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主成分分析（PCA）是计算主成分并使用它们对数据进行基础改变的过程，有时只使用前几个主成分，而忽略其余部分。
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机器学习代写|主成分分析作业代写PCA代考|Eigenvalue Decomposition of Hermitian Matrix
All the discussions on eigenvalues and eigenvectors in the above hold for general matrices, and they do not require the matrices to be real symmetric or complex conjugate symmetric. However, in the statistical and information science, one usually encounter real symmetric or Hermitian (complex conjugate symmetric) matrices. For example, the autocorrelation matrix of a real measurement data vector $\boldsymbol{R}=E\left{\boldsymbol{x}(t) \boldsymbol{x}^{T}(t)\right}$ is real symmetric, while the autocorrelation matrix of a complex measurement data vector $\boldsymbol{R}=E\left{\boldsymbol{x}(t) \boldsymbol{x}^{H}(t)\right}$ is Hermitian. On the other hand, since a real symmetric matrix is a special case of Hermitian matrix and the eigenvalues and eigenvectors of a Hermitian matrix have a series of important properties, and it is necessary to discuss individually the eigen analysis of Hermitian matrix.
- Eigenvalue and Eigenvector of Hermitian matrix.
Some important properties of eigenvalues and eigenvectors of Hermitian matrices can be summarized as follows:
(1) The eigenvalues of an Hermitian matrix $A$ must be a real number.
(2) Let $(\lambda, \boldsymbol{u})$ be an eigen pair of an Hermitian matrix $\boldsymbol{A}$. If $\boldsymbol{A}$ is invertible, then $(1 / \lambda, u)$ is an eigen pair of matrix $A^{-1}$.
(3) If $\lambda_{k}$ is a multiple eigenvalue of Hermitian matrix $A^{H}=A$, and its multiplicity is $m_{k}$, then $\operatorname{rank}\left(\boldsymbol{A}-\lambda_{k} \boldsymbol{I}\right)=n-m_{k}$.
(4) Any Hermitian matrix $A$ is diagonalizable, namely $U^{-1} \boldsymbol{A} U=\Sigma$.
(5) All the eigenvectors of an Hermitian matrix are linearly independent, and they are mutual orthogonal, namely the eigen matrix $\boldsymbol{U}=\left[\boldsymbol{u}{1}, \boldsymbol{u}{2}, \ldots, \boldsymbol{u}{n}\right]$ is a unitary matrix and it meets $\boldsymbol{U}^{-1}=\boldsymbol{U}^{H}$. (6) From property (5), it holds that $\boldsymbol{U}^{H} \boldsymbol{A} \boldsymbol{U}=\Sigma=\operatorname{diag}\left(\lambda{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n}\right)$ or $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{U} \Sigma \boldsymbol{U}^{H}$, which can be rewritten as: $\boldsymbol{A}=\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} \boldsymbol{u}{i} \boldsymbol{u}{i}^{H}$. This is called the spectral decomposition of a Hermitian matrix.
(7) The spread formula of the inverse of an Hermitian matrix $A$ is
$$
\boldsymbol{A}^{-1}=\sum_{i=1}^{n} \frac{\mathrm{I}}{\lambda_{i}} \boldsymbol{u}{i} \boldsymbol{u}{i}^{H}
$$
Thus, if one know the eigen decomposition of an Hermitian matrix $\boldsymbol{A}$, then one can directly obtain the inverse matrix $A^{-1}$ using the above formula.
(8) For two $n \times n$ Hermitian matrices $\boldsymbol{A}$ and $\boldsymbol{B}$, there exists a unitary matrix so that $\boldsymbol{P}^{H} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}$ and $\boldsymbol{P}^{H} \boldsymbol{B P}$ are both diagonal if and only if $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{B A}$.
(9) For two $n \times n$ non-negative definite Hermitian matrices $\boldsymbol{A}$ and $\boldsymbol{B}$, there exists a nonsingular matrix $P$ so that $P^{H} A P$ and $P^{H} B P$ are both diagonal.
