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代数几何是数学的一个分支，经典地研究多变量多项式的零点。现代代数几何的基础是使用抽象代数技术，主要来自换元代数，以解决有关这些零点集的几何问题。
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数学代考|代数几何代写algebraic geometry代考|Primary Decomposition
An ideal $q$ in a ring $R$ is called primary if $q \neq R$, and whenever $x y \in q$, we have either $x \in q$ or $y^{n} \in q$ for some $n \in \mathbb{N}$. This definition may seem unnatural at first, because of its asymmetry. In particular, it is not the same thing as a power of a prime ideal (see Exercises 27 and 28). It is, however, obviously true that for a primary ideal $q$, the radical $p=\sqrt{q}$ is prime. We often call $q$ a $p$-primary ideal.
It turns out that the concept of a primary ideal behaves better than many similar notions. Perhaps it could be motivated by noting that an ideal $q$ is primary if and only if in the ring $R / q$, every zero divisor $x$ (which, recall, means a non-zero element $x$ for which there is a nonzero element $y$ with $x y=0$ ) is nilpotent (i.e. satisfies $x^{n}=0$ for some $n \in \mathbb{N}$ ).
Note that this implies the following
5.1.1 Lemma If $q$ is an ideal in a ring $R$ such that $m=\sqrt{q}$ is a maximal ideal, then $q$ is $m$-primary.
Proof Every element of the image $\bar{m}$ of $m$ in $R / q$ is, by assumption, nilpotent. Therefore $\bar{m}=\operatorname{Nil}(R / q)=J a c(R / q)$. Therefore, the ring $R / q$ is local, and every element not in $\bar{m}$ is a unit, and hence cannot be a zero divisor. Thus, every zero divisor in $R / q$ is nilpotent, as we needed to prove.
To further demonstrate the utility of primary ideals, consider the concept of decomposition of ideals: A decomposition of an ideal $I \neq R$ in a ring $R$ is an expression of the form
$$
I=J_{1} \cap \cdots \cap J_{n}
$$
where $J_{1}, \ldots, J_{n} \neq R$ are ideals. An ideal $I \neq R$ is called indecomposable if it cannot be expressed as $I=J \cap K$ for ideals $J, K \supsetneq I$. Recall that since a Noetherian ring satisfies the ascending chain condition $(\mathrm{ACC}$ ) with respect to ideals, there cannot be an infinite sequence of ideals
$$
I_{1} \subsetneq I_{2} \subsetneq I_{3} \ldots \ldots
$$
数学代考|代数几何代写algebraic geometry代考|Artinian Rings
A commutative ring $R$ is called Artinian if its ideals satisfy the descending chain condition (or DCC), i.e. if every sequence of ideals
$$
I_{1} \supseteq I_{2} \supseteq \ldots
$$
in $R$ is eventually constant. We will see that this is actually a very restrictive condition (more so than the ACC for ideals).
5.2.1 Lemma An integral domain $R$ which is Artinian is a field.
Proof Let $0 \neq x \in R$. Then by the DCC, $\left(x^{n}\right)=\left(x^{n+1}\right)$ for some $n \in \mathbb{N}$. Therefore, $x^{n}$ is a multiple of $x^{n+1}$, and since $R$ is an integral domain, $x$ is a unit.
Since a quotient of an Artinian ring is obviously Artinian, every prime ideal in an Artinian ring $R$ is maximal, and hence $\operatorname{dim}(R)=0$. Also, obviously, $R$ satisfies (4.3.3).
5.2.2 Lemma The nilradical of an Artinian ring $R$ is nilpotent, i.e. there exists $a k \mathbb{N}$ such that $\operatorname{Nil}(R)^{k}=0$.
Proof By the DCC, there is some $k \in \mathbb{N}$ such that $a=\operatorname{Nil}(R)^{k}=\operatorname{Nil}(R)^{k+1}$. We will show that $a=0$. Assume this is false. Note that then $a \cdot a \neq 0$, i.e. there exists an element $x \in a$ with $x \cdot a \neq 0$. By the DCC, we may further assume that if this is also true with $x$ replaced by $x y$ for some $y \in R$, then $(x)=(x y)$. But now if $x \cdot a \neq 0$, then $x \cdot a \cdot a=x \cdot a \neq 0$, so indeed, there exists a $y \in a$ such that $x y \cdot a \neq 0$. Thus, $(x)=(x y)$, and inductively, $(x)=\left(x y^{n}\right)$ for every $n \in \mathbb{N}$. However, $y$ is by assumption nilpotent, and hence $x=0$, which is a contradiction.
