数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|МАТН6205

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黎曼几何是研究黎曼流形的微分几何学分支,黎曼流形是具有黎曼公制的光滑流形,即在每一点的切线空间上有一个内积,从一点到另一点平滑变化。

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  • Statistical Machine Learning 统计机器学习
  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|МАТН6205

数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|The First Dirichlet Eigenvalue Comparison Theorem

Following standard notations and setting (see, e.g., [Cha1] or in this context the seminal survey by Grigoryan in [Gri1]), for any precompact open set $\Omega$ in a Riemannian manifold $M$ we denote by $\lambda(\Omega)$ the smallest number $\lambda$ for which the following Dirichlet eigenvalue problem has a non-zero solution
$$
\left{\begin{aligned}
\Delta u+\lambda u &=0 \text { at all points } x \text { in } \Omega \
u(x) &=0 \text { at all points } x \text { in } \partial \Omega
\end{aligned}\right.
$$
We shall need the following beautiful observation due to Barta:

Theorem $7.1$ ([B], [Cha1]). Consider any smooth function $f$ on a domain $\Omega$ which satisfies $f_{\left.\right|{\Omega}}>0$ and $f{\mid \text {an }}=0$, and let $\lambda(\Omega)$ denote the first eigenvalue of the Dirichlet problem for $\Omega$. Then
$$
\inf {\Omega}\left(\frac{\Delta f}{f}\right) \leq-\lambda(\Omega) \leq \sup {\Omega}\left(\frac{\Delta f}{f}\right)
$$
If equality occurs in one of the inequalities, then they are both equalities, and $f$ is an eigenfunction for $\Omega$ corresponding to the eigenvalue $\lambda(\Omega)$.
Proof. Let $\phi$ be an eigenfunction for $\Omega$ corresponding to $\lambda(\Omega)$.
Then $\phi_{\Omega}>0$ and $\phi_{\left.\right|{\Omega}}=0$. If we let $h$ denote the difference $h=\phi-f$, then $$ \begin{aligned} -\lambda(\Omega)=\frac{\Delta \phi}{\phi} &=\frac{\Delta f}{f}+\frac{f \Delta h-h \Delta f}{f(f+h)} \ &=\inf {\Omega}\left(\frac{\Delta f}{f}\right)+\sup {\Omega}\left(\frac{f \Delta h-h \Delta f}{f(f+h)}\right) \ &=\sup {\Omega}\left(\frac{\Delta f}{f}\right)+\inf {\Omega}\left(\frac{f \Delta h-h \Delta f}{f(f+h)}\right) \end{aligned} $$ Here the supremum, $\sup {\Omega}\left(\frac{f \Delta h-h \Delta f}{f(f+h)}\right)$ is necessarily positive since
$$
\left.f(f+h)\right|{\Omega}>0 $$ and since by Green’s second formula $(6.8)$ in Theorem $6.4$ we have $$ \int{\Omega}(f \Delta h-h \Delta f) d V=0 \text {. }
$$
For the same reason, the infimum, $\inf _{\Omega}\left(\frac{f \Delta h-h \Delta f}{f(f+h)}\right)$ is necessarily negative. This gives the first part of the theorem. If equality occurs, then $(f \Delta h-h \Delta f)$ must vanish identically on $\Omega$, so that $-\lambda(\Omega)=\frac{\Delta f}{f}$, which gives the last part of the statement.

As already alluded to in the introduction, the key heuristic message of this report is that the Laplacian is a particularly ‘swift actor’ on minimal submanifolds (i.e., minimal extrinsic regular $R$-balls $D_{R}$ ) in ambient spaces with an upper bound $b$ on its sectional curvatures. This is to be understood in comparison with the ‘action’ of the Laplacian on totally geodesic $R$-balls $B_{R}^{b, m}$ in spaces of constant curvature b. In this section we will use Barta’s theorem to show that this phenomenon can indeed be ‘heard’ by ‘listening’ to the bass note of the Dirichlet spectrum of any given $D_{R}$.

数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|Isoperimetric Relations

In this and the following two sections we survey some comparison results concerning inequalities of isoperimetric type, mean exit times and capacities, respectively, for extrinsic minimal balls in ambient spaces with an upper bound on sectional curvature. This has been developed in a series of papers, see [Pa] and [MaP1][MaP4].

We will still assume a standard situation as in the previous section, i.e., $D_{R}$ denotes an extrinsic minimal ball of a minimal submanifold $P$ in an ambient space $N$ with the upper bound $b$ on the sectional curvatures.

Proposition 8.1. We define the following function of $t \in \mathbb{R}{+} \cup{0}$ for every $b \in \mathbb{R}$, for every $q \in \mathbb{R}$, and for every dimension $m \geq 2$ : $$ L{q}^{b, m}(t)=q\left(\frac{\operatorname{Vol}\left(S_{t}^{b, m-1}\right)}{m h_{b}(t)}-\operatorname{Vol}\left(B_{t}^{b, m}\right)\right)
$$
Then
$$
L_{q}^{b, m}(0)=0 \text { for all } b, q, \text { and } m
$$
and
$$
\operatorname{sign}\left(\frac{d}{d t} L_{q}^{b, m}(t)\right)=\operatorname{sign}(b q) \text { for all } b, q, m, \text { and } t>0 \text {. }
$$
Proof. This follows from a direct computation using the definition of $h_{b}(t)$ from equation (3.5) together with the volume formulae (cf. [Gr])
$$
\begin{aligned}
\operatorname{Vol}\left(B_{t}^{b, m}\right) &=\operatorname{Vol}\left(S_{1}^{0, m-1}\right) \cdot \int_{0}^{t}\left(Q_{b}(u)\right)^{m-1} d u \
\operatorname{Vol}\left(S_{t}^{b, m-1}\right) &=\operatorname{Vol}\left(S_{1}^{0, m-1}\right) \cdot\left(Q_{b}(t)\right)^{m-1}
\end{aligned}
$$

