数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|MATH3968

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黎曼几何是研究黎曼流形的微分几何学分支,黎曼流形是具有黎曼公制的光滑流形,即在每一点的切线空间上有一个内积,从一点到另一点平滑变化。

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数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|MATH3968

数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|Gauss–Bonnet Theorem: Global Version

Now we state the global version of the Gauss-Bonnet theorem. In other words we want to generalize $(1.33)$ to the case when $\Gamma$ is a region of $M$ that is not

necessarily homeomorphic to a disk; see for instance Figure 1.4. As we will find, the result depends on the Euler characteristic $\chi(\Gamma)$ of this region.

In what follows, by a triangulation of $M$ we mean a decomposition of $M$ into curvilinear polygons (see Definition $1.31$ ). Notice that every compact surface admits a triangulation. 3

Definition 1.34 Let $M \subset \mathbb{R}^{3}$ be a compact oriented surface with piecewise smooth boundary $\partial M$. Consider a triangulation of $M$. We define the Euler characteristic of $M$ as
$$
\chi(M):=n_{2}-n_{1}+n_{0},
$$
where $n_{i}$ is the number of $i$-dimensional faces in the triangulation.
The Euler characteristic can be defined for every region $\Gamma$ of $M$ in the same way. Here, by a region $\Gamma$ on a surface $M$ we mean a closed domain of the manifold with piecewise smooth boundary.

数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|Consequences of the Gauss–Bonnet Theorems

Definition $1.39$ Let $M, M^{\prime}$ be two surfaces in $\mathbb{R}^{3}$. A smooth map $\phi: \mathbb{R}^{3} \rightarrow$ $\mathbb{R}^{3}$ is called a local isometry between $M$ and $M^{\prime}$ if $\phi(M)=M^{\prime}$ and for every $q \in M$ it satisfies
$$
\langle v \mid w\rangle=\left\langle D_{q} \phi(v) \mid D_{q} \phi(w)\right\rangle, \quad \forall v, w \in T_{q} M
$$
If, moreover, the map $\phi$ is a bijection then $\phi$ is called a global isometry. Two surfaces $M$ and $M^{\prime}$ are said to be locally isometric (resp. globally isometric) if there exists a local isometry (resp. global isometry) between $M$ and $M^{\prime}$. Notice that the restriction $\phi$ of an isometry of $\mathbb{R}^{3}$ to a surface $M \subset \mathbb{R}^{3}$ always defines a global isometry between $M$ and $M^{\prime}=\phi(M)$.

Formula (1.52) says that a local isometry between two surfaces $M$ and $M^{\prime}$ preserves the angles between tangent vectors and, a fortiori, the lengths of curves and the distances between points.

By Corollary $1.33$, thanks to the fact that the angles and the volumes are preserved by isometries, one obtains that the Gaussian curvature is invariant under local isometries, in the following sense.

Theorem 1.40 (Gauss’ theorema egregium) Let $\phi$ be a local isometry between $M$ and $M^{\prime}$. Then for every $q \in M$ one has $\kappa(q)=\kappa^{\prime}(\phi(q))$, where $\kappa$ (resp. $\kappa^{\prime}$ ) is the Gaussian curvature of $M$ (resp. $\left.M^{\prime}\right)$.

This result says that the Gaussian curvature $\kappa$ depends only on the metric structure on $M$ and not on the specific fact that the surface is embedded in $\mathbb{R}^{3}$ with the induced inner product.

数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|The Gauss Map

We end this section with a geometric characterization of the Gaussian curvature of a manifold $M$, using the Gauss map. The Gauss map is a map from the surface $M$ to the unit sphere $S^{2}$ of $\mathbb{R}^{3}$.

Definition 1.44 Let $M$ be an oriented surface. We define the Gauss map associated with $M$ as
$$
\mathcal{N}: M \rightarrow S^{2}, \quad q \mapsto v_{q}
$$
where $v_{q} \in S^{2} \subset \mathbb{R}^{3}$ denotes the external unit normal vestor to $M$ at $q$.
Let us consider the differential of the Gauss map at the point $q$,
$$
D_{q} \mathcal{N}: T_{q} M \rightarrow T_{\mathcal{N}(q)} S^{2}
$$

Notice that a tangent vector to the sphere $S^{2}$ at $\mathcal{N}(q)$ is by construction orthogonal to $\mathcal{N}(q)$. Hence it is possible to identify $T_{\mathcal{N}(q)} S^{2}$ with $T_{q} M$ and to think of the differential of the Gauss map $D_{q} \mathcal{N}$ as an endomorphism of $T_{q} M$

