数学代考|金融数学代考Financial Mathematics代写|The Effect of the Assumed Interest Rate and Smoothing

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金融数学是将数学方法应用于金融问题。(有时使用的同等名称是定量金融、金融工程、数学金融和计算金融)。它借鉴了概率、统计、随机过程和经济理论的工具。传统上,投资银行、商业银行、对冲基金、保险公司、公司财务部和监管机构将金融数学的方法应用于诸如衍生证券估值、投资组合结构、风险管理和情景模拟等问题。依赖商品的行业(如能源、制造业)也使用金融数学。 定量分析为金融市场和投资过程带来了效率和严谨性,在监管方面也变得越来越重要。

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  • Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
  • (Generalized) Linear Models 广义线性模型
  • Statistical Machine Learning 统计机器学习
  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代考|金融数学代考Financial Mathematics代写|The Effect of the Assumed Interest Rate and Smoothing

数学代考|金融数学代考Financial Mathematics代写|Constant expectation AIR

One may be interested to choose the AIR $\mathrm{a}{0}(\mathrm{~h})$ in such a way that the expected pension payments are constant with respect to $\mathrm{h}$, that is such that $\mathrm{E}{0}\left[\mathrm{~W}_{\mathrm{h}}(\mathrm{h})\right]=\mathrm{W} 0(0)$ (recall that the first pension payment $\mathrm{W} 0(0)$ is without investment risk).

Proposition 2.1. The AIR $A I R \bar{a}{0}(h \mid w)$ that leads to constant expected payments for variable annuities equals $$ \bar{a}{0}(h \mid w)=r+w \lambda \sigma .
Proof. From (2.11), we find that $\mathrm{E}{0}\left[\mathrm{~W}{\mathrm{h}}(\mathrm{h})\right]=\mathrm{W}{0}(0)$ implies $\frac{W{0}(h)}{W_{0}(0)}=\exp (-h(r+w \lambda \sigma))$,
or (2.14), using (2.8).
This constant AIR leads to nominally constant expected pension payments. In case our financial market would exhibit interest rate risk (that is, a horizondependent risk-free term structure) and/or stock market predictability, we would need horizon-dependent AIRs to obtain expected constant pension payments. We will see that, even in the present financial market,also smoothing financial market returns leads to a horizon-dependent AIR if annuity payments are required to be constant in expectation.

数学代考|金融数学代考Financial Mathematics代写|Optimal AIR

For given preferences, we derive the optimal AIR that maximizes the expected utility from all the pension payments subject to the budget constraint of the total available pension wealth. The optimal withdrawal is determined by the optimal allocation strategy $a_{0}^{*}(h \mid w)$. The retiree has to determine how much of his wealth he allocates to each horizon for a given investment strategy w. Thus, a retiree who maximizes the expected utility subject to the budget constraint solves the following optimization problem:
Problem 2.1.
$\max {\left|W{0}(h)\right\rangle} \mathbb{E}{0}\left[\sum{h=0}^{H-1} \exp (-\beta h) u\left(W_{h}(h)\right)\right]$

s.t. $\quad W_{0}=\sum_{h=0}^{H-1} W_{0}(h)$,
where $\beta$ is the subjective discount rate that reflects time preferences, that is, impatience.

