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黎曼几何是研究黎曼流形的微分几何学分支，黎曼流形是具有黎曼公制的光滑流形，即在每一点的切线空间上有一个内积，从一点到另一点平滑变化。
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数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|Model Spaces of Constant Curvature
In this section we briefly discuss surfaces embedded in $\mathbb{R}^{3}$ (with Euclidean or Minkowski inner product) that have constant Gaussian curvature and play the role of model spaces. For each model space we are interested in describing the geodesics and, more generally, the curves of constant geodesic curvature. These results will be useful in the study of sub-Riemannian model spaces in dimension 3 (see Chapter 7 ).
Assume that the surface $M$ has constant Gaussian curvature $\kappa \in \mathbb{R}$. We already know that $\kappa$ is a metric invariant of the surface, i.e., it does not depend on the embedding of the surface in $\mathbb{R}^{3}$. We will distinguish the following three cases:
(i) $\kappa=0$ : this is the flat model, corresponding to the Euclidean plane,
(ii) $\kappa>0$ : this corresponds to the sphere,
(iii) $\kappa<0$ : this corresponds to the hyperbolic plane.
We will briefly discuss case (i), since it is trivial, and study in more detail cases
(ii) and (iii), of spherical and hyperbolic geometry respectively.
数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|Zero Curvature: The Euclidean Plane
The Euclidean plane can be realizéd as the surface of $\mathbb{R}^{3}$ defined by the zero level set of the function
$$
a: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}, \quad a(x, y, z)=z
$$
It is an easy exercise, applying the results of the previous sections, to show that the Gaussian curvature of this surface is zero (the Gauss map is constant) and to characterize geodesics and curves with constant geodesic curvature.
Exercise 1.59 Prove that geodesics on the Euclidean plane are lines. Moreover, show that curves with constant geodesic curvature $c \neq 0$ are circles of radius $1 / c$.
数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|Positive Curvature: The Sphere
Let us consider the sphere $S_{r}^{2}$ of radius $r$ as the surface of $\mathbb{R}^{3}$ defined as the zero level set of the function
$$
S_{r}^{2}=a^{-1}(0), \quad a(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2} .
$$
If we denote, as usual, by $\langle\cdot \mid \cdot\rangle$ the Euclidean inner product in $\mathbb{R}^{3}, S_{r}^{2}$ can be viewed also as the set of points $q=(x, y, z)$ whose Euclidean norm is constant:
$$
S_{r}^{2}=\left{q \in \mathbb{R}^{3} \mid\langle q \mid q\rangle=r^{2}\right} .
$$
The Gauss map associated with this surface can be easily computed, and it is explicitly given by
$$
\mathcal{N}: S_{r}^{2} \rightarrow S^{2}, \quad \mathcal{N}(q)=\frac{1}{r} q
$$
It follows immediately from (1.75) that the Gaussian curvature of the sphere is $\kappa=1 / r^{2}$ at every point $q \in S_{r}^{2}$. Let us now recover the structure of geodesics and curves with constant geodesic curvature on the sphere.
Proposition $1.60$ Let $\gamma:[0, T] \rightarrow S_{r}^{2}$ be a curve with unit speed and constant geodesic curvature equal to $c \in \mathbb{R}$. Then, for every $w \in \mathbb{R}^{3}$, the function $\alpha(t)=\langle\dot{\gamma}(t) \mid w\rangle$ is a solution of the differential equation
$$
\ddot{\alpha}(t)+\left(c^{2}+\frac{1}{r^{2}}\right) \alpha(t)=0 .
$$
Proof Differentiating twice the equality $a(\gamma(t))=0$, where $a$ is the function defined in (1.74), we get (in matrix notation):
$$
\dot{\gamma}(t)^{T}\left(\nabla_{\gamma(t)}^{2} a\right) \dot{\gamma}(t)+\ddot{\gamma}(t)^{T} \nabla_{\gamma(t)} a=0 .