机器学习代写|主成分分析作业代写PCA代考|Generalized Eigenvalue Decomposition
Let $A$ and $B$ both be $n \times n$ square matrices, and they constitute a matrix pencil or matrix pair, written as $(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B})$. Now we consider the following generalized eigenvalue problem. That is, to compute all scalar $\lambda$ such that
$$
A u=\lambda B u
$$
has nonzero solution $\boldsymbol{u} \neq 0$, where the scalar $\lambda$ and the nonzero vector $\boldsymbol{u}$ are called the generalized eigenvalue and the generalized eigenvector of matrix pencil $(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B})$, respectively. A generalized eigenvalue and its associated generalized eigenvector are called generalized eigen pair, written as $(\lambda, \boldsymbol{u})$. Equation (2.35) is also called the generalized eigen equation. It is obvious that the eigenvalue problem is a special case when the matrix pencil is chosen as $(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{I})$.
Theorem 2.6 $\lambda \in \mathbb{C}$ and $\mathbf{u} \in \mathbb{C}^{n}$ are respectively the generalized eigenvalue and the associated generalized eigenvector of matrix pencil $(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B})_{n \times n}$ if and only if:
(1) $\operatorname{det}(\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{B})=0$.
(2) $\boldsymbol{u} \in \operatorname{Null}(\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{B})$, and $\boldsymbol{u} \neq 0$.
In the natural science, sometimes it is necessary to discuss the eigenvalue problem of the generalized matrix pencil.
Suppose that $n \times n$ square matrices $\boldsymbol{A}$ and $\boldsymbol{B}$ are both Hermitian, and $B$ is positive definite. Then $(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B})$ is called the regularized matrix pencil.
The eigenvalue problem of regularized matrix pencil is similar to the one of Hermitian matrix.
机器学习代写|主成分分析作业代写PCA代考|Rayleigh Quotient
Definition 2.1 The Rayleigh quotient (RQ) of an Hermitian matrix $C \in \mathbb{C}^{n \times n}$ is a scalar, defined as
$$
r(\boldsymbol{u})=r(\boldsymbol{u}, \boldsymbol{C})=\frac{\boldsymbol{u}^{H} \boldsymbol{C} \boldsymbol{u}}{\boldsymbol{u}^{H} \boldsymbol{u}},
$$
where $u$ is a quantity to be selected. The objective is to maximize or minimize the Rayleigh quotient.
The most relevant properties of the $R Q$ are can be summarized as follows:
(1) Homogeneity: $r(\alpha \boldsymbol{u}, \beta \boldsymbol{u})=\beta r(\boldsymbol{u}, \boldsymbol{C}) \quad \forall \alpha, \beta \neq 0$.
(2) Translation invariance: $\boldsymbol{r}(\boldsymbol{u}, \boldsymbol{C}-\alpha \boldsymbol{I})=\boldsymbol{r}(\boldsymbol{u}, \boldsymbol{C})-\alpha$.
(3) Boundedness: Since $\boldsymbol{u}$ ranges over all nonzero vectors, $r(\boldsymbol{u})$ fills a region in the complex plane which is called the field of values of $\boldsymbol{C}$. This region is closed, bounded, and convex. If $\boldsymbol{C}=\boldsymbol{C}^{*}$ (selfadjoint matrix), the field of values is the real interval bounded by the extreme eigenvalues.
(4) Orthogonality: $\boldsymbol{u} \perp(\boldsymbol{C}-r(\boldsymbol{u}) \boldsymbol{I}) \boldsymbol{u}$.
(5) Minimal residual: $\forall \boldsymbol{u} \neq 0 \wedge \forall$ scalar $\mu,|(\boldsymbol{C}-r(\boldsymbol{u}) \boldsymbol{I}) \boldsymbol{u}| \leq|(\boldsymbol{C}-\mu \boldsymbol{I}) \boldsymbol{u}|$.
