-2}+\ldots+\phi_{n-2} \phi_{1}=(n-1) \text { }\left{\phi_{n}\right }^{*}\left{\phi_{n}\right} 。\phi_{1} \phi_{n-2}+\ldots+\phi_{n-2} \phi_{1}=(n-1) \text { }\left{\phi_{n}\right }^{*}\left{\phi_{n}\right} 。

\begin{aligned} & \sum_{n=2}^{\infty} q\left{\phi_{1} \phi_{n-2}+\ldots+\phi_{n-2} \phi_{1}\右} s^{n} \ =& q s \sum_{n=2}^{\infty}\left{\phi_{1} \phi_{n-2}+\ldots+\phi_{n-2} \phi_ {1}\right} s^{n-1} \end{对齐}\begin{aligned} & \sum_{n=2}^{\infty} q\left{\phi_{1} \phi_{n-2}+\ldots+\phi_{n-2} \phi_{1}\右} s^{n} \ =& q s \sum_{n=2}^{\infty}\left{\phi_{1} \phi_{n-2}+\ldots+\phi_{n-2} \phi_ {1}\right} s^{n-1} \end{对齐}
因此从(3.3)和(3.4),披(s)−ps=qs披2(s).

数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Returns to equilibrium

让一个ķ是累积成功和失败次数均等的事件发生在ķ审判如果小号ķ=0. 让在ķ=磷(小号ķ=0). 试验次数必然是偶数,返回原点的概率2n审判由

在2n=(2n n)pnqn=(−1)n(−12 n)(4pq)n
女朋友\left{U_{2 n}\right}\left{U_{2 n}\right}是在(s)=∑n=0∞在2ns2n

=∑n=0∞(−1)n(−12 n)(4pqs2)n=(1−4pqs2)−12
第一次回到(原点)均衡,

乙2n=[小号ķ≠0, 为了 ķ=1,…,2n−1,小号2n=0].
让磷(乙2n)=F2n.
考虑两个子事件X1=1,X1=−1并将它们的概率表示为F2n+和F2n−, IE

F2n+=磷(乙n∩(X1=1)) 和 F2n−=磷(乙n∩(X1=−1)). 
现在F2n−=qφ2n−1(因为首先2n−2部分金额X2+X3+…+Xn≤0,但下一个是正数)
和以前一样让φn=磷[小号1≤0,小号2≤0,…,小号n=1]
然后的GF\left{f_{2 n}^{-}\right}\left{f_{2 n}^{-}\right}是

F−(s)=∑n=1∞F2n−s2n=sq∑n=1∞φ2n−1s2n−1 =qs披(s)=qs1−(1−4pqs2)122qs
通过对称,F+(s)=F−(s)因此

∑n=1∞F2ns2n=F(s)=F+(s)=F−(s)=1−(1−4pqs2)12 (=1−1在(小号) 一般来说 )
因此,迟早会恢复平衡的概率为

F(1)=∑n=1∞F2n =1−(1−4pq)12=1−|p−q| ={2q 如果 p>q 2p 如果 p<q 1 如果 p=q=12
因此,如果p=q=12回归平衡是肯定的。

数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Sequential Analysis

Wald 序列分析中出现的一个重要问题与随机变量有关ñ=ñ(一个,b), 在哪里N=\min \left{n \mid S_{n} \leq-b\right.$ 或 $\left.S_{n} \geq a\right}N=\min \left{n \mid S_{n} \leq-b\right.$ 或 $\left.S_{n} \geq a\right}是间隔中的第一个存在时间(−b,一个).
我们忽略微不足道的情况磷(X一世=0)=1.
让X一世是 iidrvs 和小号n=X1+…+Xn.
定理3.1(C.斯坦 1947)
ñ是具有所有阶的有限矩的适当随机变量,即
(i)磷(ñ<∞)=1(ii)和(ñ)ķ<∞对所有人ķ=1,2,…证明 (i) 我们将证明,更具体地说,存在一个>0和

0<d<1 独立于 n 和 磷[ñ≥n]≤一个dn
让C=一个+b和r为正整数。

 让 小号1=X1+…+Xr,小号2=Xr+1+Xr+2+…+X2r,…, 小号ķ∗=X(ķ−1)r+1+…+Xķr

我们有,P[N \geq k r] \leq P\left[\left|S_{1}^{}\right|}\right|}\right|}\right|0P[N \geq k r] \leq P\left[\left|S_{1}^{}\right|}\right|}\right|}\right|0.
如果p=1, 然后和(小号ķ)2=r和X一世2+r(r−1)(和X一世)2(自从X一世是 iid) 因为和(X一世2)>0,和(小号ķ)2>C2通过选择r足够大。但p=1⇒ 和(小号ķ∗)2≤C2,这是一个矛盾。所以p≠1和磷(ñ<∞)=1. (ii) 为吨>0和正整数ķ,nķ<和吨n对于大n,

∑n=米∞nķ磷[ñ=n]≤∑n=米∞和一世n磷[ñ≥n]≤一个∑n=米∞(d和吨)n<∞ 如果 d和吨<1
因此

和(ñķ)=∑n=1∞nķ磷[ñ=n] =∑n=1米−1nķ磷[ñ=n]+∑n=米∞nķ磷[ñ=n]
定义3.1ñ称为停止规则,如果ñ是一个非负整数值随机变量,事件[ñ≥n]取决于X1,X2,…Xn−1只有,即⌊ñ=n]是可测量的小号D(X1,…,Xn−1)(X1,…,Xn−1, 不必是 iidrvs)。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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