数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|A Consequence of the Co-area Formula

The co-area equation (6.4) applied to our setting gives the following
Proposition 9.1. Let $D_{R}(p)$ denote a regular extrinsic minimal ball of $P$ with center $p$ in $N$. Then
$$
\frac{d}{d u} \operatorname{Vol}\left(D_{u}\right) \geq \operatorname{Vol}\left(\partial D_{u}\right) \text { for all } u \leq R
$$

Proof. We let $f: \bar{D}{R} \rightarrow \mathbb{R}$ denote the function $f(x)=R-r(x)$, which clearly vanishes on the boundary of $D{R}$ and is smooth except at $p$. Following the notation of the co-area formula we further let
$$
\begin{aligned}
\Omega(t) &=D_{(R-t)} \
V(t) &=\operatorname{Vol}\left(D_{(R-t)}\right) \text { and } \
\Sigma(t) &=\partial D_{(R-t)}
\end{aligned}
$$
Then
$$
\begin{aligned}
\operatorname{Vol}\left(D_{u}\right) &=V(R-u) \text { so that } \
\frac{d}{d u} \operatorname{Vol}\left(D_{u}\right) &=-V^{\prime}(t){\left.\right|{i=n-u}} .
\end{aligned}
$$
The co-area equation (6.4) now gives
$$
\begin{aligned}
-V^{\prime}(t) &=\int_{\partial D_{(R-t)}}\left|\nabla^{P} r\right|^{-1} d A \
& \geq \operatorname{Vol}\left(\partial D_{(R-t)}\right) \
&=\operatorname{Vol}\left(\partial D_{u}\right)
\end{aligned}
$$
and this proves the statement.
Exercise 9.2. Explain why the non-smoothness of the function $f$ at $p$ does not create problems for the application of equation (6.4) in this proof although smoothness is one of the assumptions in Theorem 6.1.

数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|МАТН6205

黎曼几何代考

数学代写黎曼几何代写Riemannian geometry代 考|lsoperimetric Relations


在本节和接下来的两节中,我们分别调查了一些关于等周型不等式、平均退出时间和容量的比较结果,用于在截面曲率 上有上限的环境空间中的外在最小球。这已经在一系列论文中得到发展,参见 [Pa] 和 [MaP1] [MaP4]。
我们仍将假设与上一节一样的标准情况,即 $D_{R}$ 表示最小子流形的外在最小球 $P$ 在环境空间中 $N$ 与上限 $b$ 在截面曲率上。
提案 8.1。我们定义如下函数 $t \in \mathbb{R}+\cup 0$ 对于每个 $b \in \mathbb{R}$ ,对于每个 $q \in \mathbb{R}$ ,并且对于每个维度 $m \geq 2$ :
$$
L q^{b, m}(t)=q\left(\frac{\operatorname{Vol}\left(S_{t}^{b, m-1}\right)}{m h_{b}(t)}-\operatorname{Vol}\left(B_{t}^{b, m}\right)\right)
$$
然后
$$
L_{q}^{b, m}(0)=0 \text { for all } b, q, \text { and } m
$$

$$
\operatorname{sign}\left(\frac{d}{d t} L_{q}^{b, m}(t)\right)=\operatorname{sign}(b q) \text { for all } b, q, m, \text { and } t>0
$$
证明。这是从使用定义的直接计算得出的 $h_{b}(t)$ 从方程 (3.5) 连同体积公式 (cf. [Gr])
$$
\operatorname{Vol}\left(B_{t}^{b, m}\right)=\operatorname{Vol}\left(S_{1}^{0, m-1}\right) \cdot \int_{0}^{t}\left(Q_{b}(u)\right)^{m-1} d u \operatorname{Vol}\left(S_{t}^{b, m-1}\right)=\operatorname{Vol}\left(S_{1}^{0, m-1}\right) \cdot\left(Q_{b}(t)\right)^{m-1}
$$


数学代写黎曼几何代写Riemannian geometry代考|A Consequence of the Co-area Formula


应用于我们的设置的共面积方程 $(6.4)$ 给出了以下命题 9.1。让 $D_{R}(p)$ 表示一个规则的外在最小球 $P$ 带中心 $p$ 在 $N$. 然后
$$
\frac{d}{d u} \operatorname{Vol}\left(D_{u}\right) \geq \operatorname{Vol}\left(\partial D_{u}\right) \text { for all } u \leq R
$$
证明。我们让 $f: \bar{D} R \rightarrow \mathbb{R}$ 表示函数 $f(x)=R-r(x)$ ,它显然在边界上消失了 $D R$ 并且是光滑的,除了在 $p$. 根据共 面积公式的符号,我们进一步让
$$
\Omega(t)=D_{(R-t)} V(t)=\operatorname{Vol}\left(D_{(R-t)}\right) \text { and } \Sigma(t)=\partial D_{(R-t)}
$$
然后
$$
\operatorname{Vol}\left(D_{u}\right)=V(R-u) \text { so that } \frac{d}{d u} \operatorname{Vol}\left(D_{u}\right) \quad=-V^{\prime}(t) \mid i=n-u
$$
共面积方程 (6.4) 现在给出
$$
-V^{\prime}(t)=\int_{\partial D_{(R-t)}}\left|\nabla^{P} r\right|^{-1} d A \geq \operatorname{Vol}\left(\partial D_{(R-t)}\right)=\operatorname{Vol}\left(\partial D_{u}\right)
$$
这证明了这个说法。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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