Proposition $2.1$ (Stationarity) Let $C$ be a real symmetric n-dimensional matrix with eigenvalues $\lambda_{n} \leq \lambda_{n-1} \leq \cdots \lambda_{1}$ and associated unit eigenvectors $z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n}$. Then it holds that $\lambda_{1}=\max r(\boldsymbol{u}, \boldsymbol{C}), \lambda_{n}=\min r(\boldsymbol{u}, \boldsymbol{C})$. More generally, the critical points and critical values of $r(\boldsymbol{u}, \boldsymbol{C})$ are the eigenvectors and eigenvalues of $\boldsymbol{C}$.
Proposition $2.2$ (Degeneracy): The $R Q$ critical points are degenerate because at these points the Hessian matrix is not invertible. Then the RQ is not a Morse function in every open subspace of the domain containing a critical point.
Furthermore, the following important theorems also holds for RQ.
Courant-Fischer Theorem: Let $C \in \mathbb{C}^{n \times n}$ be an Hermitian matrix, and its eigenvalues are $\lambda_{1} \geq \lambda_{2} \geq \cdots \leq \lambda_{n}$, then it holds that for $\lambda_{k}(1 \leq k \leq u)$ :
$$
\lambda_{k}=\min {S, \operatorname{dim}(S)=\boldsymbol{n}-k+1} \max {\boldsymbol{u} \in S, \boldsymbol{u} \neq 0}\left(\frac{\boldsymbol{u}^{H} \boldsymbol{C} \boldsymbol{u}}{\boldsymbol{u}^{H} \boldsymbol{u}}\right)
$$
The Courant-Fischer Theorem can also written as
$$
\lambda_{k}=\min {S, \operatorname{dim}(S)=k} \max {\boldsymbol{u} \in S, \boldsymbol{u} \neq 0}\left(\frac{\boldsymbol{u}^{H} \boldsymbol{C} \boldsymbol{u}}{\boldsymbol{u}^{H} \boldsymbol{u}}\right)
$$
主成分分析代写
机器学习代写|主成分分析作业代写PCA代考|Eigenvalue Decomposition of Hermitian Matrix
上面所有关于特征值和特征向量的讨论都适用于一般矩阵，它们并不要求矩阵是实对称或复共轭对称。然而，在统计和信息科学中，通常会遇到实对称或厄米特（复共轭对称）矩阵。例如，真实测量数据向量的自相关矩阵\boldsymbol{R}=E\left{\boldsymbol{x}(t) \boldsymbol{x}^{T}(t)\right}\boldsymbol{R}=E\left{\boldsymbol{x}(t) \boldsymbol{x}^{T}(t)\right}是实对称的，而复测量数据向量的自相关矩阵\boldsymbol{R}=E\left{\boldsymbol{x}(t) \boldsymbol{x}^{H}(t)\right}\boldsymbol{R}=E\left{\boldsymbol{x}(t) \boldsymbol{x}^{H}(t)\right}是厄米特。另一方面，由于实对称矩阵是Hermitian矩阵的特例，Hermitian矩阵的特征值和特征向量具有一系列重要性质，因此有必要单独讨论Hermitian矩阵的特征分析。
- Hermitian 矩阵的特征值和特征向量。
Hermitian 矩阵的特征值和特征向量的一些重要性质可以概括如下：
(1) Hermitian 矩阵的特征值一种必须是实数。
(2) 让(λ,在)是 Hermitian 矩阵的特征对一种. 如果一种是可逆的，那么(1/λ,在)是矩阵的特征对一种−1.
(3) 如果λķ是 Hermitian 矩阵的多重特征值一种H=一种，其多重性为米ķ， 然后秩(一种−λķ一世)=n−米ķ.
(4) 任何 Hermitian 矩阵一种是可对角化的，即在−1一种在=Σ.
