数学代考|代数几何代写algebraic geometry代考|Categories, and the Category of Algebraic Varieties

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代数几何是数学的一个分支,经典地研究多变量多项式的零点。现代代数几何的基础是使用抽象代数技术,主要来自换元代数,以解决有关这些零点集的几何问题。

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PDF] Meanings, Metaphors, and Morphisms: Theory of Indeterminate Natural  Transformation (TINT) | Semantic Scholar
数学代考|代数几何代写algebraic geometry代考|Categories, and the Category of Algebraic Varieties

数学代考|代数几何代写algebraic geometry代考|The Definition of a Category, and an Example: The Category of Sets

In a category $C$, we have a class of objects $\operatorname{Obj}(C)$ and a class of morphisms $\operatorname{Mor}(C)$, satisfying certain axioms.

Explaining the need to distinguish between sets and classes takes us on a brief detour into set theory. It comes from the fact that the naive interpretation of the notation
$$
{X \mid \ldots}
$$
as “the set of all sets $X$ such that …” leads to a contradiction in
$$
{X \mid X \notin X}
$$
where neither $X \in X$ nor $X \notin X$ are possible; because of that, we distinguish between sets and classes and interpret (2.1.1) as “the class of all sets $X$ such that …,” and define a set as a class which is an element of another class. Otherwise, it is called a proper class. Note that then (2.1.2) is just an example of a proper class; in fact, it is the class of all sets.
The axioms of a category say that $\operatorname{Obj}(C)$ and $\operatorname{Mor}(C)$ satisfy all the formal properties of the most basic example: the category Sets whose objects are sets and morphisms are mappings of sets. Thus, we have two mappings
$$
S, T: \operatorname{Mor}(C) \rightarrow \operatorname{Obj}(C)
$$
(called source and target, which in the category of sets are the domain and codomain of a mapping). A morphism $f \in \operatorname{Mor}(C)$ with $S(f)=X, T(f)=Y$ (where $X, Y$ are objects) is called a morphism from $X$ to $Y$, and denoted by
$$
f: X \rightarrow Y
$$
or
$$
X \stackrel{f}{\longrightarrow} Y
$$
same as for mappings of sets. We have a mapping $\operatorname{Obj}(C) \rightarrow \operatorname{Mor}(C)$ called the identity morphism
$$
I d_{X}: X \rightarrow X
$$
Also like for mappings, the structure of a category specifies, for two morphisms
$$
f: X \rightarrow Y, g: Y \rightarrow Z,
$$
the composition
$$
g \circ f: X \rightarrow Z
$$

(note the reversal of order of $f$ and $g$, motivated by mappings: when we apply mappings to an element, we write $g \circ f(x)=g(f(x))$, even though we apply $f$ first).

Morphisms, however, may not always be mappings, (although in the category Sets, and many other examples, they are), and so they cannot be, in the context of pure category theory, applied to elements. So instead, we must define a category by axioms. These axioms are simple: they say that the source and target of $I d_{X}$ are equal to $X$, and that the composition of morphisms is associative
$$
(h \circ g) \circ f=h \circ(g \circ f)
$$
(when applicable) and unital, i.e. for $f: X \rightarrow Y$,
$$
I d_{Y} \circ f=f \circ I d_{X}=f
$$
Lastly, we require that the class $C(X, Y)$ of all morphisms $f: X \rightarrow Y$ be a set. We call the category $C$ small if the class $O b j(C)$ is a set. (Then necessarily also $M o r(C)$ is a set.)
To see that morphisms do not always have to be mappings, note that to every category $C$, there is the opposite (sometimes also called dual) category $C^{O p}$ which “turns around the arrows”: $O b j\left(C^{O p}\right)=\operatorname{Obj}(C), \operatorname{Mor}\left(C^{O p}\right)=\operatorname{Mor}(C)$ and $I d$ is $C$ and $C^{O p}$ are the same, but $S$ in $C^{O p}$ is $T$ in $C$ and vice versa, and composition of morphisms $\alpha \circ \beta$ in $C^{O p}$ is $\beta \circ \alpha$ in $C$.

数学代考|代数几何代写algebraic geometry代考|Categories of Algebraic Structures

One purpose of categories is to be able to discuss, and relate, mathematical structures of the same kind. For example, all sets, all groups, all abelian groups, all rings, all topological spaces, all algebraic varieties. (Recall that a group has one operation which is associative, unital and has an inverse; an abelian group is a group which is also commutative.) So we want a category whose objects are the given structures, i.e. the category of groups, rings, etc. But what should the morphisms be?

