数学代写|matlab代写|Finite Fields

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  • Statistical Machine Learning 统计机器学习
  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|matlab代写|Finite Fields

数学代写|matlab代写|Finite Fields

Finite fields play an important role in several of the applications that we will present in this book. In this section, we will describe the theoretical basis of constructing finite fields.

It can easily be shown that the ring $\mathbb{Z}{p}={0,1,2, \ldots, p-1}$ for prime $p$ is a field with the usual operations of addition and multiplication modulo $p$ (i.e., divide the result by $p$ and take the remainder). This shows that there are finite fields of order $p$ for every prime $p$. In the following discussion, we show how the fields $\mathbb{Z}{p}$ can be used to construct finite fields of order $p^{n}$ for every prime $p$ and positive integer $n$.

Suppose $m$ is an irreducible element in a Euclidean domain $D$, and let $B=(m)$. Then by Theorem $1.13$, we know that $D / B$ must be a field. If $D$ is the ring $\mathbb{Z}$ of integers and $m>0$, then $m$ must be a prime $p$. Note that if we perform the addition and multiplication operations in $D / B$ without including $B$ in the notation, these operations will be exactly the addition and multiplication operations in $\mathbb{Z}{p}$. Thus, we can view $D / B$ as $\mathbb{Z}{p}$.

Now, suppose $D$ is the integral domain $\mathbb{Z}{p}[x]$ of polynomials over $\mathbb{Z}{p}$ for prime $p$, and let $B=(f(x))$ for some irreducible polynomial $f(x)$ of degree

$n$ in $D$. Then again by Theorem $1.13$, we know that $D / B$ must be a field. Each element in $D / B$ is a coset of the form $g(x)+B$ for some $g(x) \in \mathbb{Z}{p}[x]$. Since $\mathbb{Z}{p}[x]$ is a Euclidean domain, there exists $r(x) \in \mathbb{Z}{p}[x]$ for which $g(x)+B=r(x)+B$ with either $r(x)=0$ or $\operatorname{deg}(r(x)){p}[x]$ with either $r(x)=0$ or $\operatorname{deg}(r(x))<n$. Since a polynomial $r(x) \in \mathbb{Z}{p}[x]$ with either $r(x)=0$ or $\operatorname{deg}(r(x)){p}$ ), there are $p^{n}$ polynomials $r(x) \in \mathbb{Z}_{p}[x]$ with either $r(x)=0$ or $\operatorname{deg}(r(x))<n$. Thus, the field $D / B$ will contain $p^{n}$ distinct elements. The operations on this field are the usual operations of addition and multiplication modulo $f(x)$ (i.e., divide the result by $f(x)$ and take the remainder). For convenience, when we write elements and perform the addition and multiplication operations in $D / B$, we will not include $B$ in the notation. That is, we will express the elements $r(x)+B$ in $D / B$ as just $r(x)$. Because it is possible to find an irreducible polynomial of degree $n$ over $\mathbb{Z}_{p}$ for every prime $p$ and positive integer $n$, the comments in the preceding paragraph indicate that there are finite fields of order $p^{n}$ for every prime $p$ and positive integer $n$. It is also true that all finite fields have order $p^{n}$ for some prime $p$ and positive integer $n$ (see Theorem 1.14).

数学代写|matlab代写|Finite Fields with Maple

In this section, we will show how Maple can be used to construct the nonzero elements as powers of $x$ in a finite field $\mathbb{Z}{p}[x] /(f(x))$ for prime $p$ and primitive polynomial $f(x) \in \mathbb{Z}{p}[x]$. We will consider the field used in Examples $1.9$ and $1.10$.

We will begin by defining the polynomial $f(x)=x^{2}+x+2 \in \mathbb{Z}{3}[x]$ used to construct the field elements. $>f:=x \rightarrow x^{\wedge} 2+x+2 ;$ $$ f:=x \rightarrow x^{2}+x+2 $$ We can use the Maple Irreduc function as follows to verify that $f(x)$ is irreducible in $\mathbb{Z}{3}[x]$. The following command will return true if $f(x)$ is irreducible in $\mathbb{Z}{3}[x]$, and false otherwise. $>\operatorname{Irreduc}(\mathrm{f}(\mathrm{x})) \bmod 3 ;$ true Thus, $f(x)$ is irreducible in $\mathbb{Z}{3}[x]$, and $\mathbb{Z}{3}[x] /(f(x))$ is a field. However, in order for us to be able to construct all of the nonzero elements in this field as powers of $x$, it must be the case that $f(x)$ is also primitive. We can use the Maple Primitive function as follows to verify that $f(x)$ is primitive in $\mathbb{Z}{3}[x]$. The following command will return true if $f(x)$ is primitive in $\mathbb{Z}{3}[x]$, and false otherwise. $>\operatorname{Primitive}(\mathrm{f}(\mathrm{x})) \bmod 3 ;$ true Thus, $f(x)$ is primitive in $\mathbb{Z}{3}[x]$.
To construct the nonzero elements in $\mathbb{Z}{3}[x] /(f(x))$ as powers of $x$, we can use the Maple Powmod function. For example, the following command returns the field element that corresponds to $x^{6}$ in $\mathbb{Z}{3}[x] /(f(x))$.
$>\operatorname{Powmod}(\mathrm{x}, 6, \mathrm{f}(\mathrm{x}), \mathrm{x}) \bmod 3$;
$$
x+2
$$
The operation performed as a consequence of entering the preceding command is the polynomial $x$ given in the first parameter raised to the power 6 given in the second parameter, with the output displayed after the result is reduced modulo the third parameter $f(x)$ defined over the specified coefficient modulus 3 . The fourth parameter is the variable used in the first and third parameters.

