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代数几何是数学的一个分支，经典地研究多变量多项式的零点。现代代数几何的基础是使用抽象代数技术，主要来自换元代数，以解决有关这些零点集的几何问题。

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数学代考|代数几何代写algebraic geometry代考|Divisibility of Polynomials

We begin with some very basic facts about divisibility.
4.1.1 Proposition (Chinese Remainder Theorem) Let $I_{1}, \ldots, I_{n}$ be ideals in a commutative ring $R$ such that $1 \in I_{i}+I_{j}$ for all $i \neq j$. Then $I_{1} \cap \cdots \cap I_{n}=I_{1} \cdots \cdots I_{n}$ (the product of ideals is the ideal generated by $x_{1} \cdots x_{n}$ with $\left.x_{i} \in I_{i}\right)$ and the product of

projections
$$
R /\left(I_{1} \cap \cdots \cap I_{n}\right) \rightarrow \prod_{i=1}^{n} R / I_{i}
$$
is an isomorphism.
Proof It suffices to consider the case $n=2$ (then we can use induction). For $n=2$, we always have $I_{1} I_{2} \subseteq I_{1} \cap I_{2}$. To show the opposite inequality, let $1=a_{1}+a_{2}$ where $a_{i} \in I_{i}$. Then for $x \in I_{1} \cap I_{2}, x=x a_{1}+x a_{2} \in I_{1} I_{2}$. Now (4.1.1) is always injective since an element goes to 0 on the right hand side if and only if it is in every $I_{i}$. To show surjectivity for $n=2$, choosing $x_{1}, x_{2} \in R$, the element $x_{1} a_{2}+x_{2} a_{1}$ is congruent to $x_{i}$ modulo $I_{i}$ for $i=1,2$, which proves surjectivity.

An element $u \in R$ of a commutative ring is called a unit if there exists another element $u^{-1} \in R$ such that $u u^{-1}=1$. Let $R$ be an integral domain. An irreducible element is an element $x \in R$ which is not zero or a unit such that $y z=x$ implies that one of the elements $y, z$ is a unit. An integral domain $R$ is called a unique factorization domain (or UFD) if every element $x \in R$ which is not 0 or a unit factors uniquely into irreducible elements up to order and multiplication by units, i.e.
$$
x=x_{1} \ldots x_{n}
$$
where $x_{i}$ are irreducible, and whenever
$$
x=y_{1} \ldots y_{m}
$$
where $y_{i}$ are irreducible, we have $m=n$ and there exists a permutation $\sigma$ and units $u_{i}$ such that
$$
x_{i}=u_{i} y_{\sigma(i)}
$$
In a UFD, any set of elements $S$ has a greatest common divisor (GCD) which is an element $x$ dividing all elements of $S$ such that every other elements dividing all elements of $S$ divides $x$. The GCD is, of course, uniquely determined up to multiplication by a unit.
A particular type of example of a UFD is a principal ideal domain (or PID) which means an integral domain whose every ideal is principal (i.e. generated by a single element). In particular, then $R$ is Noetherian, which guarantees that a decomposition into irreducible elements exists. Then the principal ideal property guarantees that an irreducible element $a$ generates a prime ideal: if $x y \in(a)$ and $x \notin(a)$, then $(x, a)=(b)$ for some element $b$, but $b$ has to be a unit by irreducibility. Thus, $y \in(y x, y a) \subseteq(a)$.

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We shall now prove that rings of polynomials over a Noetherian ring are Noetherian. In the special case of multivariable polynomials over a field, we can be a lot more explicit, with computational applications.
4.2.1 Theorem (Hilbert Basis Theorem) If a ring $R$ is a Noetherian, then so is the ring of polynomials $R[x]$.

COMMENT In this context, the term “basis” refers to a set of generators of an ideal, no linear independence is implied.

Proof Assume $R$ is Noetherian. Let $I \subseteq R[x]$ be an ideal. Then the top coefficients (i.e. coefficients of the highest power of $x$ ) of all the polynomials $f \in I$ form an ideal $J \subseteq R$ (since two nonzero polynomials of unequal degrees can be brought to the same degree by multiplying the polynomial of lesser degree by a power of $x$ ). By assumption, then, the ideal $J$ is generated by the top coefficients of some polynomials $f_{1}, \ldots, f_{n} \in I$.

