数学代考|代数几何代写algebraic geometry代考|Zariski Topology

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代数几何是数学的一个分支,经典地研究多变量多项式的零点。现代代数几何的基础是使用抽象代数技术,主要来自换元代数,以解决有关这些零点集的几何问题。

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数学代考|代数几何代写algebraic geometry代考|Topology

Algebraic geometry builds fundamental concepts of geometry out of pure algebra (rings and polynomials). A very basic concept of geometry is topology. A topology on a set $X$ is specified by open (and/or closed) sets. An open set containing a point $x \in X$ is also called an open neighborhood of $x$. A set $X$ with a topology is called a topological space. An open set is the same thing as a complement of a closed set, and vice versa, so it suffices to specify either open sets or closed sets. Open sets in a topology are required to satisfy the following properties (or axioms):

  1. $\emptyset, X$ are open.
  2. A union of arbitrarily (possibly infinitely) many open sets is open.
  3. An intersection of two (hence finitely many) open sets is open.
    One can equivalently formulate the axioms for closed sets by swapping union and intersection.

For any set $S \subseteq X$, we then have a smallest closed set (with respect to inclusion) $\bar{S}$ containing $S$ (namely, the intersection of all closed sets containing $S$ ). It is called the closure of $S$. Symmetrically, the interior $S^{\circ}$ is the largest open set (i.e. the union of all open sets) contained in $S$.

数学代考|代数几何代写algebraic geometry代考|Zariski and Analytic Topology

In algebraic geometry, the set of all $n$-tuples of complex numbers is called the affine space $\mathbb{A}{\mathrm{C}}^{n}$. For the purposes of algebraic geometry, we consider the Zariski topology on $\mathrm{A}{\mathrm{C}}^{n}$, in which closed sets are affine algebraic sets (see Sect. 1.1). Similarly, in the Zariski topology on any affine algebraic set $X$, the closed sets are affine algebraic sets in $A_{C}^{n}$ which are subsets of $X$. To verify the axioms of topology, one notes that for sets of $n$-variable polynomials $S_{i}$, we have
$$
Z\left(\bigcup_{i} S_{i}\right)=\bigcap_{i} Z\left(S_{i}\right)
$$
and for sets of $n$-variable polynomials $S, T$, we have
$$
Z({p \cdot q \mid p \in S, q \in T})=Z(S) \cup Z(T)
$$
The Zariski topology is not the most typical kind of topology one considers outside of algebraic geometry. In analysis, the key example of a topology is the analytic topology. In the analytic topology on $\mathbb{A}{C}^{n}=\mathbb{C}^{n}$ (or on $\mathbb{R}^{n}$ ), a set $U$ is open when with any point $x \in U$, the set $U$ also contains all points of distance $<\epsilon$ for some $\epsilon>0$ (where $\epsilon$ can depend on $x$ ). As the name suggests, the analytic topology is very important in mathematical analysis. The Zariski topology has “far fewer” closed (and open) sets than the analytic topology. For example, in $\mathbb{R}^{n}$ (or $\mathbb{C}^{n}$ ), any open ball is open and any closed ball is closed in the analytic topology. On the other hand, the only Zariski closed sets in $A{C}^{1}$ are itself and finite subsets.

Still, we can use the analytic topology for intuition about the Zariski topology on algebraic sets. For example, a single point is closed (in both analytic and Zariski topology), and is not open, unless we are in $\mathrm{A}_{\mathrm{C}^{*}}^{0}$.

数学代考|代数几何代写algebraic geometry代考|Affine and Quasi-Affine Varieties

In a topological space $X$, a non-empty closed set $Z$ is called irreducible if there do not exist closed subsets $Z_{1} \neq Z, Z_{2} \neq Z$ of $Z$ such that $Z=Z_{1} \cup Z_{2}$ (i.e. $Z$ is not a union of two closed subsets other than itself). $Z$ is called connected if it is not a union of two disjoint closed subsets other than itself.

An affine variety is an affine algebraic set which is irreducible in the Zariski topology. A quasi-affine variety is a Zariski open subset $U$ of an affine variety $X$. (Caution: $U$ is open a topology on $S$ where, by definition, open (resp. closed) sets in $S$ are of the form $V \cap S$ where $V$ is an open (resp. closed) set in $X$. This topology is called the induced topology.

The Zariski topology on an affine algebraic set is induced from the Zariski topology on $\mathrm{A}^{n} \mathrm{C}$.

Recall that an ideal $I \subseteq R$ in a ring $R$ is called prime if $I \neq R$ and for $x, y \in R$, $x y \in I$ implies $x \in I$ or $y \in I$. The ideal $I$ is called maximal if $I \neq R$ and for every ideal $J \subseteq R$ with $I \subseteq J$, we have $J=I$ or $J=R$. An ideal $I \subseteq R$ is maximal if and only if the quotient ring $R / I$ (consisting of all cosets $x+I, x \in R$ ) is a field. Similarly, $I \subseteq R$ is prime if and only if $R / I$ is an integral domain which means that it satisfies $0 \neq 1$ and has no zero divisors (i.e. non-zero elements $x, y$ such that $x y=0$ ).

Any ideal $I \neq R$ is contained in a maximal ideal by a principle called Zorn’s lemma, which states that any partially ordered set $P$ (such as the set of ideals in a ring $R$ ordered with respect to inclusion) contains a maximal element (i.e. an element $m \in P$ such that $a \in P$ and $m \leq a$ implies $m=a$ ), provided that for any subset $L$ which is totally ordered (i.e. $a, b \in L$ implies $a \leq b$ or $b \leq a$ ) there exists an element $\ell \in P$ greater or equal than all elements of $L$.