5.2.3 Proposition An Artinian ring $R$ is a product of finitely many local Artinian rings.
(Note that since a product of finitely many Artinian rings is obviously Artinian, this is an if and only if condition.)
Proof By Lemma 5.2.1, every prime ideal of $R$ is maximal. Thus, Nil( $R$ ) is an intersection of maximal ideals. By the DCC, it is an intersection of finitely many maximal ideals:
$$
\operatorname{Nil}(R)=m_{1} \cap \cdots \cap m_{n} .
$$
数学代考|代数几何代写algebraic geometry代考|Dimension
Let $A$ be a Noetherian local ring with maximal ideal $m$ and an $m$-primary ideal $q$ with $s$ generators. We are interested in studying powers of the ideal $q$, but for inductive purposes, a more general concept must be introduced. Let $M$ be a finitely generated $A$-module. A $q$-stable filtration on $M$ is a sequence $\mathcal{M}$ of submodules
$$
M=M_{0} \supseteq M_{1} \supseteq M_{2} \supseteq M_{3} \supseteq \ldots
$$
such that
$$
q M_{i} \subseteq M_{i+1}
$$
for all $i \in \mathbb{N}$, and there exists a $k$ such that equality arises for all $i \geq k$. The key point about $q$-stable filtrations is the following
5.3.1 Lemma (Artin-Rees Lemma) Let $M$ be a finitely generated A-module with a $q$ stable filtration $\mathcal{M}$, and let $N \subseteq M$ be a submodule. Then the submodules $N_{i}=M_{i} \cap N$ form a q-stable filtration on $N($ denoted by $\mathcal{M} \cap N)$.
Proof Consider the ring
$$
A^{}=\bigoplus_{i \in \mathbb{N}_{0}} q^{i} $$ (where we set $q^{0}=A$ ). The ring structure is by the product from $q^{i}$ and $q^{j}$ to $q^{i+j}$. Then the ring $A^{}$ is a finitely generated $A$-algebra, and hence is Noetherian by the Hilbert basis
theorem, and
$$
M^{}=\bigoplus_{i \in \mathbb{N}{0}} M{i}
$$
is a finitely generated module (since the filtration on $M$ is $q$-stable). Now consider the submodules
$$
N_{k}^{}=\bigoplus_{i \leq k}\left(N \cap M_{k}\right) \oplus \bigoplus_{j \in \mathbb{N}} q^{j}\left(N \cap M_{k}\right) .
$$
We have $N_{k}^{} \subseteq N_{k+1}^{}$, so by the $\mathrm{ACC}$, equality arises for large enough $k$, which is what we were trying to prove.
We are interested in measuring the growth of the $A$-modules $M / M_{k}$. Since the ring $A / q$ is Artinian, the finitely generated $A / q$-modules $M_{i} / M_{i+1}$ have finite length, and hence the $A$-modules $M / M_{k}$ have finite length. We put
$$
\chi_{q}^{\mathcal{M}}(k)=\ell\left(M / M_{k}\right) .