Proposition 2.2. The optimal AIR that solves Problem $2.1$ with utility function $(2.4)$ is
a_{0}^{*}(h \mid w)= \begin{cases}r+\frac{1}{\gamma}(\beta-r)-\left(\frac{1}{\gamma}-1\right) w \sigma\left(\lambda-\frac{1}{2} \gamma w \sigma\right) & \text { if } \gamma>0, \gamma \neq 1 \ \beta & \text { if } \gamma=1\end{cases}
Proof. Using Itô’s lemma and (2.10), we find
\mathrm{d} W_{t}(h)^{1-\gamma}=\left(r+w \lambda \sigma-\frac{1}{2} \gamma w^{2} \sigma^{2}\right)(1-\gamma) W_{t}(h)^{1-\gamma} \mathrm{d} t+w \sigma(1-\gamma) W_{t}(h)^{1-\gamma} \mathrm{d} Z_{t} .
This leads to the optimization problem
\max {\left(W{0}(h)\right)} \sum_{h=0}^{H-1} \exp (-\beta h) \frac{W_{0}(h)^{1-\gamma}}{1-\gamma} \exp \left(\left(r+w \lambda \sigma-\frac{1}{2} \gamma w^{2} \sigma^{2}\right)(1-\gamma) h\right)
s.t. $W_{0}=\sum_{h=0}^{H-1} W_{0}(h)$.
The Lagrangian is
\mathcal{L}\left(W_{0}(h)\right)=& \sum_{h=0}^{H-1} \exp (-\beta h) \frac{W_{0}(h)^{1-\gamma}}{1-\gamma} \exp \left(\left(r+w \lambda \sigma-\frac{1}{2} \gamma w^{2} \sigma^{2}\right)(1-\gamma) h\right) \
&-\kappa\left(\sum_{h=0}^{H-1} W_{0}(h)-W_{0}\right)

数学代考|金融数学代考Financial Mathematics代写|SMOOTHING FINANCIAL RETURNS

If agents have habit-formation preferences, they may want to reduce yeartoyear volatility in the pension payments. Utility functions of this type capture individuals who receive utility from consumption relative to a habit. It rationalizes the demand for smooth consumption as shown by Abel (1990), Constantinides (1990), Fuhrer (2000), Carroll (2000), Crawford (2010) and Davidoff et al. (2005).

The traditional view to achieve smooth consumption, that is lower yearto-year volatility, is to “smooth” financial market returns. That is, in case portfolio returns are $-20 \%$, instead of reducing the pension payment immediately by $20 \%$, it is only reduced by a fraction, say, $20 \% / 5=4 \%$. This implies that pension payments later in the retirement phase need to be cut by more than $20 \%$ to fulfill the budget constraint. Smoothing thus leads to a smaller year-to-year volatility, but the long-term volatility is larger. We derive the conceptual implications of smoothing in the framework of the discrete pension buckets and show the change in the design via the AIR that generates constant expectations.

The reduced year-to-year volatility can be achieved as follows. Recall that the initial pension payment at time 0 is given by $W_{0}(0)$. In order to have limited risk in the pension payment $\mathrm{W} t(1)$, we do not invest it according to a stock exposure w, as in Section 2 , but with a stock exposure w0(1) = $\mathrm{w} / \mathrm{N}$, where $\mathrm{N}$ denotes the smoothing period, say, $\mathrm{N}=5$ years. Subsequently, the pension wealth $\mathrm{W}{0}(2)$ for the pension payment $\mathrm{W}{2}(2)$ is invested with exposure $\mathrm{w}{0}(2)=2 \mathrm{w} / \mathrm{N}$ the first year and $\mathrm{w}{1}(2)=\mathrm{w} / \mathrm{N}$ the second year. Different smoothing mechanisms can be chosen as long as the exposure is decreased. All results, that is, formulas, below hold for general wj-1(h), which is the stock exposure from year $\mathrm{j}-1$ to $\mathrm{j}$ for the pension wealth that generates the payment in year h. For illustration, we provide figures based on the exposures
w_{j-1}(h)=w \min \left{1, \frac{1+h-j}{N}\right}, \quad j=1, \ldots, h,

for given smoothing period $\mathrm{N}$ and long-term stock exposure $\mathrm{w}$. Figure 12 shows these stock exposure w
(h) as a function of $j$ for $h=17$.