Now it is easy to see that an affine algebraic set $X$ is irreducible (i.e. is an affine variety) if and only if the ideal $I(X)$ is prime. Indeed, if $I(X)$ is not prime, then there exists $f, g \notin I(X)$ such that $f g \in I(X)$, so $X$ is a union of the two closed subsets $Z(f) \cap X$, $Z(g) \cap X$ neither of which is equal to $X$. On the other hand, if $X=X_{1} \cup X_{2}$ where $X_{i} \neq X$ are closed, then by definition, there are $f_{i} \in I\left(X_{i}\right) \backslash I(X)$, while $f_{1} f_{2} \in I(X)$.

In particular, since polynomials over a field obviously form an integral domain, the 0 ideal is prime, and thus, the affine space $\mathrm{A}_{C}^{n}$ is irreducible (and hence, an affine variety).

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代数几何代写

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代数几何从纯代数(环和多项式)中构建了几何的基本概念。几何的一个非常基本的概念是拓扑。集合上的拓扑X由开放(和/或封闭)集指定。包含一个点的开集X∈X也称为开放邻域X. 一套X有拓扑的称为拓扑空间。开集与闭集的补集相同,反之亦然,因此指定开集或闭集就足够了。拓扑中的开集需要满足以下属性(或公理):

  1. ∅,X是开放的。
  2. 任意(可能无限)许多开集的并集是开集。
  3. 两个(因此是有限多个)开集的交集是开集。
    可以通过交换并集和交集来等效地制定封闭集的公理。

对于任何集合小号⊆X,然后我们有一个最小的闭集(关于包含)小号¯包含小号(即所有包含的闭集的交集小号)。它被称为闭包小号. 对称地,内部小号∘是最大的开集(即所有开集的并集)包含在小号.

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在代数几何中,所有的集合n-复数的元组称为仿射空间一种Cn. 为了代数几何的目的,我们考虑 Zariski 拓扑一种Cn,其中闭集是仿射代数集(参见第 1.1 节)。类似地,在任何仿射代数集上的 Zariski 拓扑中X, 闭集是仿射代数集一种Cn是的子集X. 为了验证拓扑公理,人们注意到对于n- 变量多项式小号一世, 我们有
从(⋃一世小号一世)=⋂一世从(小号一世)
并且对于n- 变量多项式小号,吨, 我们有
从(p⋅q∣p∈小号,q∈吨)=从(小号)∪从(吨)
Zariski 拓扑不是代数几何之外最典型的拓扑。在分析中,拓扑的关键示例是解析拓扑。在解析拓扑上一种Cn=Cn(或在Rn), 一套在任何时候都打开X∈在, 集合在还包含所有距离点<ε对于一些ε>0(在哪里ε可以依赖X)。顾名思义,解析拓扑在数学分析中非常重要。Zariski 拓扑的封闭(和开放)集比解析拓扑“少得多”。例如,在Rn(或者Cn),在解析拓扑中,任何开球都是开球,任何闭球都是闭球。另一方面,Zariski 唯一的封闭式一种C1是自身和有限子集。

尽管如此,我们仍然可以使用解析拓扑来直观了解代数集上的 Zariski 拓扑。例如,一个点是封闭的(在解析拓扑和 Zariski 拓扑中),并且不是开放的,除非我们在一种C∗0.

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在拓扑空间中X, 一个非空闭集从如果不存在封闭子集,则称为不可约从1≠从,从2≠从的从这样从=从1∪从2(IE从不是两个封闭子集的并集,而不是自身)。从如果它不是除自身之外的两个不相交的封闭子集的并集,则称为连通的。

仿射簇是在 Zariski 拓扑中不可约的仿射代数集。准仿射变体是 Zariski 开子集在仿射品种X. (警告:在打开拓扑小号其中,根据定义,打开(或关闭)设置在小号是形式在∩小号在哪里在是一个开(或闭)集X. 这种拓扑称为诱导拓扑。

仿射代数集上的 Zariski 拓扑是从上的 Zariski 拓扑推导出来的一种nC.

回想一下理想一世⊆R在一圈R称为素数,如果一世≠R并且对于X,是∈R, X是∈一世暗示X∈一世或者是∈一世. 理想一世被称为最大如果一世≠R对于每一个理想Ĵ⊆R和一世⊆Ĵ, 我们有Ĵ=一世或者Ĵ=R. 一个理想一世⊆R最大当且仅当商环R/一世(由所有陪衬组成X+一世,X∈R) 是一个字段。相似地,一世⊆R是素数当且仅当R/一世是一个积分域,这意味着它满足0≠1并且没有零除数(即非零元素X,是这样X是=0 ).

任何理想一世≠R被称为 Zorn 引理的原理包含在极大理想中,该原理表明任何偏序集磷(例如环中的一组理想R相对于包含排序)包含一个最大元素(即一个元素米∈磷这样一种∈磷和米≤一种暗示米=一种),前提是对于任何子集大号这是完全有序的(即一种,b∈大号暗示一种≤b或者b≤一种) 存在一个元素ℓ∈磷大于或等于的所有元素大号.

现在很容易看出仿射代数集X是不可约的(即是仿射变体)当且仅当理想一世(X)是素数。确实,如果一世(X)不是素数,则存在F,G∉一世(X)这样FG∈一世(X), 所以X是两个封闭子集的并集从(F)∩X, 从(G)∩X两者都不等于X. 另一方面,如果X=X1∪X2在哪里X一世≠X是封闭的,那么根据定义,有F一世∈一世(X一世)∖一世(X), 尽管F1F2∈一世(X).

特别是,由于域上的多项式显然形成了一个整数域,所以 0 理想是素数,因此,仿射空间一种Cn是不可约的(因此是仿射变体)。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

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