(5) Hermitian矩阵的所有特征向量都是线性独立的，并且相互正交，即特征矩阵在=[在1,在2,…,在n]是酉矩阵并且满足在−1=在H. (6) 根据性质 (5)，它认为在H一种在=Σ=诊断(λ1,λ2,…,λn)或者一种=在Σ在H，可以改写为：一种=∑一世=1nλ一世在一世在一世H. 这称为 Hermitian 矩阵的谱分解。
(7) Hermitian 矩阵的逆矩阵的展开公式一种是
$$
\boldsymbol{A}^{-1}=\sum_{i=1}^{n} \frac{\mathrm{I}}{\lambda_{i}} \boldsymbol{u} {i} \ boldsymbol{u} {i}^{H}
$$
因此，如果知道 Hermitian 矩阵的特征分解一种，则可以直接得到逆矩阵一种−1使用上面的公式。
(8) 两人份n×n厄米矩阵一种和乙，存在一个酉矩阵，使得磷H一种磷和磷H乙磷都是对角线当且仅当一种乙=乙一种.
(9) 两人份n×n非负定 Hermitian 矩阵一种和乙, 存在一个非奇异矩阵磷以便磷H一种磷和磷H乙磷都是对角线。
机器学习代写|主成分分析作业代写PCA代考|Generalized Eigenvalue Decomposition
让一种和乙两者都是n×n方阵，它们构成一个矩阵铅笔或矩阵对，写为(一种,乙). 现在我们考虑以下广义特征值问题。也就是说，计算所有标量λ这样
一种在=λ乙在
有非零解在≠0, 其中标量λ和非零向量在称为矩阵铅笔的广义特征值和广义特征向量(一种,乙)， 分别。一个广义特征值及其相关的广义特征向量称为广义特征对，写为(λ,在). 方程（2.35）也称为广义特征方程。It is obvious that the eigenvalue problem is a special case when the matrix pencil is chosen as(一种,一世).
定理 2.6λ∈C和在∈Cn分别是矩阵铅笔的广义特征值和相关的广义特征向量(一种,乙)n×n当且仅当：
(1)这(一种−λ乙)=0.
(2) 在∈空值(一种−λ乙)， 和在≠0.
在自然科学中，有时需要讨论广义矩阵铅笔的特征值问题。
假设n×n方阵一种和乙都是厄米特式的，并且乙是肯定的。然后(一种,乙)称为正则化矩阵铅笔。
正则化矩阵铅笔的特征值问题类似于 Hermitian 矩阵的特征值问题。
机器学习代写|主成分分析作业代写PCA代考|Rayleigh Quotient
定义 2.1 Hermitian 矩阵的瑞利商 (RQ)C∈Cn×n是一个标量，定义为
r(在)=r(在,C)=在HC在在H在,
在哪里在是要选择的数量。目标是最大化或最小化瑞利商。
最相关的属性R问可归纳如下：
(1) 同质性：r(一种在,b在)=br(在,C)∀一种,b≠0.
(2)平移不变性：r(在,C−一种一世)=r(在,C)−一种.
(3) 有界性：自在范围在所有非零向量上，r(在)填充复平面中的一个区域，该区域称为值域C. 这个区域是封闭的、有界的和凸的。如果C=C∗（自伴随矩阵），值域是由极值特征值界定的实区间。
(4) 正交性：在⊥(C−r(在)一世)在.
(5) 最小残差：∀在≠0∧∀标量μ,|(C−r(在)一世)在|≤|(C−μ一世)在|.
主张2.1（平稳性）让C是具有特征值的实对称 n 维矩阵λn≤λn−1≤⋯λ1和相关的单位特征向量和1,和2,…,和n. 然后它认为λ1=最大限度r(在,C),λn=分钟r(在,C). 更一般地，临界点和临界值r(在,C)是的特征向量和特征值C.
主张2.2（退化）：R问临界点是退化的，因为在这些点上，Hessian 矩阵是不可逆的。则 RQ 不是包含临界点的域的每个开放子空间中的莫尔斯函数。
此外，以下重要定理也适用于 RQ。
Courant-Fischer 定理：让C∈Cn×n是 Hermitian 矩阵，其特征值为λ1≥λ2≥⋯≤λn, 那么它认为对于λķ(1≤ķ≤在) :
λķ=分钟小号,暗淡(小号)=n−ķ+1最大限度在∈小号,在≠0(在HC在在H在)
Courant-Fischer 定理也可以写成
λķ=分钟小号,暗淡(小号)=ķ最大限度在∈小号,在≠0(在HC在在H在)
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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