Of course, we may be able to define the morphisms in a fairly arbitrary way, as long as they satisfy the axioms of a category, which we learned in Sect. 2.1.1. For example, we could define the only morphisms to be identities, but that would not be very useful for understanding the given mathematical structure. This is why, usually, there is a standard choice of morphisms of mathematical structures of a given kind, which are, vaguely speaking, mappings which preserve the given structure. Making this precise requires different techniques in different cases.

The case which is the easiest to handle are categories of algebraic structures. An algebraic structure comes with operations (example: addition or multiplication). In this case, the default choice of morphisms are homomorphisms of the given algebraic structures, which means mappings which preserve the operations.

For example, a homomorphism of groups $f: G \rightarrow H$, written multiplicatively, is required to satisfy
$$
f(x \cdot y)=f(x) \cdot f(y)
$$
(Philosophically, the unit and inverse are also operations, so we should include $f(1)=1$ and $f\left(x^{-1}\right)=(f(x))^{-1}$, but in the case of groups, it follows from the axioms.) The category of groups and homomorphisms is denoted by Grp, the category of abelian groups and homomorphisms is denoted by $A b$.
Analogously, a homomorphism of rings satisfies
$$
f(x+y)=f(x)+f(y)
$$
and
$$
f(x y)=f(x) f(y)
$$
A non-zero ring is not a group with respect to multiplication (because one cannot divide by 0 ), so we must also require
$$
f(1)=1,
$$
since it does not follow automatically.
One must be careful not to confuse a homomorphism of rings with a homomorphism of $R$-modules over a fixed ring $R$. (Recall that a module over a commutative ring $R$ is an abelian group $M$ with an operation of taking multiples by elements $r \in R$ which satisfies distributivity from both sides, unitality and associativity; an example of an $R$-module is $R$ itself or more generally an ideal of $R$, which is the same thing as a submodule of the $R$-module $R$.)
Thus, a homomorphism $f: M \rightarrow N$ of $R$-modules satisfies
$$
\begin{aligned}
&f(x+y)=f(x)+f(y) \
&f(r x)=r f(x) \text { for } r \in R
\end{aligned}
$$
Sometimes, the same algebraic object may be used for two different purposes. For example, as already remarked, a ring $R$ is a module over itself. In such cases, we must be careful to specify which category we are working in.

数学代考|代数几何代写algebraic geometry代考|Functors and Natural Transformations

Let $C, D$ be categories. A functor $F: C \rightarrow D$ consists of maps $F=O b j(F)$ : $\operatorname{Obj}(C) \rightarrow \operatorname{Obj}(D), F=\operatorname{Mor}(F): \operatorname{Mor}(C) \rightarrow \operatorname{Mor}(D)$ which preserves identity, source, target and composition: For $X \in O b j(C), f, g \in \operatorname{Mor}(C)$,
$$
\begin{gathered}
F\left(I d_{X}\right)=I d_{F(X)}, \
F(S(f))=S(F(f)), \
F(T(f))=T(F(f)), \
F(g \circ f)=F(g) \circ F(f) .
\end{gathered}
$$
when applicable.
A natural transformation $\eta: F \rightarrow G$ is a collection of morphisms
$$
\eta_{X}: F(X) \rightarrow G(X), X \in O b j(C),
$$
such that for every morphism $f: X \rightarrow Y$ in $C$, we have a commutative diagram:
Commutativity means that the two compositions of arrows (i.e. morphisms) indicated in the diagram are equal.

An equivalence of categories $C, D$ is a pair of functors $F: C \rightarrow D$ and $G: D \rightarrow C$ and natural isomorphisms (i.e. natural transformations which have inverses)
$$
\begin{aligned}
&F \circ G \cong I d_{D}, \
&G \circ F \cong I d_{C} .
\end{aligned}
$$

Fun with Functors. In our last post we provided some… | by Marco Perone |  Statebox
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代数几何代写

数学代考|代数几何代写algebraic geometry代考|The Definition of a Category, and an Example: The Category of Sets

在一个类别中C,我们有一类对象对象⁡(C)和一类态射铁道部⁡(C),满足某些公理。

解释区分集合和类的必要性使我们绕道而入了集合论。它来自这样一个事实,即对符号的天真解释
X∣…
作为“所有集合的集合X这样……”导致矛盾
X∣X∉X
哪里都没有X∈X也不X∉X是可能的;因此,我们区分集合和类,并将(2.1.1)解释为“所有集合的类X这样……,”并将集合定义为一个类,该类是另一个类的元素。否则,它被称为适当的类。注意 then (2.1.2) 只是一个适当的类的例子;事实上,它是所有集合的类。
范畴的公理说对象⁡(C)和铁道部⁡(C)满足最基本示例的所有形式属性:对象是集合的范畴集合,态射是集合的映射。因此,我们有两个映射
小号,吨:铁道部⁡(C)→对象⁡(C)
(称为源和目标,在集合的类别中是映射的域和共域)。态射F∈铁道部⁡(C)和小号(F)=X,吨(F)=是(在哪里X,是是对象)称为态射X到是,并表示为
F:X→是
或者
X⟶F是
与集合的映射相同。我们有一个映射对象⁡(C)→铁道部⁡(C)称为恒等态射
一世dX:X→X
也像映射一样,类别的结构为两个态射指定
F:X→是,G:是→从,
组成
G∘F:X→从