$$
Moreover, since $|\dot{\gamma}(t)|$ is constant and $\gamma$ has constant geodesic curvature equal to $c$, there exists a function $b(t)$ such that
$$
\ddot{\gamma}(t)=b(t) \nabla_{\gamma(t)} a+c \eta(t),
$$
where $c$ is the gcodesic curvature of the curve and $\eta(t)=\dot{\gamma}(t)^{\perp}$ is the vector orthogonal to $\dot{\gamma}(t)$ in $T_{\gamma(t)} S_{r}^{2}$ (defined in such a way that $\dot{\gamma}(t)$ and $\eta(t)$ form a positively oriented frame). Reasoning as in the proof of Proposition $1.8$ and noticing that $\nabla_{\gamma(t)} a$ is proportional to the vector $\gamma(t)$, one can compute $b(t)$ and obtain that $\gamma$ satisfies the differential equation
$$
\ddot{\gamma}(t)=-\frac{1}{r^{2}} \gamma(t)+c \eta(t) .
$$
黎曼几何代考
数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|Model Spaces of Constant Curvature
在本节中，我们将简要讨论嵌入在R3（与欧几里得或闵可夫斯基内积）具有恒定的高斯曲率并起到模型空间的作用。对于每个模型空间，我们感兴趣的是描述测地线，更一般地，描述恒定测地线曲率的曲线。这些结果将有助于研究第 3 维的亚黎曼模型空间（参见第 7 章）。
假设表面米具有恒定的高斯曲率ķ∈R. 我们已经知道ķ是表面的度量不变量，即它不依赖于表面的嵌入R3. 我们将区分以下三种情况：
（i）ķ=0：这是平面模型，对应于欧几里得平面，
(ii)ķ>0：这对应于球体，
（iii）ķ<0：这对应于双曲平面。
我们将简要讨论情况（i），因为它是微不足道的，并分别研究球面几何和双曲几何的更详细情况
（ii）和（iii）。
数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|Zero Curvature: The Euclidean Plane
欧几里得平面可以实现为R3由函数的零级集定义
一个:R3→R,一个(X,是,和)=和
这是一个简单的练习，应用前面部分的结果，显示该表面的高斯曲率为零（高斯图是恒定的），并以恒定的测地线曲率表征测地线和曲线。
练习 1.59 证明欧几里得平面上的测地线是线。此外，证明具有恒定测地曲率的曲线C≠0是半径的圆1/C.
数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|Positive Curvature: The Sphere
让我们考虑球体小号r2半径r作为表面R3定义为函数的零水平集
小号r2=一个−1(0),一个(X,是,和)=X2+是2+和2−r2.
如果我们像往常一样表示⟨⋅∣⋅⟩欧几里得内积R3,小号r2也可以看作是点的集合q=(X,是,和)其欧几里得范数是常数：
S_{r}^{2}=\left{q \in \mathbb{R}^{3} \mid\langle q \mid q\rangle=r^{2}\right} 。S_{r}^{2}=\left{q \in \mathbb{R}^{3} \mid\langle q \mid q\rangle=r^{2}\right} 。
与这个表面相关的高斯图可以很容易地计算出来，它明确地由下式给出
ñ:小号r2→小号2,ñ(q)=1rq
从 (1.75) 可以立即得出球体的高斯曲率是ķ=1/r2在每一点q∈小号r2. 现在让我们恢复球体上具有恒定测地曲率的测地线和曲线的结构。
主张1.60让C:[0,吨]→小号r2是一条单位速度和恒定测地曲率等于的曲线C∈R. 那么，对于每一个在∈R3， 功能一个(吨)=⟨C˙(吨)∣在⟩是微分方程的解
一个¨(吨)+(C2+1r2)一个(吨)=0.
证明对等式进行两次微分一个(C(吨))=0， 在哪里一个是 (1.74) 中定义的函数，我们得到（以矩阵表示法）：
C˙(吨)吨(∇C(吨)2一个)C˙(吨)+C¨(吨)吨∇C(吨)一个=0.
此外，由于|C˙(吨)|是恒定的并且C具有恒定的测地曲率等于C, 存在一个函数b(吨)这样
C¨(吨)=b(吨)∇C(吨)一个+C这(吨),
在哪里C是曲线的 gcodesic 曲率和这(吨)=C˙(吨)⊥是正交于的向量C˙(吨)在吨C(吨)小号r2（以这样的方式定义C˙(吨)和这(吨)形成一个正向的框架）。命题证明中的推理1.8并注意到∇C(吨)一个与向量成正比C(吨), 可以计算b(吨)并获得C满足微分方程
C¨(吨)=−1r2C(吨)+C这(吨).
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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