We will now use a Maple for loop to construct and display the field elements that correspond to each of the first 8 powers of $x$ in $\mathbb{Z}{3}[x] /(f(x))$. Note that since $f(x)$ is primitive and $\mathbb{Z}{3}[x] /(f(x))$ only has a total of eight nonzero elements, this will cause each of the nonzero elements in $\mathbb{Z}_{3}[x] /(f(x))$ to be displayed exactly once. In the following commands, we store the results returned by Powmod for each of the first 8 powers of $x$ in the variable temp, and display these results using the Maple print function. Note where we use colons and semicolons in this loop, and note also that we use back quotes (“) in the print statement.

数学代写|matlab代写|Finite Fields with MATLAB

In this section, we will show how MATLAB can be used to construct the nonzero elements as powers of $x$ in a finite field $\mathbb{Z}{p}[x] /(f(x))$ for prime $p$ and primitive polynomial $f(x) \in \mathbb{Z}{p}[x]$. We will consider the field used in Examples $1.9$ and $1.10$.

We will begin by declaring the variable $x$ as symbolic, and defining the polynomial $f(x)=x^{2}+x+2 \in \mathbb{Z}_{3}[x]$ used to construct the field elements.
$>>$ syms $x$
$>y=Q(x) x^{\sim} 2+x+2$
$f=$
$Q(x) x^{\sim} 2+x+2$

To verify that $f(x)$ is irreducible in $\mathbb{Z}{3}[x]$, we will use the user-written function Irreduc, which we have written separately from this MATLAB session and saved as the M-file Irreduc.m. The following command illustrates how the function Irreduc can be used. The function will return TRUE if $f(x)$ is irreducible in $\mathbb{Z}{3}[x]$, and FALSE otherwise.
$>>\operatorname{Irreduc}(\mathrm{f}(\mathrm{x}), 3)$
ans $=$
TRUE
Thus, $f(x)$ is irreducible in $\mathbb{Z}{3}[x]$, and $\mathbb{Z}{3}[x] /(f(x))$ is a field. However, in order for us to be able to construct all of the nonzero elements in this field as powers of $x$, it must be the case that $f(x)$ is also primitive. To verify that $f(x)$ is primitive in $\mathbb{Z}{3}[x]$, we will use the user-written function Primitive, which we have written separately from this MATLAB session and saved as the M-file Primitive.m. The following command will return TRUE if $f(x)$ is primitive in $\widetilde{Z}{3}[x]$, and FALSE otherwise.
$>$ Primitive $(f(x), 3)$
ans =
TRUE
Thus, $f(x)$ is primitive in $\mathbb{Z}{3}[x]$. To construct the nonzero elements in $\mathbb{Z}{3}[x] /(f(x))$ as powers of $x$, we will use the user-written function Powmod, which we have written separately from this MATLAB session and saved as the M-file Powmod.m. For example, the following command returns the field element that corresponds to $x^{6}$ in $\mathbb{Z}_{3}[x] /(f(x))$.
$$

\operatorname{Powmod}(\mathrm{x}, 6, \mathrm{f}(\mathrm{x}), \mathrm{x}, 3)
$$
$$
\text { ans }=
$$
$$
x+2
$$

数学代写|matlab代写|Finite Fields

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数学代写|matlab代写|Finite Fields

有限域在我们将在本书中介绍的几个应用程序中发挥着重要作用。在本节中,我们将描述构造有限域的理论基础。

很容易证明环从p=0,1,2,…,p−1为素数p是一个具有加法和乘法模数的常用运算的域p(即,将结果除以p并取余)。这表明存在有限的有序域p对于每个素数p. 在下面的讨论中,我们展示了字段如何从p可用于构造有限的有序域pn对于每个素数p和正整数n.

认为米是欧几里得域中的不可约元素D, 然后让乙=(米). 然后由定理1.13, 我们知道D/乙必须是一个字段。如果D是戒指从整数和米>0, 然后米必须是素数p. 请注意,如果我们执行加法和乘法运算D/乙不包括乙在符号中,这些操作将完全是加法和乘法运算从p. 因此,我们可以查看D/乙作为从p.