Theorem 1.45 Let $M$ be a surface of $\mathbb{R}^{3}$ with Gauss map $\mathcal{N}$ and Gaussian curvature к. Then
$$
\kappa(q)=\operatorname{det}\left(D_{q} \mathcal{N}\right),
$$
where $D_{q} \mathcal{N}$ is interpreted as an endomorphism of $T_{q} M$.
We start by proving an important property of the Gauss map.
Lemma $1.46$ For every $q \in M$, the differential $D_{q} \mathcal{N}$ of the Gauss map is a symmetric operator, i.e., it satisfies
$$
\left\langle D_{q} \mathcal{N}(\xi) \mid \eta\right\rangle=\left\langle\xi \mid D_{q} \mathcal{N}(\eta)\right\rangle, \quad \forall \xi, \eta \in T_{q} M .
$$
Proof The statement is local, hence it is not restrictive to assume that $M$ is parametrized by a function $\phi: \mathbb{R}^{2} \rightarrow M$. In this case $T_{q} M=\operatorname{Im} D_{u} \phi$, where $\phi(u)=q$. Let $v, w \in \mathbb{R}^{2}$ such that $\xi=D_{u} \phi(v)$ and $\eta=D_{u} \phi(w)$. Since $\mathcal{N}(q) \in T_{q} M^{\perp}$ we have
$$
\langle\mathcal{N}(q) \mid \eta\rangle=\left\langle\mathcal{N}(q) \mid D_{u} \phi(w)\right\rangle=0
$$

数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|MATH3968

黎曼几何代考

数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|Gauss–Bonnet Theorem: Global Version

现在我们陈述高斯-博内定理的全局版本。换句话说,我们想要概括(1.33)到的情况下Γ是一个地区米那不是

必然同胚于圆盘;参见图 1.4。我们会发现,结果取决于欧拉特性χ(Γ)这个地区的。

接下来,通过三角剖分米我们的意思是分解米成曲线多边形(见定义1.31)。请注意,每个紧致曲面都允许进行三角剖分。3

定义 1.34 让米⊂R3是具有分段光滑边界的紧致曲面∂米. 考虑三角剖分米. 我们定义欧拉特征米作为

χ(米):=n2−n1+n0,
在哪里n一世是数量一世三角剖分中的维面。
可以为每个区域定义欧拉特征Γ的米以同样的方式。这里,按地区Γ在一个表面上米我们指的是具有分段平滑边界的流形的封闭域。

数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|Consequences of the Gauss–Bonnet Theorems

定义1.39让米,米′是两个曲面R3. 平滑的地图φ:R3→ R3称为局部等距米和米′如果φ(米)=米′并且对于每个q∈米它满足

⟨在∣在⟩=⟨Dqφ(在)∣Dqφ(在)⟩,∀在,在∈吨q米
此外,如果地图φ那么是双射φ称为全局等距。两个表面米和米′如果在两者之间存在局部等距(或全局等距),则称其为局部等距(或全球等距)米和米′. 注意限制φ的等距R3到一个表面米⊂R3总是定义一个全局等距米和米′=φ(米).

公式 (1.52) 表示两个表面之间的局部等距米和米′保留切向量之间的角度,更重要的是,保留曲线的长度和点之间的距离。

通过推论1.33,由于等距保留了角度和体积,因此在以下意义上,可以得出在局部等距下高斯曲率是不变的。

定理 1.40(高斯优秀定理)φ是之间的局部等距米和米′. 那么对于每一个q∈米一个有ķ(q)=ķ′(φ(q)), 在哪里ķ(分别。ķ′) 是高斯曲率米(分别。米′).

这个结果表明高斯曲率ķ仅取决于度量结构米而不是表面嵌入的具体事实R3与诱导内积。

数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|The Gauss Map

我们以流形的高斯曲率的几何表征结束本节米,使用高斯图。高斯图是来自表面的地图米到单位球体小号2的R3.

定义 1.44 让米是一个有向曲面。我们定义与关联的高斯图米作为

ñ:米→小号2,q↦在q
在哪里在q∈小号2⊂R3表示外部单位的正常委托人米在q.
让我们考虑高斯图在该点的微分q,

Dqñ:吨q米→吨ñ(q)小号2

请注意,球体的切向量小号2在ñ(q)是通过构造正交于ñ(q). 因此可以识别吨ñ(q)小号2和吨q米并考虑高斯图的微分Dqñ作为一个内同态吨q米

定理 1.45 让米成为一个表面R3带高斯图ñ和高斯曲率 к。然后

ķ(q)=这⁡(Dqñ),
在哪里Dqñ被解释为内同态吨q米.
我们首先证明高斯图的一个重要性质。
引理1.46对于每一个q∈米, 微分Dqñ高斯图的 是一个对称算子,即满足

⟨Dqñ(X)∣这⟩=⟨X∣Dqñ(这)⟩,∀X,这∈吨q米.
证明 该陈述是局部的,因此假设米由函数参数化φ:R2→米. 在这种情况下吨q米=在里面⁡D在φ, 在哪里φ(在)=q. 让在,在∈R2这样X=D在φ(在)和这=D在φ(在). 自从ñ(q)∈吨q米⊥我们有

⟨ñ(q)∣这⟩=⟨ñ(q)∣D在φ(在)⟩=0

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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