Let $d$ be the maximum of the degrees of the polynomials $f_{1}, \ldots, f_{n}$. Then by construction, for any polynomial $g \in I$ of degree $\geq d$, there exist $a_{1}, \ldots a_{n} \in R$, $m_{1} \ldots, m_{n} \in \mathbb{N}{0}$ such the top coefficients of $g(x)$ and $a{1} f_{1}(x) x^{m_{1}}+\ldots a_{n} f_{n}(x) x^{m_{n}}$ coincide. By induction, then, there exists an $R[x]$-linear combination $g_{0}$ of the polynomials $f_{1}, \ldots, f_{n}$ such that $g(x)-g_{0}(x)$ is either 0 or is of degree $<d$.

Now consider for each fixed $i \in \mathbb{N}{0}$ the ideal $J{i} \subseteq R$ of all the top coefficients of all polynomials in $I$ of degree $i$. Then each of these ideals $J_{i}$ is finitely generated, so by taking finitely many polynomials $h_{1}, \ldots, h_{\ell}$ in $I$ of degrees $i=0, \ldots, d-1$ whose top coefficients are the generators of all the $J_{i}$ ‘s, $0 \leq i<d$, we see that every polynomial in $I$ of degree $<d$ is an $R$-linear combination of $h_{1}, \ldots, h_{\ell}$. Thus, we are done.

Next, we shall discuss the ring $k\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right]$ of polynomials in $n$ variables over a field $k$. Even though this ring is not a Euclidean domain for $n>1$ (because it is not a PIDthink, for example, of the ideal $\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ ) there is a certain analog of the long division algorithm which allows us decide, for example, whether a polynomial is an element of a given ideal, or whether two ideals are the same.

By a monomial, we shall mean an expression of the form $x_{1}^{m_{1}} \ldots x_{n}^{m_{n}}$, i.e. equivalently, the $n$-tuple $a=\left(m_{1}, \ldots, m_{n}\right) \in \mathbb{N}{0}^{n}$, which are sometimes referred to as multidegrees. For what follows, we need to fix a monomial order. This means a total ordering $\geq$ on $n$-tuples of non-negative integers (i.e. for any two $n$-tuples $a, b$ we have $a \geq b$ or $b \geq a$ ) which satisfies the descending chain condition (or DCC), i.e. any sequence $a{1} \geq a_{2} \geq \ldots$ is eventually constant. A totally ordered set satisfying the DCC is also sometimes called well ordered. In addition, we require that for multidegrees $a, b$, $c$, if $a \geq b$, then $a+c \geq b+c$.
Note that this implies that the multidegree $(0, \ldots, 0)$ is the smallest (since otherwise, the DCC would be violated). This implies that when $m_{i} \leq p_{i}$ for all $i=1, \ldots n$, then $\left(m_{1}, \ldots, m_{n}\right) \leq\left(p_{1}, \ldots, p_{n}\right)$

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4.3.2 Proposition Suppose $k$ is an algebraically closed field. Then every maximal ideal $I \subset k\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right]$ is of the form
$$
\left(x_{1}-a_{1}, \ldots, x_{n}-a_{n}\right)
$$
for some $a_{1}, \ldots, a_{n} \in k$.
Proof We will show that any ideal $I \subseteq k\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right]$ is contained in an ideal of the form (4.3.1). This is proved by induction on $n$. Suppose the statement is true with $n \geq 1$ replaced by any lower number. (For $n=1$, the assumption is vacuous.) Then there are two possibilities:

Case 1: The ideal $J=I \cap k\left[x_{n}\right]$ in $k\left[x_{n}\right]$ is non-zero. Then, since $k\left[x_{n}\right]$ is a PID, $J=$ $(f)$ is a principal ideal, and since $k$ is algebraically closed, $f$ factors into powers of linear factors $\left(x_{n}-b_{i}\right)^{\ell_{i}}, i=1, \ldots, m$. By the Chinese Remainder Theorem, $k\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right] / I$ is isomorphic to the product of the rings $k\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right] /\left(I+\left(x_{n}-b_{i}\right)^{\ell_{i}}\right)$. Then, for some $i$, $I+\left(x_{n}-b_{i}\right)^{\ell_{i}} \neq(1)$, but this implies $I+\left(x_{n}-b_{n}\right) \neq(1)$ (since an ideal whose radical is (1) is itself (1)). Therefore, we can pass to the ring $k\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right] /\left(x_{n}-b_{i}\right) \cong k\left[x_{1}, \ldots, x_{n-1}\right]$ and use the induction hypothesis.

