数学代写|matlab代写|BCH Codes

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  • Statistical Machine Learning 统计机器学习
  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|matlab代写|BCH Codes

数学代写|matlab代写|Construction

The most useful codes we presented in Chapter 3 were Hamming codes because they are linear and perfect. However, Hamming codes are not ideal if the occurrence of more than one bit error in a single codeword is likely. Since Hamming codes are only one-error correcting, if more than one bit error occurs during transmission of a Hamming codeword, the received vector will not be correctable to the codeword that was sent. Moreover, since Hamming codes are perfect, if more than one bit error occurs, the received vector will be uniquely correctable, but to the wrong codeword. In this chapter, we will present a type of code called a $B C H$ code that is linear and can be constructed to be multiple-error correcting. BCH codes are named for their creators, Bose, Chaudhuri, and Hocquenghem.

One way BCH codes differ from the codes we presented in Chapter 3 is that BCH codewords are polynomials rather than vectors. To construct a $\mathrm{BCH}$ code, we begin with the polynomial $f(x)=x^{m}-1 \in \mathbb{Z}{2}[x]$ for some positive integer $m$. Then $R=\mathbb{Z}{2}[x] /(f(x))$ is a ring that can be represented by all polynomials in $\mathbb{Z}{2}[x]$ of degree less than $m$. Suppose $g(x) \in \mathbb{Z}{2}[x]$ divides $f(x)$. Then the set $C$ of all multiples of $g(x)$ in $\mathbb{Z}{2}[x]$ of degree less than $m$ is a vector space in $R$ with dimension $m-\operatorname{deg}(g(x))$. Thus, the polynomials in $C$ are the codewords in an $[m, m-\operatorname{deg}(g(x))]$ linear code in $R$ with $2^{m-\operatorname{deg}(g(x))}$ codewords. The polynomial $g(x)$ is called a generator polynomial for the code, and we consider the codewords in the code to have length $m$ positions because we view each term in a polynomial codeword as a codeword position. A codeword $c(x) \in \mathbb{Z}{2}[x]$ with $m$ terms can then naturally be expressed as a unique vector in $\mathbb{Z}_{2}^{m}$ by listing the coefficients of $c(x)$ in order (including coefficients of zero) for increasing powers of $x$. In this chapter, we will assume $\mathrm{BCH}$ codewords are transmitted in this form.

数学代写|matlab代写|Error Correction

As we mentioned in Section 4.1, the generator polynomial for a BCH code is chosen in a special way because of how it allows errors to be corrected in the resulting code. In this section, we will present the BCH code error correction method. Before doing so, we first note the following theorem.
Theorem 4.1 Suppose $p(x) \in \mathbb{Z}{2}[x]$ is a primitive polynomial of degree $n$, and let $C$ be the $B C H$ code that results from the first $s$ powers of $a=x$ in the finite field $\mathbb{Z}{2}[x] /(p(x))$. Then $c(x) \in \mathbb{Z}_{2}[x]$ of degree less than $2^{\mathrm{n}}-1$ is in $C$ if and only if $c\left(a^{i}\right)=0$ for $i=1,2, \ldots, s$.

Proof. Let $m_{i}(x)$ be the minimum polynomial of $a^{i}$ in $\mathbb{Z}{2}[x]$ for every $i=1,2, \ldots, s$, and let $g(x)$ be the least common multiple in $\mathbb{Z}{2}[x]$ of the $m_{i}(x)$ for $i=1,2, \ldots, s$. If $c(x) \in C$, then $c(x)=g(x) \cdot h(x)$ for some $h(x) \in \mathbb{Z}{2}[x]$. Thus, $c\left(a^{i}\right)=g\left(a^{i}\right) \cdot h\left(a^{i}\right)=0 \cdot h\left(a^{i}\right)=0$ for $i=1,2, \ldots, s$. Conversely, if $c\left(a^{i}\right)=0$ for $i=1,2, \ldots, s$, then $m{i}(x)$ divides $c(x)$ for $i=1,2, \ldots, s$. Thus, $g(x)$ divides $c(x)$, and $c(x) \in C$.