$$
代数几何代写
数学代考|代数几何代写algebraic geometry代考|Primary Decomposition
一个理想q在一圈R被称为主要的，如果q≠R，并且无论何时X是∈q, 我们有X∈q或者是n∈q对于一些n∈ñ. 这个定义起初可能看起来不自然，因为它是不对称的。特别是，它与原始理想的幂不同（见习题 27 和 28）。然而，对于一个基本理想，显然是真的q, 自由基p=q是素数。我们经常打电话q一种p- 初级理想。
事实证明，初级理想的概念比许多类似的概念表现得更好。也许它可以通过注意到一个理想来激发q当且仅当在环中是主要的R/q, 每个零除数X（回想一下，这意味着一个非零元素X有一个非零元素的是和X是=0) 是幂零的（即满足Xn=0对于一些n∈ñ）。
请注意，这意味着以下
5.1.1 引理 Ifq是环中的理想R这样米=q是一个极大理想，那么q是米-基本的。
证明图像的每个元素米¯的米在R/q假设是幂零的。所以米¯=零(R/q)=Ĵ一种C(R/q). 因此，环R/q是本地的，并且每个元素不在米¯是一个单位，因此不能是零除数。因此，每个零除数R/q是幂零的，正如我们需要证明的那样。
为了进一步证明初级理想的效用，考虑理想分解的概念：理想的分解一世≠R在一圈R是形式的表达
一世=Ĵ1∩⋯∩Ĵn
在哪里Ĵ1,…,Ĵn≠R是理想。一个理想一世≠R如果不能表示为，则称为不可分解一世=Ĵ∩ķ为理想Ĵ,ķ⊋一世. 回想一下，由于诺特环满足升链条件(一种CC) 关于理想，不可能有无限的理想序列
一世1⊊一世2⊊一世3……
数学代考|代数几何代写algebraic geometry代考|Artinian Rings
交换环R如果其理想满足降链条件（或 DCC），则称为 Artinian，即如果每个理想序列
一世1⊇一世2⊇…
在R最终是恒定的。我们将看到这实际上是一个非常严格的条件（比理想的 ACC 更严格）。
5.2.1 引理 积分域R这是 Artinian 是一个领域。
证明让0≠X∈R. 然后由DCC，(Xn)=(Xn+1)对于一些n∈ñ. 所以，Xn是的倍数Xn+1，并且由于R是一个积分域，X是一个单位。
由于 Artinian 环的商显然是 Artinian，所以 Artinian 环中的每个素理想R是最大的，因此暗淡(R)=0. 而且，很明显，R满足 (4.3.3)。
5.2.2 引理 Artinian 环的零根R是幂零的，即存在一种ķñ这样零(R)ķ=0.
由 DCC 证明，有一些ķ∈ñ这样一种=零(R)ķ=零(R)ķ+1. 我们将证明一种=0. 假设这是错误的。请注意，那时一种⋅一种≠0，即存在一个元素X∈一种和X⋅一种≠0. 通过 DCC，我们可以进一步假设，如果这也是真的X取而代之X是对于一些是∈R， 然后(X)=(X是). 但现在如果X⋅一种≠0， 然后X⋅一种⋅一种=X⋅一种≠0，所以确实存在是∈一种这样X是⋅一种≠0. 因此，(X)=(X是)，并且归纳地，(X)=(X是n)对于每个n∈ñ. 然而，是假设是幂零的，因此X=0，这是一个矛盾。
5.2.3 命题 Artinian 环R是有限多个局部 Artinian 环的乘积。
（请注意，由于有限多个 Artinian 环的乘积显然是 Artinian，因此这是一个当且仅当条件。）
由引理 5.2.1 证明，每个素理想R是最大的。因此，零（R) 是最大理想的交集。根据 DCC，它是有限多个极大理想的交集：
零(R)=米1∩⋯∩米n.
数学代考|代数几何代写algebraic geometry代考|Dimension
让一种是具有最大理想的诺特局部环米和米- 初级理想q和s发电机。我们有兴趣研究理想的力量q，但为了归纳的目的，必须引入一个更一般的概念。让米是一个有限生成的一种-模块。一种q-稳定过滤米是一个序列米子模块
米=米0⊇米1⊇米2⊇米3⊇…
这样
q米一世⊆米一世+1
对全部一世∈ñ，并且存在一个ķ使人人平等一世≥ķ. 关于的关键点q- 稳定过滤如下
5.3.1 引理 (Artin-Rees Lemma) Let米是一个有限生成的 A 模q稳定过滤米， 然后让ñ⊆米成为一个子模块。然后是子模块ñ一世=米一世∩ñ形成一个q-稳定的过滤ñ(表示为米∩ñ).
证明考虑环
一种=⨁一世∈ñ0q一世（我们在哪里设置q0=一种）。环结构是由产品从q一世和qj到q一世+j. 然后是戒指一种是一个有限生成的一种-代数，因此根据希尔伯特基是 Noetherian
定理，和
米=⨁一世∈ñ0米一世
是一个有限生成的模块（因为过滤米是q-稳定的）。现在考虑子模块
ñķ=⨁一世≤ķ(ñ∩米ķ)⊕⨁j∈ñqj(ñ∩米ķ).
我们有ñķ⊆ñķ+1，所以由一种CC, 等式出现足够大ķ，这是我们试图证明的。
我们有兴趣衡量一种-模块米/米ķ. 自从戒指一种/q是 Artinian，有限生成的一种/q-模块米一世/米一世+1有有限的长度，因此一种-模块米/米ķ有有限的长度。我们把
χq米(ķ)=ℓ(米/米ķ).
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
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