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数学代考|金融数学代考Financial Mathematics代写|Constant expectation AIR

可能有兴趣选择 AIR一个0( H)以这样一种方式,即预期的养老金支付相对于H, 就是这样和0[ 在H(H)]=在0(0)(回想一下第一次养老金支付在0(0)无投资风险)。

命题 2.1。空气一个我R一个¯0(H∣在)这导致可变年金的预期支付不变

证明。从(2.11),我们发现和0[ 在H(H)]=在0(0)暗示在0(H)在0(0)=经验⁡(−H(r+在λσ)),
或 (2.14),使用 (2.8)。
这种恒定的 AIR 导致名义上恒定的预期养老金支付。如果我们的金融市场会表现出利率风险(即,依赖于地平线的无风险期限结构)和/或股票市场的可预测性,我们将需要依赖于地平线的 AIR 来获得预期的恒定养老金支付。我们将看到,即使在当前的金融市场中,如果要求年金支付在预期中保持不变,那么平滑金融市场回报也会导致 AIR 依赖于地平线。

数学代考|金融数学代考Financial Mathematics代写|Optimal AIR

对于给定的偏好,我们从所有受可用养老金财富的预算约束的养老金支付中推导出最佳 AIR 最大化预期效用。最优退出由最优分配策略决定一个0∗(H∣在). 退休人员必须确定他为给定的投资策略 w 分配给每个期限的财富的多少。因此,在预算约束下最大化预期效用的退休人员解决了以下优化问题:
问题 2.1。


命题 2.2。解决问题的最佳 AIR2.1具有效用函数(2.4)是

一个0∗(H∣在)={r+1C(b−r)−(1C−1)在σ(λ−12C在σ) 如果 C>0,C≠1 b 如果 C=1
证明。使用 Itô 引理和 (2.10),我们发现



大号(在0(H))=∑H=0H−1经验⁡(−bH)在0(H)1−C1−C经验⁡((r+在λσ−12C在2σ2)(1−C)H) −ķ(∑H=0H−1在0(H)−在0)

数学代考|金融数学代考Financial Mathematics代写|SMOOTHING FINANCIAL RETURNS

如果代理人有习惯形成偏好,他们可能希望减少养老金支付的逐年波动。这种类型的效用函数捕获从相对于习惯的消费中获得效用的个人。如 Abel (1990)、Constantinides (1990)、Fuhrer (2000)、Carroll (2000)、Crawford (2010) 和 Davidoff 等人所示,它使平滑消费的需求合理化。(2005 年)。

实现平稳消费的传统观点,即降低年度波动率,是为了“平稳”金融市场回报。也就是说,如果投资组合收益是−20%,而不是立即减少养老金支付20%, 它只减少了一小部分, 比如,20%/5=4%. 这意味着退休阶段后期的养老金支付需要削减超过20%来满足预算约束。因此,平滑导致逐年波动较小,但长期波动较大。我们在离散养老金桶的框架中推导出平滑的概念含义,并通过 AIR 展示设计中的变化,从而产生恒定的期望。

可以通过以下方式减少逐年波动。回想一下,在时间 0 的初始养老金支付由下式给出在0(0). 为了限制养老金支付的风险在吨(1),我们不像第 2 节那样根据股票风险 w 进行投资,而是根据股票风险 w0(1) =在/ñ, 在哪里ñ表示平滑期,例如,ñ=5年。随后,养老金财富在0(2)为养老金支付在2(2)投资有风险在0(2)=2在/ñ第一年和在1(2)=在/ñ第二年。只要减少曝光,就可以选择不同的平滑机制。以下所有结果,即公式,适用于一般 wj-1(h),即当年的股票敞口j−1至j对于在 h 年产生支付的养老金财富。为了说明,我们提供了基于曝光的数字

w_{j-1}(h)=w \min \left{1, \frac{1+hj}{N}\right}, \quad j=1, \ldots, h,w_{j-1}(h)=w \min \left{1, \frac{1+hj}{N}\right}, \quad j=1, \ldots, h,

对于给定的平滑周期ñ和长期股票敞口在. 图 12 显示了这些股票暴露 w
(h) 作为函数j为了H=17.

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术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。



有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。





随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。


多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。


MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。