We will now outline the $\mathrm{BCH}$ error correction method. Let $p(x) \in \mathbb{Z}_{2}[x]$ be a primitive polynomial of degree $n$, and let $C$ be the $\mathrm{BCH}$ code that

results from the first $2 t$ powers of $a=x$ in the finite field $\mathbb{Z}{2}[x] /(p(x))$. We will show in Theorem $4.2$ that $C$ is then $t$-error correcting. Suppose $c(x) \in C$ is transmitted, and we receive the polynomial $r(x) \in \mathbb{Z}{2}[x]$ of degree less than $2^{n}-1$. Then $r(x)=c(x)+e(x)$ for some error polynomial $e(x)$ in $\mathbb{Z}_{2}[x]$ of degree less than $2^{\mathrm{n}}-1$ that contains exactly and only the terms in which $r(x)$ and $c(x)$ differ. To correct $r(x)$, we must only determine $e(x)$, for we could then compute $c(x)=r(x)+e(x)$. However, Theorem $4.1$ implies $r\left(a^{i}\right)=e\left(a^{i}\right)$ for $i=1,2, \ldots, 2 t$. Thus, by knowing $r(x)$, we also know some information about $e(x)$. We will call the values of $r\left(a^{i}\right)$ for $i=1,2, \ldots, 2 t$ the syndromes of $r(x)$.

Suppose $e(x)=x^{m_{1}}+x^{m_{2}}+\cdots+x^{m_{p}}$ for some integer error positions $m_{1}<m_{2}<\cdots<m_{p}$ with $p \leq t$ and $m_{p}<2^{n}-1$. To correct $r(x)$, we must only find the error positions $m_{1}, m_{2}, \ldots, m_{p}$. To do this, we begin by computing the syndromes of $r(x)$, which we will denote by $s_{1}=r(a)$, $s_{2}=r\left(a^{2}\right), \ldots, s_{2 t}=r\left(a^{2 t}\right)$. Next, we introduce the following error locator polynomial $E(z)$, called so because its roots (unknown at this point) reveal the error positions in $r(x)$.

数学代写|matlab代写|Construction

Because some of the functions that we will use are in the Maple LinearAlgebra package, we will begin by including this package. In addition, we will enter the following interface command to cause Maple to display all matrices of size $200 \times 200$ and smaller throughout the remainder of this Maple session.

with(LinearAlgebra):
interface $($ rtablesize $=200)$ :
We will now define the primitive polynomial $p(x)=x^{4}+x+1 \in \mathbb{Z}_{2}[x]$ used to construct the code.
$>\mathrm{p}:=\mathrm{x}->\mathrm{x}^{\sim} 4+\mathrm{x}+1:$ $>\operatorname{Primitive}(\mathrm{p}(\mathrm{x})) \bmod 2 ;$
Next, we will use the Maple degree function to assign the number of elements in the underlying finite field as the variable $f s$, and use the Maple Vector function to create a vector in which to store the field elements.
We can then use the following commands to generate and store the field elements in the vector field. Since for BCH codes we denote the field element $x$ by $a$, we use the parameters $a$ and $p(a)$ in the following Powmod command.
$>$ for i from 1 to fs-1 do
$>\quad f i e l d[i]:=\operatorname{Powmod}(a, i, p(a), a)$ mod 2 :
$>$ od:

$$

\text { field[fs] :=0: }
$$
We can view the entries in the vector field by entering the following command.

数学代写|matlab代写|BCH Codes

matlab代写

数学代写|matlab代写|Construction

我们在第 3 章中介绍的最有用的代码是汉明码,因为它们是线性且完美的。然而,如果单个码字中可能出现多于一位的错误,那么汉明码就不是理想的了。由于汉明码只是一次纠错,如果在汉明码字的传输过程中出现多于一位的错误,则接收到的向量将无法与发送的码字进行纠错。此外,由于汉明码是完美的,如果出现多于一位的错误,则接收到的向量将是唯一可纠正的,但会纠正错误的码字。在本章中,我们将介绍一种称为乙CH是线性的并且可以被构造为多重纠错的代码。BCH 代码以其创建者 Bose、Chaudhuri 和 Hocquenghem 命名。