Case $2: I \cap k\left[x_{n}\right]=(0)$. Therefore, if we set $R=k\left(x_{n}\right)\left[x_{1}, \ldots, x_{n-1}\right]$ (recall that $k(x)$ denotes the field of rational functions in $k$ in one variable), then $I, R \neq R$. Now we can apply the induction hypothesis to the ring of polynomials $\bar{R}=\overline{k\left(x_{n}\right)}\left[x_{1}, \ldots, x_{n-1}\right]$ where $\overline{k\left(x_{n}\right)}$ denotes the algebraic closure of $k\left(x_{n}\right)$. Thus, the ideal $I \cdot \bar{R}$ is contained in an ideal of the form $\left(x_{1}-b_{1}, \ldots, x_{n-1}-b_{n-1}\right)$ for $b_{i} \in \overline{k\left(x_{n}\right)}$. Thus, each $b_{i}$ is the root of a polynomial with coefficients in $k\left(x_{n}\right)$. Now since $k$ is algebraically closed, all of the coefficient polynomials factor into linear factors, and there are only finitely many values of $x_{n} \in k$ for which either the denominator or numerator of any of the coefficient polynomials is 0 . Since $k$ is algebraically closed, it is infinite, and we can choose an element $a_{n} \in k$ which is different from any of those values. Plugging in $x_{n}=a_{n}$, all the expressions for $b_{i}$ give meaningful formulas for elements $a_{i} \in k$. Then, the ideal $I$ is contained in (4.3.1).

代数几何代写

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我们从一些关于可分性的非常基本的事实开始。
4.1.1 命题（中国剩余定理）让一世1,…,一世n是交换环中的理想R这样1∈一世一世+一世j对全部一世≠j. 然后一世1∩⋯∩一世n=一世1⋯⋯一世n（理想的乘积是由X1⋯Xn和X一世∈一世一世)和产品

预测
R/(一世1∩⋯∩一世n)→∏一世=1nR/一世一世
是同构。
证明 考虑案例就足够了n=2（那么我们可以使用归纳法）。为了n=2，我们总是有一世1一世2⊆一世1∩一世2. 为了显示相反的不等式，让1=一种1+一种2在哪里一种一世∈一世一世. 那么对于X∈一世1∩一世2,X=X一种1+X一种2∈一世1一世2. 现在 (4.1.1) 总是单射的，因为当且仅当它在每个一世一世. 为了显示n=2, 选择X1,X2∈R, 元素X1一种2+X2一种1是一致的X一世模块一世一世为了一世=1,2，这证明了完全性。

一个元素在∈R如果存在另一个元素，则将交换环称为一个单元在−1∈R这样在在−1=1. 让R是一个完整的域。不可约元素是元素X∈R它不是零或一个单位，使得是和=X意味着其中一个元素是,和是一个单位。积分域R如果每个元素都称为唯一分解域（或 UFD）X∈R它不是 0 或一个单位，它唯一地分解为不可约元素，直到按单位进行排序和乘法，即
X=X1…Xn
在哪里X一世是不可约的，并且无论何时
X=是1…是米
在哪里是一世是不可约的，我们有米=n并且存在一个排列σ和单位在一世这样
X一世=在一世是σ(一世)
在 UFD 中，任何一组元素小号有一个最大公约数 (GCD)，它是一个元素X划分所有元素小号使得所有其他元素划分的所有元素小号划分X. 当然，GCD 唯一地确定为乘以一个单位。
UFD 的一个特定类型的示例是主理想域（或 PID），这意味着一个积分域，其每个理想都是主域（即由单个元素生成）。特别是，那么R是 Noetherian，它保证存在分解成不可约元素。那么主理想性质保证一个不可约元素一种产生一个素理想：如果X是∈(一种)和X∉(一种)， 然后(X,一种)=(b)对于某些元素b， 但b必须是不可约的单位。因此，是∈(是X,是一种)⊆(一种).

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我们现在将证明诺特环上的多项式环是诺特环。在域上的多元多项式的特殊情况下，我们可以更明确地进行计算应用。
4.2.1 定理（希尔伯特基定理）如果环R是 Noetherian，那么多项式环也是R[X].

评论 在这种情况下，术语“基础”是指一组理想的生成器，不暗示线性独立。

证明假设R是诺特式的。让一世⊆R[X]成为一个理想。然后是顶部系数（即最高功率的系数X) 的所有多项式F∈一世形成理想Ĵ⊆R（因为两个不等次数的非零多项式可以通过将较小次数的多项式乘以X）。假设，那么，理想Ĵ由一些多项式的最高系数生成F1,…,Fn∈一世.