现在,假设D是积分域从p[X]多项式超过从p为素数p, 然后让乙=(F(X))对于一些不可约多项式F(X)学位

n在D. 然后再由定理1.13, 我们知道D/乙必须是一个字段。中的每个元素D/乙是形式的陪集G(X)+乙对于一些G(X)∈从p[X]. 自从从p[X]是欧几里得域,存在r(X)∈从p[X]为此G(X)+乙=r(X)+乙与r(X)=0或者你⁡(r(X))p[X]与r(X)=0或者你⁡(r(X))<n. 由于多项式r(X)∈从p[X]与r(X)=0或者你⁡(r(X))p), 有pn多项式r(X)∈从p[X]与r(X)=0或者你⁡(r(X))<n. 因此,场D/乙将包含pn不同的元素。该字段的运算是加法和乘法模的常用运算F(X)(即,将结果除以F(X)并取余)。为方便起见,当我们写元素并执行加法和乘法运算时D/乙, 我们不会包括乙在符号中。也就是说,我们将表达元素r(X)+乙在D/乙就像r(X). 因为有可能找到一个不可约的次数多项式n超过从p对于每个素数p和正整数n,上一段中的注释表明存在有限的序域pn对于每个素数p和正整数n. 所有有限域都有顺序也是真的pn对于一些素数p和正整数n(见定理 1.14)。

数学代写|matlab代写|Finite Fields with Maple

在本节中,我们将展示如何使用 Maple 将非零元素构造为X在有限域中从p[X]/(F(X))为素数p和原始多项式F(X)∈从p[X]. 我们将考虑示例中使用的字段1.9和1.10.

我们将从定义多项式开始F(X)=X2+X+2∈从3[X]用于构造字段元素。>F:=X→X∧2+X+2;

F:=X→X2+X+2我们可以使用 Maple Irreduc 函数如下验证F(X)是不可约的从3[X]. 以下命令将返回 true 如果F(X)是不可约的从3[X],否则为假。>艾瑞杜克⁡(F(X))反对3;因此,F(X)是不可约的从3[X], 和从3[X]/(F(X))是一个字段。然而,为了让我们能够将这个领域中的所有非零元素构造为X, 一定是这样的F(X)也是原始的。我们可以使用 Maple Primitive 函数如下验证F(X)是原始的从3[X]. 以下命令将返回 true 如果F(X)是原始的从3[X],否则为假。>原始⁡(F(X))反对3;因此,F(X)是原始的从3[X].
构造非零元素从3[X]/(F(X))作为权力X,我们可以使用 Maple Powmod 函数。例如,以下命令返回对应于的字段元素X6在从3[X]/(F(X)).
>战俘⁡(X,6,F(X),X)反对3;

X+2
输入上述命令后执行的操作是多项式X在第一个参数中给出的第二个参数中给出的 6 次方,在结果以第三个参数为模后减少后显示的输出F(X)在指定系数模 3 上定义。第四个参数是第一个和第三个参数中使用的变量。

我们现在将使用 Maple for 循环来构造和显示与前 8 个幂中的每一个对应的字段元素X在从3[X]/(F(X)). 请注意,由于F(X)是原始的并且从3[X]/(F(X))总共只有八个非零元素,这将导致每个非零元素从3[X]/(F(X))只显示一次。在以下命令中,我们存储 Powmod 为前 8 个幂中的每一个返回的结果X在变量 temp 中,并使用 Maple 打印功能显示这些结果。请注意我们在此循环中使用冒号和分号的位置,还要注意我们在 print 语句中使用反引号 (“)。

数学代写|matlab代写|Finite Fields with MATLAB

在本节中,我们将展示如何使用 MATLAB 将非零元素构造为X在有限域中从p[X]/(F(X))为素数p和原始多项式F(X)∈从p[X]. 我们将考虑示例中使用的字段1.9和1.10.

我们将从声明变量开始X作为符号,并定义多项式F(X)=X2+X+2∈从3[X]用于构造字段元素。
>>符号X
>是=问(X)X∼2+X+2
F=
问(X)X∼2+X+2

为了验证F(X)是不可约的从3[X],我们将使用用户编写的函数 Irreduc,该函数是与该 MATLAB 会话分开编写的,并保存为 M 文件 Irreduc.m。以下命令说明了如何使用函数 Irreduc。该函数将返回 TRUE 如果F(X)是不可约的从3[X],否则为 FALSE。
>>艾瑞杜克⁡(F(X),3)
年=
TRUE
因此,F(X)是不可约的从3[X], 和从3[X]/(F(X))是一个字段。然而,为了让我们能够将这个领域中的所有非零元素构造为X, 一定是这样的F(X)也是原始的。为了验证F(X)是原始的从3[X],我们将使用用户编写的函数 Primitive,该函数是我们与此 MATLAB 会话分开编写的,并保存为 M 文件 Primitive.m。如果以下命令将返回 TRUEF(X)是原始的从~3[X],否则为 FALSE。
>原始(F(X),3)
ans =
TRUE
因此,F(X)是原始的从3[X]. 构造非零元素从3[X]/(F(X))作为权力X,我们将使用用户编写的函数 Powmod,该函数已与该 MATLAB 会话分开编写并保存为 M 文件 Powmod.m。例如,以下命令返回对应于的字段元素X6在从3[X]/(F(X)).
$$

\operatorname Powmod} (\mathrm {x}, 6, \ mathrm {f} (\mathrm {x}), \ mathrm {x}, 3)
\文本{答案}=x+2$$

数学代写|matlab代写 请认准statistics-lab™

统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。

金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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