BCH 码与我们在第 3 章中介绍的码的一个不同之处在于 BCH 码字是多项式而不是向量。构建一个乙CH代码,我们从多项式开始F(X)=X米−1∈从2[X]对于一些正整数米. 然后R=从2[X]/(F(X))是一个可以用所有多项式表示的环从2[X]学位小于米. 认为G(X)∈从2[X]划分F(X). 然后是集C的所有倍数G(X)在从2[X]学位小于米是向量空间R有尺寸米−你⁡(G(X)). 因此,多项式在C是[米,米−你⁡(G(X))]线性码R和2米−你⁡(G(X))码字。多项式G(X)被称为代码的生成多项式,我们认为代码中的代码字具有长度米位置,因为我们将多项式码字中的每个项视为码字位置。一个码字C(X)∈从2[X]和米然后可以自然地将术语表示为唯一的向量从2米通过列出的系数C(X)为了(包括零系数)增加幂X. 在本章中,我们将假设乙CH码字以这种形式传输。

数学代写|matlab代写|Error Correction

正如我们在第 4.1 节中提到的,BCH 码的生成多项式以一种特殊的方式选择,因为它允许在生成的代码中纠正错误。在本节中,我们将介绍 BCH 码纠错方法。在这样做之前,我们首先注意以下定理。
定理 4.1 假设p(X)∈从2[X]是度的原始多项式n, 然后让C成为乙CH从第一个产生的代码s的权力一个=X在有限域中从2[X]/(p(X)). 然后C(X)∈从2[X]学位小于2n−1在C当且仅当C(一个一世)=0为了一世=1,2,…,s.

证明。让米一世(X)是的最小多项式一个一世在从2[X]对于每个一世=1,2,…,s, 然后让G(X)是最小公倍数从2[X]的米一世(X)为了一世=1,2,…,s. 如果C(X)∈C, 然后C(X)=G(X)⋅H(X)对于一些H(X)∈从2[X]. 因此,C(一个一世)=G(一个一世)⋅H(一个一世)=0⋅H(一个一世)=0为了一世=1,2,…,s. 相反,如果C(一个一世)=0为了一世=1,2,…,s, 然后米一世(X)划分C(X)为了一世=1,2,…,s. 因此,G(X)划分C(X), 和C(X)∈C.

我们现在将概述乙CH纠错方法。让p(X)∈从2[X]是度的原始多项式n, 然后让C成为乙CH代码

从第一个结果2吨的权力一个=X在有限域中从2[X]/(p(X)). 我们将在定理中展示4.2那C那么是吨-纠错。认为C(X)∈C被传输,我们收到多项式r(X)∈从2[X]学位小于2n−1. 然后r(X)=C(X)+和(X)对于一些错误多项式和(X)在从2[X]学位小于2n−1准确且仅包含其中的条款r(X)和C(X)不同。纠正r(X),我们必须只确定和(X), 因为我们可以计算C(X)=r(X)+和(X). 然而,定理4.1暗示r(一个一世)=和(一个一世)为了一世=1,2,…,2吨. 因此,通过知道r(X),我们也知道一些关于和(X). 我们将调用的值r(一个一世)为了一世=1,2,…,2吨的综合症r(X).

认为和(X)=X米1+X米2+⋯+X米p对于一些整数错误位置米1<米2<⋯<米p和p≤吨和米p<2n−1. 纠正r(X),我们必须只找到错误位置米1,米2,…,米p. 为此,我们首先计算r(X),我们将表示为s1=r(一个), s2=r(一个2),…,s2吨=r(一个2吨). 接下来,我们引入以下错误定位多项式和(和),之所以这样称呼,是因为它的根(此时未知)揭示了r(X).

数学代写|matlab代写|Construction

因为我们将使用的一些函数在 Maple LinearAlgebra 包中,我们将从包含这个包开始。另外,我们会输入如下界面命令,让 Maple 显示所有大小的矩阵200×200在本次 Maple 会议的剩余时间里更小。

with(LinearAlgebra):
接口(表大小=200):
我们现在将定义原始多项式p(X)=X4+X+1∈从2[X]用于构造代码。
>p:=X−>X∼4+X+1: >原始⁡(p(X))反对2;
接下来,我们将使用 Maple 度函数将底层有限域中的元素数分配为变量Fs, 并使用 Maple Vector 函数创建一个向量来存储字段元素。
然后我们可以使用以下命令来生成并存储向量场中的场元素。因为对于 BCH 代码,我们表示字段元素X经过一个,我们使用参数一个和p(一个)在以下 Powmod 命令中。
>对于 i 从 1 到 fs-1 做
>F一世和ld[一世]:=战俘⁡(一个,一世,p(一个),一个)模式 2:
>从:

$$

\text { field[fs] :=0: }
$$
我们可以通过输入以下命令查看向量字段中的条目。

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统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。

金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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