让d是多项式次数的最大值F1,…,Fn. 然后通过构造，对于任何多项式G∈一世学位≥d， 存在一种1,…一种n∈R, 米1…,米n∈ñ0这样的最高系数G(X)和一种1F1(X)X米1+…一种nFn(X)X米n重合。那么，通过归纳，存在一个R[X]- 线性组合G0多项式的F1,…,Fn这样G(X)−G0(X)是 0 或者是度数<d.

现在考虑每个固定的一世∈ñ0理想Ĵ一世⊆R中所有多项式的所有最高系数一世学位一世. 那么这些理想中的每一个Ĵ一世是有限生成的，因此通过取有限多个多项式H1,…,Hℓ在一世度数一世=0,…,d−1其顶部系数是所有Ĵ一世的，0≤一世<d，我们看到每个多项式一世学位<d是一个R-线性组合H1,…,Hℓ. 这样，我们就完成了。

接下来，我们将讨论环ķ[X1,…,Xn]多项式在n字段上的变量ķ. 即使这个环不是欧几里得域n>1（例如，因为它不是理想的 PIDthink(X1,…,Xn)) 有某种类似的长除法算法允许我们决定，例如，多项式是否是给定理想的元素，或者两个理想是否相同。

通过单项式，我们将意味着以下形式的表达式X1米1…Xn米n，即等效地，n-元组一种=(米1,…,米n)∈ñ0n，有时称为多度。对于接下来的内容，我们需要确定一个单项式顺序。这意味着总排序≥在n- 非负整数元组（即任意两个n-元组一种,b我们有一种≥b或者b≥一种) 满足降链条件（或 DCC），即任意序列一种1≥一种2≥…最终是恒定的。满足 DCC 的全序集有时也称为良序集。此外，我们要求对于多度一种,b, C， 如果一种≥b， 然后一种+C≥b+C.
请注意，这意味着多度(0,…,0)是最小的（否则会违反 DCC）。这意味着当米一世≤p一世对全部一世=1,…n， 然后(米1,…,米n)≤(p1,…,pn)

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4.3.2 命题假设ķ是代数闭域。那么每个极大理想一世⊂ķ[X1,…,Xn]是形式
(X1−一种1,…,Xn−一种n)
对于一些一种1,…,一种n∈ķ.
证明 我们将证明任何理想一世⊆ķ[X1,…,Xn]包含在 (4.3.1) 形式的理想中。这通过归纳证明n. 假设陈述为真n≥1替换为任何较低的数字。（为了n=1，假设是空洞的。）那么有两种可能性：

案例一：理想Ĵ=一世∩ķ[Xn]在ķ[Xn]非零。那么，由于ķ[Xn]是一个PID，Ĵ= (F)是一个主要理想，并且由于ķ是代数闭的，F因子成线性因子的幂(Xn−b一世)ℓ一世,一世=1,…,米. 根据中国剩余定理，ķ[X1,…,Xn]/一世与环的乘积同构ķ[X1,…,Xn]/(一世+(Xn−b一世)ℓ一世). 那么，对于一些一世, 一世+(Xn−b一世)ℓ一世≠(1), 但这意味着一世+(Xn−bn)≠(1)（因为根为（1）的理想本身就是（1））。因此，我们可以传递给环ķ[X1,…,Xn]/(Xn−b一世)≅ķ[X1,…,Xn−1]并使用归纳假设。

案子2:一世∩ķ[Xn]=(0). 因此，如果我们设置R=ķ(Xn)[X1,…,Xn−1]（回想起那个ķ(X)表示有理函数的域ķ在一个变量中），然后一世,R≠R. 现在我们可以将归纳假设应用于多项式环R¯=ķ(Xn)¯[X1,…,Xn−1]在哪里ķ(Xn)¯表示的代数闭包ķ(Xn). 因此，理想一世⋅R¯包含在形式的理想中(X1−b1,…,Xn−1−bn−1)为了b一世∈ķ(Xn)¯. 因此，每个b一世是一个多项式的根，其系数为ķ(Xn). 现在自从ķ是代数闭的，所有的系数多项式分解为线性因子，并且只有有限多个Xn∈ķ任何系数多项式的分母或分子都是 0 。自从ķ是代数封闭的，它是无限的，我们可以选择一个元素一种n∈ķ这与任何这些值都不同。插入Xn=一种n, 的所有表达式b一世给出有意义的元素公式一种一世∈ķ. 那么，理想一世包含在 (4.3.1) 中。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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