(注意顺序颠倒F和G,由映射驱动:当我们将映射应用到一个元素时,我们写G∘F(X)=G(F(X)), 即使我们申请F第一的)。

然而,态射可能并不总是映射,(尽管在集合范畴和许多其他例子中,它们是映射),因此在纯范畴论的背景下,它们不能应用于元素。因此,我们必须通过公理定义一个类别。这些公理很简单:他们说一世dX等于X,并且态射的组合是结合的
(H∘G)∘F=H∘(G∘F)
(如适用)和单位,即F:X→是,
一世d是∘F=F∘一世dX=F
最后,我们要求类C(X,是)所有态射的F:X→是成为一个集合。我们称类别C如果班级很小这bj(C)是一个集合。(那么必然也米这r(C)是一个集合。)
要看到态射并不总是必须是映射,请注意对于每个类别C,有相反的(有时也称为对偶)类别C这p它“绕着箭头转”:这bj(C这p)=对象⁡(C),铁道部⁡(C这p)=铁道部⁡(C)和一世d是C和C这p是一样的,但是小号在C这p是吨在C反之亦然,以及态射的组合一种∘b在C这p是b∘一种在C.

数学代考|代数几何代写algebraic geometry代考|Categories of Algebraic Structures

类别的一个目的是能够讨论和关联相同类型的数学结构。例如,所有集合、所有群、所有阿贝尔群、所有环、所有拓扑空间、所有代数簇。(回想一下,一个群有一个结合的、统一的和有逆的操作;一个阿贝尔群是一个也是可交换的群。)所以我们想要一个其对象是给定结构的范畴,即群的范畴、环、等等。但是态射应该是什么?

当然,我们可以以相当任意的方式定义态射,只要它们满足我们在 Sect. 2.1.1。例如,我们可以将唯一的态射定义为恒等式,但这对于理解给定的数学结构并不是很有用。这就是为什么通常存在给定类型数学结构的态射的标准选择,模糊地说,这些态射是保留给定结构的映射。在不同的情况下,要做到这一点需要不同的技术。

最容易处理的情况是代数结构的类别。代数结构带有运算(例如:加法或乘法)。在这种情况下,态射的默认选择是给定代数结构的同态,这意味着保留操作的映射。

例如,群的同态F:G→H,写成乘法,需要满足
F(X⋅是)=F(X)⋅F(是)
(从哲学上讲,单位和逆也是运算,所以我们应该包括F(1)=1和F(X−1)=(F(X))−1,但在群的情况下,它来自公理。)群和同态的范畴由 Grp 表示,阿贝尔群和同态的范畴由一种b.
类似地,环的同态满足
F(X+是)=F(X)+F(是)

F(X是)=F(X)F(是)
非零环不是乘法组(因为不能除以 0 ),所以我们还必须要求
F(1)=1,
因为它不会自动跟随。
必须注意不要将环的同态与R- 固定环上的模块R. (回想一下交换环上的模块R是一个阿贝尔群米具有按元素取倍数的操作r∈R满足双方的分配性,统一性和结合性;一个例子R-模块是R本身或更普遍的理想R,这与R-模块R.)
因此,同态F:米→ñ的R-modules 满足
F(X+是)=F(X)+F(是) F(rX)=rF(X) 为了 r∈R
有时,同一个代数对象可能用于两种不同的目的。例如,如前所述,一个环R是自身之上的一个模块。在这种情况下,我们必须小心指定我们正在工作的类别。

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让C,D成为类别。函子F:C→D由地图组成F=这bj(F) : 对象⁡(C)→对象⁡(D),F=铁道部⁡(F):铁道部⁡(C)→铁道部⁡(D)保留身份、来源、目标和组成:对于X∈这bj(C),F,G∈铁道部⁡(C),
F(一世dX)=一世dF(X), F(小号(F))=小号(F(F)), F(吨(F))=吨(F(F)), F(G∘F)=F(G)∘F(F).
当适用。
自然的转变这:F→G是态射的集合
这X:F(X)→G(X),X∈这bj(C),
这样对于每个态射F:X→是在C,我们有一个交换图:
交换性是指图中表示的两个箭头的组合(即态射)相等。

类别等价C,D是一对函子F:C→D和G:D→C和自然同构(即具有逆的自然变换)
F∘G≅一世dD, G∘F≅一世dC.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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